Моделирование турбулентности

Моделирование физической в аэродинамической трубе модели самолета

В гидродинамике моделирование турбулентности представляет собой построение и использование математической модели для прогнозирования эффектов турбулентности . Турбулентные потоки являются обычным явлением в большинстве реальных сценариев. Несмотря на десятилетия исследований, не существует аналитической теории, позволяющей предсказать эволюцию этих турбулентных потоков. Уравнения, управляющие турбулентными потоками, могут быть решены непосредственно только для простых случаев течения. Для большинства реальных турбулентных потоков при моделировании CFD используются турбулентные модели для прогнозирования развития турбулентности. Эти модели турбулентности представляют собой упрощенные определяющие уравнения, которые предсказывают статистическую эволюцию турбулентных потоков.

Проблема закрытия

Уравнения Навье – Стокса определяют скорость и давление потока жидкости. В турбулентном потоке каждую из этих величин можно разложить на среднюю и пульсирующую части. Усреднение уравнений дает усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса (RANS) , которые определяют средний поток. Однако нелинейность уравнений Навье – Стокса означает, что флуктуации скорости все еще появляются в уравнениях RANS в нелинейном члене $-\rho {\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}$ от конвективного ускорения. Этот термин известен как напряжение Рейнольдса . $R_{ij}$. Его влияние на средний расход аналогично влиянию стрессового члена, например, давления или вязкости.

Чтобы получить уравнения, содержащие только среднюю скорость и давление, нам нужно замкнуть уравнения RANS, моделируя член напряжения Рейнольдса. $R_{ij}$ как функцию среднего расхода, устраняя любые ссылки на колеблющуюся часть скорости. Это проблема закрытия .

Вихревая вязкость

Жозеф Валентин Буссинеск был первым, кто подверг критике проблему замыкания. путем введения понятия вихревой вязкости . В 1877 году Буссинеск предложил связать напряжения турбулентности со средним потоком, чтобы замкнуть систему уравнений. Здесь гипотеза Буссинеска применяется для моделирования члена напряжения Рейнольдса. Обратите внимание, что новая константа пропорциональности $\nu _{t}>0$, (кинематическая) турбулентная вихревая вязкость была введена . Модели этого типа известны как модели вихревой вязкости (EVM).

$$-{\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}=\nu _{t}\left({\frac {\partial {\overline {v_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {v_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right)-{\frac {2}{3}}k\delta _{ij}$$что можно записать сокращенно как $$-{\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}=2\nu _{t}S_{ij}-{\tfrac {2}{3}}k\delta _{ij}$$где

• $S_{ij}$ тензор средней скорости деформации
• $\nu _{t}$ (кинематическая) турбулентная вихревая вязкость
• $k={\tfrac {1}{2}}{\overline {v_{i}'v_{i}'}}$ - кинетическая энергия турбулентности
• и $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера .

В этой модели дополнительные напряжения турбулентности создаются за счет увеличения молекулярной вязкости за счет вихревой вязкости. Это может быть простая постоянная вихревая вязкость (которая хорошо работает для некоторых потоков со свободным сдвигом, таких как осесимметричные струи, двумерные струи и слои смешения).

Гипотеза Буссинеска – хотя в то время она не была явно сформулирована Буссинеском – фактически состоит из предположения, что тензор напряжений Рейнольдса совпадает с тензором деформации среднего потока (т.е. что напряжения сдвига, вызванные турбулентностью, действуют в том же направлении, что и касательные напряжения, создаваемые осредненным потоком). С тех пор выяснилось, что он значительно менее точен, чем могло бы предположить большинство практиков. Тем не менее, модели турбулентности, использующие гипотезу Буссинеска, продемонстрировали значительную практическую ценность. В случаях с четко выраженными сдвиговыми слоями это, вероятно, связано с преобладанием продольных сдвиговых составляющих, так что значительные относительные ошибки в нормальных к потоку компонентах все еще незначительны в абсолютном выражении. Помимо этого, большинство моделей турбулентности с вихревой вязкостью содержат коэффициенты, которые калибруются по результатам измерений и, таким образом, дают достаточно точные общие результаты для полей потока аналогичного типа, которые используются для калибровки.

Концепция длины смешивания Прандтля

Позже Людвиг Прандтль ввел дополнительное понятие длины смешивания: наряду с идеей пограничного слоя . Для турбулентных потоков, ограниченных стенками, турбулентная вязкость должна меняться в зависимости от расстояния от стенки, поэтому добавляется понятие «длины смешивания». В простейшей модели течения, ограниченной стенками, вихревая вязкость определяется уравнением: $$\nu _{t}=\left|{\frac {\partial u}{\partial y}}\right|l_{m}^{2}$$где

• ${\frac {\partial u}{\partial y}}$ является частной производной продольной скорости (u) относительно направления нормали к стенке (y).
• $l_{m}$ длина смешивания.

Эта простая модель является основой « закона стены », который является удивительно точной моделью для ограниченных стеной, прикрепленных (не разделенных) полей потока с небольшими градиентами давления .

Более общие модели турбулентности со временем развивались, при этом большинство современных моделей турбулентности задаются уравнениями поля, аналогичными уравнениям Навье – Стокса .

