Прямое численное моделирование

Прямое численное моделирование ( DNS ) представляет собой моделирование в области вычислительной гидродинамики (CFD), в котором уравнения Навье – Стокса решаются численно без какой-либо модели турбулентности . весь диапазон пространственных и временных масштабов турбулентности . Это означает, что необходимо разрешить В расчетной сетке должны быть разрешены все пространственные масштабы турбулентности, от мельчайших диссипативных масштабов ( колмогоровских микромасштабов ) до интегральных масштабов. $L$, связанный с движениями, содержащими большую часть кинетической энергии. Колмогоровская шкала, $\eta$, определяется

$\eta =(\nu ^{3}/\varepsilon )^{1/4}$

где $\nu$ - кинематическая вязкость и $\varepsilon$ – скорость диссипации кинетической энергии . С другой стороны, интегральный масштаб обычно зависит от пространственного масштаба граничных условий.

Чтобы удовлетворить этим требованиям к разрешению, количество точек $N$ вдоль заданного направления сетки с приращениями $h$, должно быть

$Nh>L,\,$

так, чтобы интегральная шкала находилась в пределах расчетной области, а также

$h\leq \eta ,\,$

так что можно решить шкалу Колмогорова.

С

$\varepsilon \approx {u'}^{3}/L,$

где $u'$ — среднеквадратическое значение (RMS) скорости , предыдущие соотношения подразумевают, что трехмерная DNS требует нескольких точек сетки $N^{3}$ удовлетворяющий

$N^{3}\geq \mathrm {Re} ^{9/4}=\mathrm {Re} ^{2.25}$

где $\mathrm {Re}$ — турбулентное число Рейнольдса :

$\mathrm {Re} ={\frac {u'L}{\nu }}.$

Следовательно, потребность в памяти в DNS очень быстро растет с ростом числа Рейнольдса. Кроме того, учитывая очень большой объем необходимой памяти, интегрирование решения по времени должно выполняться явным методом. Это означает, что для того, чтобы быть точным, интегрирование для большинства методов дискретизации должно выполняться с шагом по времени, $\Delta t$, настолько мал, что частица жидкости перемещается только на часть шага сетки $h$ на каждом этапе. То есть,

$C={\frac {u'\Delta t}{h}}<1$

( $C$ здесь число Куранта ). Общий моделируемый интервал времени обычно пропорционален масштабу времени турбулентности. $\tau$ данный

$\tau ={\frac {L}{u'}}.$

Объединение этих отношений и тот факт, что $h$ должно быть порядка $\eta$, число шагов интегрирования по времени должно быть пропорционально $L/(C\eta )$. С другой стороны, из определений $\mathrm {Re}$, $\eta$ и $L$ приведенное выше, отсюда следует, что

${\frac {L}{\eta }}\sim \mathrm {Re} ^{3/4},$

и, следовательно, число шагов по времени растет также по степенному закону числа Рейнольдса.

Можно оценить, что количество операций с плавающей запятой, необходимых для завершения моделирования, пропорционально количеству точек сетки и количеству временных шагов, и, в заключение, количество операций растет как $\mathrm {Re} ^{3}$.

Следовательно, вычислительные затраты DNS очень высоки даже при низких числах Рейнольдса. Для чисел Рейнольдса, встречающихся в большинстве промышленных приложений, вычислительные ресурсы, необходимые для DNS, превысят мощность самых мощных компьютеров, доступных в настоящее время . Однако прямое численное моделирование является полезным инструментом фундаментальных исследований турбулентности. Используя DNS, можно проводить «численные эксперименты» и извлекать из них информацию, которую трудно или невозможно получить в лаборатории, что позволяет лучше понять физику турбулентности. Кроме того, прямое численное моделирование полезно при разработке моделей турбулентности для практических приложений, таких как модели подсеточного масштаба для моделирования крупных вихрей (LES) и модели для методов решения усредненных по Рейнольдсу уравнений Навье – Стокса (RANS). Это делается с помощью «априорных» тестов, в которых входные данные для модели берутся из моделирования DNS, или «апостериорных» тестов, в которых результаты, полученные моделью, сравниваются с результатами, полученными DNS. .

Внешние ссылки

• Страница DNS на CFD-Wiki