Моделирование больших вихрей

Моделирование больших вихрей турбулентного поля скоростей газа.

Моделирование больших вихрей ( LES ) — это математическая модель турбулентности , используемая в вычислительной гидродинамике . Первоначально он был предложен в 1963 году Джозефом Смагоринским для моделирования потоков атмосферного воздуха. и впервые исследован Дирдорфом (1970). LES в настоящее время применяется в широком спектре инженерных приложений, включая сжигание , акустика, и моделирование пограничного слоя атмосферы.

Моделирование турбулентных течений путем численного решения уравнений Навье – Стокса требует решения очень широкого диапазона масштабов времени и длин, каждый из которых влияет на поле течения. Такого разрешения можно достичь с помощью прямого численного моделирования (DNS), но DNS требует больших вычислительных затрат, а его стоимость не позволяет моделировать практические инженерные системы со сложной геометрией или конфигурациями потока, такие как турбулентные струи, насосы, транспортные средства и шасси.

Основная идея LES состоит в том, чтобы снизить вычислительные затраты за счет игнорирования наименьших масштабов длины, разрешение которых наиболее затратно в вычислительном отношении, посредством низкочастотной фильтрации уравнений Навье – Стокса. Такая фильтрация нижних частот, которую можно рассматривать как усреднение по времени и пространству, эффективно удаляет мелкомасштабную информацию из численного решения. Однако эта информация не является несущественной, и ее влияние на поле течения необходимо моделировать - задача, которая является активной областью исследования проблем, в которых мелкие масштабы могут играть важную роль, таких как пристеночные течения, реагирующие потоки, и многофазные потоки.

Определение и свойства фильтра

Основная статья: Фильтр (моделирование больших вихрей)

Поле скорости, созданное путем прямого численного моделирования (DNS) однородной затухающей турбулентности . Размер домена $L^{3}$.

То же поле скорости DNS, отфильтрованное с помощью коробчатого фильтра и $\Delta =L/32$.

То же поле скорости DNS, отфильтрованное с помощью коробчатого фильтра и $\Delta =L/16$.

Фильтр LES можно применять к пространственному и временному полю. $\phi ({\boldsymbol {x}},t)$ и выполнить операцию пространственной фильтрации, операцию временной фильтрации или обе операции. Отфильтрованное поле, обозначенное чертой, определяется как:

${\overline {\phi ({\boldsymbol {x}},t)}}=\displaystyle {\int _{-\infty }^{\infty }}\int _{-\infty }^{\infty }\phi ({\boldsymbol {r}},\tau )G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}},t-\tau )d\tau d{\boldsymbol {r}}$

где $G$ — ядро ​​свертки фильтра. Это также можно записать как:

${\overline {\phi }}=G\star \phi .$

Ядро фильтра $G$ имеет связанную шкалу длины отсечки $\Delta$ и шкала времени отсечки $\tau _{c}$. Масштабы меньшие, чем эти, исключаются из ${\overline {\phi }}$. Используя приведенное выше определение фильтра, любое поле $\phi$ может быть разделен на отфильтрованную и субфильтрованную (обозначенную штрихом) часть, как

$\phi ={\bar {\phi }}+\phi ^{\prime }.$

Важно отметить, что операция фильтрации при моделировании больших вихрей не удовлетворяет свойствам оператора Рейнольдса .

Отфильтрованные основные уравнения

Управляющие уравнения LES получаются путем фильтрации уравнений в частных производных, управляющих полем потока. $\rho {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}},t)$. Существуют различия между основными уравнениями несжимаемой и сжимаемой LES, которые приводят к определению новой операции фильтрации.