Модель Смагоринского для вихревой вязкости в подсеточном масштабе

Джозеф Смагоринский был первым, кто предложил формулу для вихревой вязкости в моделях моделирования больших вихрей . на основе локальных производных поля скоростей и размера локальной сетки:

$\nu _{t}=\Delta x\Delta y{\sqrt {\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}}}$

В контексте моделирования больших вихрей моделирование турбулентности означает необходимость параметризации напряжения подсеточного масштаба с точки зрения особенностей отфильтрованного поля скорости. Эта область называется моделированием в масштабе подсетки .

Спаларта–Аллмараса, k –ε и k –ω Модели

Гипотеза Буссинеска используется в моделях Спаларта–Алмараса (S–A), k –ε ( k –epsilon) и k –ω ( k –omega) и предлагает относительно недорогие вычисления турбулентной вязкости. $\nu _{t}$. Модель S–A использует только одно дополнительное уравнение для моделирования переноса турбулентной вязкости, тогда как модели k –ε и k –ω используют два.

Распространенные модели

Ниже приводится краткий обзор часто используемых моделей в современных инженерных приложениях.

• Спаларт – Аллмарас (ЮАР)
  Модель Спаларта – Аллмараса представляет собой модель с одним уравнением, которая решает смоделированное уравнение переноса для кинематической вихревой турбулентной вязкости. Модель Спаларта-Аллмараса была разработана специально для аэрокосмических приложений, включающих потоки, ограниченные стенками, и было показано, что она дает хорошие результаты для пограничных слоев, подверженных неблагоприятным градиентам давления. Он также набирает популярность в турбомашинах.
• k –ε ( k –эпсилон)
  Модель турбулентности K-эпсилон (k-ε) является наиболее распространенной моделью, используемой в вычислительной гидродинамике (CFD) для моделирования средних характеристик потока в условиях турбулентного потока. Это модель с двумя уравнениями, которая дает общее описание турбулентности с помощью двух уравнений переноса (УЧП). Первоначальным стимулом для создания модели K-эпсилон было улучшение модели длины смешивания, а также поиск альтернативы алгебраическому описанию масштабов турбулентной длины в потоках средней и высокой сложности.
• к –ω ( к –омега)
  В вычислительной гидродинамике модель турбулентности k – омега (k – ω) - это распространенная модель турбулентности с двумя уравнениями, которая используется в качестве замыкания для усредненных по Рейнольдсу уравнений Навье – Стокса (уравнения RANS). Модель пытается предсказать турбулентность с помощью двух уравнений в частных производных для двух переменных, k и ω, причем первая переменная представляет собой кинетическую энергию турбулентности (k), а вторая (ω) — удельную скорость диссипации (кинетической энергии турбулентности k). во внутреннюю тепловую энергию).
• SST (перенос напряжения сдвига Ментера)
  Модель турбулентности SST (перенос сдвигового напряжения Ментера) это широко используемая и надежная модель турбулентности вихревой вязкости с двумя уравнениями, используемая в вычислительной гидродинамике. Модель сочетает в себе модель турбулентности k-омега и модель турбулентности K-эпсилон, так что k-омега используется во внутренней области пограничного слоя и переключается на k-эпсилон в потоке свободного сдвига.
• Модель уравнения напряжения Рейнольдса

  Модель уравнения напряжения Рейнольдса (RSM), также называемая моделью закрытия второго момента, является наиболее полным классическим подходом к моделированию турбулентности. Популярные модели, основанные на вихревой вязкости, такие как модель k –ε ( k –epsilon) и модели k –ω ( k –omega) , имеют существенные недостатки в сложных инженерных потоках. Это возникает из-за использования в их формулировке гипотезы вихревой вязкости. Например, в течениях с высокой степенью анизотропии, значительной кривизной линий тока, отрывом потока, зонами рециркуляционного течения или течениями, подверженными влиянию вращательных эффектов, эффективность таких моделей оказывается неудовлетворительной. В таких потоках модели уравнения напряжения Рейнольдса обеспечивают гораздо большую точность.

  Затворы, основанные на вихревой вязкости, не могут объяснить возврат к изотропии турбулентности. наблюдается в затухающих турбулентных потоках. Модели, основанные на вихревой вязкости, не могут воспроизвести поведение турбулентных потоков в пределе быстрого искажения. где турбулентный поток по существу ведет себя как упругая среда.

Ссылки

Другой

• Абси, Р. (2019) «Вихревая вязкость и профили скорости в полностью развитых турбулентных русловых потоках» Fluid Dyn (2019) 54: 137. https://doi.org/10.1134/S0015462819010014
• Абси, Р. (2021) «Повторное исследование профиля вихревой вязкости параболической формы для потоков на свободной поверхности» Hydrology 2021, 8 (3), 126. https://doi.org/10.3390/гидрология8030126
• Таунсенд, А.А. (1980) «Структура турбулентного сдвигового потока», 2-е издание (Кембриджские монографии по механике), ISBN   0521298199
• Брэдшоу, П. (1971) «Введение в турбулентность и ее измерение» (Pergamon Press), ISBN   0080166210
• Уилкокс, CD (1998), «Моделирование турбулентности для CFD», 2-е изд. (DCW Industries, Ла-Каньяда), ISBN   0963605100