Закон стены

закон стенки, горизонтальная скорость у стенки с моделью длины смешивания

В гидродинамике закон стены (также известный как логарифмический закон стены ) гласит, что средняя скорость турбулентного потока в определенной точке пропорциональна логарифму расстояния от этой точки до «стенки». или граница жидкой области. Этот закон стены был впервые опубликован в 1930 году американским математиком , аэрокосмическим инженером и физиком венгерского происхождения Теодором фон Карманом . Технически он применим только к частям потока, расположенным близко к стене (<20% высоты потока), хотя он является хорошим приближением для всего профиля скорости естественных потоков.

Общая логарифмическая формулировка

Логарифмический закон стенки представляет собой самоподобное решение для средней скорости, параллельной стенке, и справедлив для течений при высоких числах Рейнольдса — в области перекрытия с примерно постоянным напряжением сдвига и достаточно далеко от стенки для (прямого) вязкого движения. эффекты должны быть незначительными:

$u^{+}={\frac {1}{\kappa }}\ln \,y^{+}+C^{+},$   с   $y^{+}={\frac {y\,u_{\tau }}{\nu }},$   $u_{\tau }={\sqrt {\frac {\tau _{w}}{\rho }}}$   и   $u^{+}={\frac {u}{u_{\tau }}}$

где

$y^{+}$	- координата стенки: расстояние y до стенки, безразмерное с учетом скорости трения u τ и кинематической вязкости ν ,
$u^{+}$	- безразмерная скорость: скорость u, параллельная стене, как функция y (расстояния от стены), деленная на скорость трения u τ ,
$\tau _{w}$	напряжение сдвига стенки,
$\rho$	жидкости плотность ,
$u_{\tau }$	называется скоростью трения или скоростью сдвига ,
$\kappa$	— постоянная Кармана ,
$C^{+}$	является константой, и
$\ln$	это натуральный логарифм .

Эксперименты показали, что постоянная фон Кармана равна $\kappa \approx 0.41$ и $C^{+}\approx 5.0$ для гладкой стены.

С учетом размеров логарифмический закон стены можно записать как:

${u}={\frac {u_{\tau }}{\kappa }}\ln \,{\frac {y}{y_{0}}}\$

где y ₀ — расстояние от границы, на котором идеализированная скорость, заданная законом стенки, обращается в ноль. Оно обязательно не равно нулю, поскольку профиль турбулентной скорости, определяемый законом стенки, не применим к ламинарному подслою . Расстояние от стенки, на котором оно достигает нуля, определяется путем сравнения толщины ламинарного подслоя с шероховатостью поверхности, по которой он обтекает. Для пристеночного ламинарного подслоя толщиной $\delta _{\nu }$ и характерный масштаб шероховатости $k_{s}$,

$k_{s}<\delta _{\nu }\,$	: гидравлически плавный поток ,
$k_{s}\approx \delta _{\nu }\,$	: переходный поток,
$k_{s}>\delta _{\nu }\,$	: гидравлически грубый поток .

Интуитивно это означает, что если элементы шероховатости скрыты внутри ламинарного подслоя, то они оказывают совершенно иное влияние на турбулентный закон профиля скорости стенки, чем если бы они торчали в основную часть потока.

Это также часто более формально формулируется в терминах граничного числа Рейнольдса: $Re_{w}$, где

$Re_{w}={\frac {u_{\tau }k_{s}}{\nu }}.\$

Поток гидравлически плавный, $Re_{w}<3$, гидравлически грубый для $Re_{w}>100$, и переходный для промежуточных значений.

Значения для $y_{0}$ даны:

$y_{0}={\frac {\nu }{9u_{\tau }}}$	для гидравлически плавного потока
$y_{0}={\frac {k_{s}}{30}}$	для гидравлически жесткого потока.

Промежуточные значения обычно даются с помощью диаграммы Никурадзе , полученной эмпирическим путем: хотя аналитические методы решения и для этого диапазона также были предложены.