несжимаемый поток

Для несжимаемого потока уравнение неразрывности и уравнения Навье – Стокса фильтруются, в результате чего получается отфильтрованное уравнение неразрывности несжимаемой жидкости:

${\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0$

и отфильтрованные уравнения Навье – Стокса:

${\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u_{i}u_{j}}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+2\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bar {S}}_{ij},$

где ${\bar {p}}$ – поле фильтрованного давления и ${\bar {S}}_{ij}$ — тензор скорости деформации, рассчитанный с использованием отфильтрованной скорости. Нелинейный член фильтрованной адвекции ${\overline {u_{i}u_{j}}}$ является основной причиной трудностей при моделировании LES. Это требует знания нефильтрованного поля скоростей, которое неизвестно, поэтому его необходимо смоделировать. Следующий анализ иллюстрирует трудность, вызванную нелинейностью, а именно то, что она вызывает взаимодействие между большими и малыми масштабами, препятствуя разделению масштабов.

Член фильтрованной адвекции можно разделить, следуя Леонарду (1975), на: как:

${\overline {u_{i}u_{j}}}=\tau _{ij}+{\overline {u}}_{i}{\overline {u}}_{j}$

где $\tau _{ij}$ – тензор остаточных напряжений, так что отфильтрованные уравнения Навье-Стокса принимают вид

${\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u}}_{i}{\overline {u}}_{j}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+2\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bar {S}}_{ij}-{\frac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}$

с тензором остаточных напряжений $\tau _{ij}$ группировка всех незакрытых терминов. Леонард разложил этот тензор напряжений как $\tau _{ij}=L_{ij}+C_{ij}+R_{ij}$ и предоставили физические интерпретации для каждого термина. $L_{ij}={\overline {{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}$, тензор Леонарда, представляет взаимодействия между большими масштабами, $R_{ij}={\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}$, термин, подобный стрессу Рейнольдса, представляет взаимодействие между шкалами подфильтра (SFS), и $C_{ij}={\overline {{\bar {u}}_{i}u_{j}^{\prime }}}+{\overline {{\bar {u}}_{j}u_{i}^{\prime }}}$, тензор Кларка, представляет собой межмасштабное взаимодействие между большими и малыми масштабами. Моделирование незакрытого члена $\tau _{ij}$ – это задача моделей подсеточного масштаба (SGS). Это усложняется тем фактом, что тензор напряжений подсетки $\tau _{ij}$ должны учитывать взаимодействие между всеми шкалами, включая отфильтрованные и нефильтрованные шкалы.

Отфильтрованное основное уравнение для пассивного скаляра $\phi$, например фракция смеси или температура, можно записать как

${\frac {\partial {\overline {\phi }}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u}}_{j}{\overline {\phi }}\right)={\frac {\partial {\overline {J_{\phi }}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial q_{j}}{\partial x_{j}}}$

где $J_{\phi }$ диффузионный поток $\phi$, и $q_{j}$ — поток подфильтра для скаляра $\phi$. Фильтрованный диффузионный поток ${\overline {J_{\phi }}}$ является незамкнутым, если для него не предполагается определенная форма, например, модель градиентной диффузии. $J_{\phi }=D_{\phi }{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}$. $q_{j}$ определяется аналогично $\tau _{ij}$,

$q_{j}={\bar {\phi }}{\overline {u}}_{j}-{\overline {\phi u_{j}}}$

и аналогичным образом может быть разбит на вклады от взаимодействия между различными масштабами. Этот поток субфильтра также требует модели субфильтра.

Вывод

Используя обозначения Эйнштейна , уравнения Навье – Стокса для несжимаемой жидкости в декартовых координатах имеют вид

${\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0$

${\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.$

Фильтрация уравнения импульса приводит к

${\overline {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}}+{\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}=-{\overline {{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}}}+{\overline {\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}}.$

Если предположить, что фильтрация и дифференцирование коммутируют, то

${\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.$

Это уравнение моделирует изменения во времени отфильтрованных переменных. ${\bar {u_{i}}}$. Поскольку нефильтрованные переменные $u_{i}$ неизвестны, невозможно непосредственно вычислить ${\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}$. Однако количество ${\frac {\partial {\bar {u_{i}}}{\bar {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}$ известно. Произведена замена:

${\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}{\bar {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-\left({\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}-{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}{\bar {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}\right).$

Позволять $\tau _{ij}={\overline {u_{i}u_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}$. Полученный набор уравнений представляет собой уравнения LES:

${\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\bar {u_{j}}}{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-{\frac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}.$

Основные уравнения сжимаемости

Для основных уравнений сжимаемого потока каждое уравнение, начиная с сохранения массы, фильтруется. Это дает:

${\frac {\partial {\overline {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}\rho }}}{\partial x_{i}}}=0$

что приводит к дополнительному члену подфильтра. Однако желательно избегать моделирования масштабов подфильтров уравнения сохранения массы. По этой причине Фавр предложил операцию взвешенной по плотности фильтрации, называемую фильтрацией Фавра, определенную для произвольной величины. $\phi$ как:

${\tilde {\phi }}={\frac {\overline {\rho \phi }}{\overline {\rho }}}$

что в пределе несжимаемости становится нормальной операцией фильтрации. Это приводит к уравнению сохранения массы:

${\frac {\partial {\overline {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0.$

Затем эту концепцию можно расширить, чтобы записать уравнение количества движения с фильтрацией Фавра для сжимаемого потока. Вслед за Временем:

${\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u_{i}}}{\tilde {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial {\tilde {\sigma }}_{ij}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {\partial {\overline {\rho }}\tau _{ij}^{r}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {\sigma }}_{ij}-{\tilde {\sigma }}_{ij}\right)$

где $\sigma _{ij}$ – тензор напряжения сдвига , определяемый для ньютоновской жидкости по формуле:

$\sigma _{ij}=2\mu (T)S_{ij}-{\frac {2}{3}}\mu (T)\delta _{ij}S_{kk}$

и термин ${\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {\sigma }}_{ij}-{\tilde {\sigma }}_{ij}\right)$ представляет вклад вязкости подфильтра при оценке вязкости $\mu (T)$ с использованием температуры, отфильтрованной Фавром ${\tilde {T}}$. Тензор подсеточных напряжений для поля импульса, отфильтрованного по Фавре, определяется выражением

$\tau _{ij}^{r}={\widetilde {u_{i}\cdot u_{j}}}-{\tilde {u_{i}}}{\tilde {u_{j}}}$

По аналогии разложение Леонарда можно записать и для тензора остаточных напряжений для отфильтрованного тройного произведения ${\overline {\rho \phi \psi }}$. Тройное произведение можно переписать с помощью оператора фильтрации Фавра как ${\overline {\rho }}{\widetilde {\phi \psi }}$, что является незамкнутым термином (требует знания полей $\phi$ и $\psi$, когда только поля ${\tilde {\phi }}$ и ${\tilde {\psi }}$ известны). Его можно разбить аналогично ${\overline {u_{i}u_{j}}}$ выше, что приводит к тензору напряжений подфильтра ${\overline {\rho }}\left({\widetilde {\phi \psi }}-{\tilde {\phi }}{\tilde {\psi }}\right)$. Этот член подфильтра можно разделить на вклады трех типов взаимодействий: тензор Леондарда $L_{ij}$, представляющий взаимодействие между разрешенными масштабами; тензор Кларка $C_{ij}$, представляющий взаимодействие между разрешенными и неразрешенными масштабами; и тензор Рейнольдса $R_{ij}$, который представляет взаимодействие между неразрешенными масштабами.