Для каналов с четкой границей, таких как естественные речные системы,

$k_{s}\approx 3.5D_{84},\$

где $D_{84}$ — средний диаметр 84-го по величине процентиля зерен материала слоя.

Решения степенного закона

Работы Баренблатта и других показали, что помимо логарифмического закона стены — предела бесконечных чисел Рейнольдса — существуют степенные решения, которые зависят от числа Рейнольдса. В 1996 году Ципра представил экспериментальные доказательства в поддержку этих степенных описаний. Это свидетельство само по себе не было полностью принято другими экспертами. В 2001 году Оберлак заявил, что вывел как логарифмический закон стены, так и степенные законы непосредственно из усредненных по Рейнольдсу уравнений Навье – Стокса , используя симметрии в подходе группы Ли . Однако в 2014 г. Фруэр и др. опроверг эти результаты.

Для скаляров

Для скаляров (особенно температуры) был теоретизирован самоподобный логарифмический закон стенки (впервые сформулированный Б. А. Кадером). ) и наблюдается в экспериментальных и вычислительных исследованиях. Во многих случаях расширение исходного закона формулировки стенки (обычно посредством интегральных преобразований) обычно необходимо для учета эффектов сжимаемости, переменных свойств и реальной жидкости.

Возле стены

Ниже области, где применим закон стенки, существуют другие оценки скорости трения.

Вязкий подслой

В области, известной как вязкий подслой, ниже 5 единиц стенки, изменение $u^{+}$ к $y^{+}$ примерно 1:1, так что:

Для  $y^{+}<5$

$u^{+}=y^{+}$

где,

$y^{+}$	- координата стены: расстояние y до стены, безразмерное с учетом скорости трения. $u_{\tau }$ и кинематическая вязкость $\nu$,
$u^{+}$	- безразмерная скорость: скорость u, параллельная стене, как функция y (расстояния от стены), деленная на скорость трения $u_{\tau }$,

Это приближение можно использовать на расстоянии более 5 стеновых блоков, но $y^{+}=12$ ошибка более 25%.

Буферный слой

В буферном слое, между 5 и 30 стеновыми блоками, ни один из законов не соблюдается, так что:

Для  $5<y^{+}<30$

$u^{+}\neq y^{+}$

$u^{+}\neq {\frac {1}{\kappa }}\ln \,y^{+}+C^{+}$

при этом наибольшее отклонение от любого закона происходит примерно в месте пересечения двух уравнений, при $y^{+}=11$. То есть до 11 секций стены более точной является линейная аппроксимация, а после 11 секций стены следует использовать логарифмическую аппроксимацию, хотя ни одна из них не является относительно точной при 11 единицах стены.

Профиль средней продольной скорости $u^{+}$ улучшено для $y^{+}<20$ с формулой вихревой вязкости, основанной на пристеночной турбулентной кинетической энергии $\kappa ^{+}$ функция и уравнение длины смешивания Ван-Дриста. Сравнение с данными DNS полностью развитых турбулентных русловых течений для $109<Re_{\tau }<2003$ показал хорошее согласие.

Ссылки

• Шансон, Х. (2009), Прикладная гидродинамика: введение в идеальные и реальные потоки жидкости , CRC Press, Taylor & Francisco Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц, ISBN  978-0-415-49271-3
• Шлихтинг, Герман; Герстен, К. (2000), Теория пограничного слоя (8-е исправленное издание), Springer, ISBN  3-540-66270-7

Дальнейшее чтение

• Бушманн, Матиас Х.; Гад-эль-Хак, Мохамед (2009), «Свидетельства нелогарифмического поведения турбулентного потока в канале и трубе», AIAA Journal , 47 (3): 535, Bibcode : 2009AIAAJ..47..535B , doi : 10.2514/1.37032

Внешние ссылки

• Определение из ScienceWorld
• Формула по CFD Online
• Y+ оценщик
• ThermoTurb – калькулятор среднего турбулентного расхода.