Отфильтрованное уравнение кинетической энергии

В дополнение к отфильтрованным уравнениям массы и импульса фильтрация уравнения кинетической энергии может дать дополнительную информацию. Поле кинетической энергии можно отфильтровать, чтобы получить общую отфильтрованную кинетическую энергию:

${\overline {E}}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}u_{i}}}$

а полную отфильтрованную кинетическую энергию можно разложить на два слагаемых: кинетическую энергию отфильтрованного поля скорости $E_{f}$,

$E_{f}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{i}}}$

и остаточная кинетическая энергия $k_{r}$,

$k_{r}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}u_{i}}}-{\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{i}}}={\frac {1}{2}}\tau _{ii}^{r}$

такой, что ${\overline {E}}=E_{f}+k_{r}$.

Уравнение сохранения для $E_{f}$ может быть получено путем умножения отфильтрованного уравнения переноса импульса на ${\overline {u_{i}}}$ чтобы дать:

${\frac {\partial E_{f}}{\partial t}}+{\overline {u_{j}}}{\frac {\partial E_{f}}{\partial x_{j}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}{\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\tau _{ij}^{r}}{\partial x_{j}}}-2\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}{\bar {S_{ij}}}}{\partial x_{j}}}=-\epsilon _{f}-\Pi$

где $\epsilon _{f}=2\nu {\bar {S_{ij}}}{\bar {S_{ij}}}$ – диссипация кинетической энергии фильтрованного поля скорости вязким напряжением, $\Pi =-\tau _{ij}^{r}{\bar {S_{ij}}}$ представляет собой рассеивание кинетической энергии по шкале субфильтра (SFS).

Члены в левой части представляют собой перенос, а члены в правой части — это термины-поглотители, которые рассеивают кинетическую энергию.

The $\Pi$ Диссипационный член SFS представляет особый интерес, поскольку он представляет собой передачу энергии от больших разрешенных масштабов к малым неразрешенным масштабам. В среднем, $\Pi$ переносит энергию от больших масштабов к малым. Однако мгновенно $\Pi$ может быть положительным или отрицательным, то есть он также может выступать в качестве исходного термина для $E_{f}$, кинетическая энергия фильтрованного поля скоростей. Перенос энергии от неразрешенных к разрешенным масштабам называется обратным рассеянием (аналогично переход энергии от разрешенных к неразрешенным масштабам называется прямым рассеянием ).

Численные методы для LES

Моделирование больших вихрей включает решение дискретных фильтрованных основных уравнений с использованием вычислительной гидродинамики . LES разрешает масштабы в зависимости от размера домена $L$ вплоть до размера фильтра $\Delta$, и поэтому значительная часть турбулентных флуктуаций с большим волновым числом должна быть решена. Для этого требуются либо числовые схемы высокого порядка , либо мелкое разрешение сетки, если используются числовые схемы низкого порядка. Глава 13 Папы Римского решает вопрос о том, насколько хорошо разрешение сетки $\Delta x$ необходим для разрешения отфильтрованного поля скоростей ${\overline {u}}({\boldsymbol {x}})$, Госал обнаружили, что для схем дискретизации низкого порядка, таких как те, которые используются в методах конечных объемов, ошибка усечения может быть того же порядка, что и вклады масштаба подфильтра, если только ширина фильтра $\Delta$ значительно больше шага сетки $\Delta x$. Хотя схемы четного порядка имеют ошибку усечения, они недиссипативны. и поскольку модели масштаба субфильтра являются диссипативными, схемы четного порядка не будут влиять на вклад модели масштаба субфильтра так сильно, как диссипативные схемы.

Реализация фильтра

Операция фильтрации при моделировании больших вихрей может быть неявной или явной. Неявная фильтрация учитывает, что модель масштаба подфильтра будет рассеиваться так же, как и многие числовые схемы. Таким образом, сетку или схему числовой дискретизации можно считать фильтром нижних частот LES. Хотя при этом в полной мере используются преимущества разрешения сетки и исключаются вычислительные затраты на вычисление члена модели масштаба подфильтра, трудно определить форму фильтра LES, что связано с некоторыми численными проблемами. Кроме того, ошибка усечения также может стать проблемой.

При явной фильтрации фильтр LES применяется к дискретизированным уравнениям Навье – Стокса, обеспечивая четко определенную форму фильтра и уменьшая ошибку усечения. Однако явная фильтрация требует более мелкой сетки, чем неявная фильтрация, и вычислительные затраты увеличиваются с увеличением размера сетки. $(\Delta x)^{4}$. В главе 8 Sagaut (2006) числовые значения LES рассматриваются более подробно.

Граничные условия моделирования больших вихрей

Граничные условия на входе существенно влияют на точность LES, а обработка входных условий для LES является сложной проблемой. Теоретически хорошее граничное условие для LES должно содержать следующие особенности:

(1) предоставление точной информации о характеристиках потока, т.е. скорости и турбулентности;

(2) удовлетворение уравнений Навье-Стокса и других физических явлений;

(3) простота реализации и адаптации к различным случаям.

В настоящее время методы создания входных условий для LES в целом разделены на две категории, классифицированные Табором и др.:

Первый метод создания турбулентных воздухозаборников заключается в их синтезе в соответствии с конкретными случаями, такими как методы Фурье, принцип ортогонального разложения (POD) и вихревые методы. Методы синтеза пытаются построить турбулентное поле на входных отверстиях, которое имеет подходящие свойства, подобные турбулентности, и позволяет легко определить параметры турбулентности, такие как турбулентная кинетическая энергия и скорость турбулентной диссипации. Кроме того, условия на входе, генерируемые с использованием случайных чисел, не требуют больших вычислительных затрат. Однако у метода имеется один серьезный недостаток. Синтезированная турбулентность не удовлетворяет физической структуре течения жидкости, описываемой уравнениями Навье-Стокса.

Второй метод включает в себя отдельный и предварительный расчет для создания турбулентной базы данных, которую можно ввести в основные вычисления на входах. База данных (иногда называемая «библиотекой») может быть создана разными способами, например, с использованием циклических доменов, предварительно подготовленной библиотеки и внутреннего сопоставления. Однако метод генерации турбулентного притока с помощью моделирования предвестников требует больших вычислительных мощностей.

Исследователи, изучающие применение различных типов синтетических расчетов и расчетов предшественников, обнаружили, что чем более реалистична турбулентность на входе, тем точнее LES предсказывает результаты.

Моделирование неразрешенных масштабов

Чтобы обсудить моделирование неразрешенных масштабов, сначала необходимо классифицировать неразрешенные масштабы. Они делятся на две группы: разрешенные шкалы подфильтра (SFS) и шкалы подсетки (SGS).

Разрешенные шкалы подфильтра представляют собой шкалы с волновыми числами, большими, чем волновое число среза. $k_{c}$, но эффекты которого подавляются фильтром. Разрешенные шкалы подфильтров существуют только в том случае, если используются фильтры, нелокальные в волновом пространстве (например, коробчатый фильтр или фильтр Гаусса ). Эти разрешенные масштабы подфильтра должны быть смоделированы с использованием реконструкции фильтра.

Масштабы подсетки — это любые масштабы, меньшие ширины фильтра среза. $\Delta$. Форма модели SGS зависит от реализации фильтра. Как упоминалось в разделе «Численные методы для LES» , если рассматривается неявный LES, модель SGS не реализуется, и предполагается, что численные эффекты дискретизации имитируют физику неразрешенных турбулентных движений.

Модели в масштабе подсетки

Без универсального описания турбулентности при построении и применении моделей SGS необходимо использовать эмпирическую информацию, дополненную фундаментальными физическими ограничениями, такими как инвариантность Галилея. . Существует два класса моделей SGS; первый класс — функциональные модели , второй класс — структурные модели . Некоторые модели можно отнести к обеим категориям.

Функциональные модели (вихрево-вязкости)

Функциональные модели проще структурных моделей и фокусируются только на рассеивании энергии с физически правильной скоростью. Они основаны на подходе искусственной вихревой вязкости, при котором эффекты турбулентности объединяются в турбулентную вязкость. Этот подход рассматривает диссипацию кинетической энергии в подсеточных масштабах как аналог молекулярной диффузии. В этом случае девиаторная часть $\tau _{ij}$ моделируется как:

$\tau _{ij}^{r}-{\frac {1}{3}}\tau _{kk}\delta _{ij}=-2\nu _{\mathrm {t} }{\bar {S}}_{ij}$

где $\nu _{\mathrm {t} }$ – турбулентная вихревая вязкость и ${\bar {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$ – тензор скорости деформации.

На основе анализа размеров вихревая вязкость должна иметь единицы измерения. $\left[\nu _{\mathrm {t} }\right]={\frac {\mathrm {m^{2}} }{\mathrm {s} }}$. Большинство моделей SGS с вихревой вязкостью моделируют вихревую вязкость как произведение характерного масштаба длины и характерного масштаба скорости.

Модель Смагоринского – Лилли

Первой разработанной моделью SGS была модель SGS Смагоринского-Лилли, разработанная Смагоринским . и использовался Дирдорфом в первом моделировании LES. Он моделирует вихревую вязкость как:

$\nu _{\mathrm {t} }=C\Delta ^{2}{\sqrt {2{\bar {S}}_{ij}{\bar {S}}_{ij}}}=C\Delta ^{2}\left|{\bar {S}}\right|$

где $\Delta$ размер сетки и $C$ является константой.

Этот метод предполагает, что производство и рассеивание энергии на малых масштабах находятся в равновесии, т.е. $\epsilon =\Pi$.

Динамическая модель (Джермано и др. и другие)

Герман и др. выявил ряд исследований с использованием модели Смагоринского, в каждом из которых были найдены разные значения константы Смагоринского. $C$ для различных конфигураций потока. Пытаясь сформулировать более универсальный подход к моделям SGS, Джермано и др. предложил динамическую модель Смагоринского, в которой использовались два фильтра: сеточный фильтр LES, обозначенный ${\overline {f}}$и тестовый фильтр LES, обозначенный ${\hat {f}}$ для любого турбулентного поля $f$. Тестовый фильтр больше по размеру, чем сеточный фильтр, и добавляет дополнительное сглаживание поля турбулентности к уже сглаженным полям, представленным LES. Применение тестового фильтра к уравнениям LES (которые получаются путем применения «сеточного» фильтра к уравнениям Навье-Стокса) приводит к новому набору уравнений, идентичных по форме, но с напряжением SGS. $\tau _{ij}={\overline {u_{i}u_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}$ заменен на $T_{ij}={\widehat {\overline {u_{i}u_{j}}}}-{\hat {\bar {u}}}_{i}{\hat {\bar {u}}}_{j}$. Джермано {\it и др.} al. отметил, что хотя ни $\tau _{ij}$ ни $T_{ij}$ могут быть вычислены именно из-за наличия неразрешенных масштабов, существует точное соотношение, связывающее эти два тензора. Это отношение, известное как немецкая идентичность, $L_{ij}=T_{ij}-{\hat {\tau }}_{ij}.$Здесь $L_{ij}={\widehat {{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}}-{\widehat {{\bar {u}}_{i}}}{\widehat {{\bar {u}}_{j}}}$ может быть вычислено явно, поскольку оно включает только отфильтрованные скорости и операцию тестовой фильтрации. Значение тождества состоит в том, что если предположить, что турбулентность самоподобна, то напряжения SGS на сеточном и тестовом уровнях имеют одинаковую форму $\tau _{ij}-(\tau _{kk}/3)\delta _{ij}=-2C\Delta ^{2}|{\bar {S}}_{ij}|{\bar {S}}_{ij}$ и $T_{ij}-(T_{kk}/3)\delta _{ij}=-2C{\hat {\Delta }}^{2}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}$, то тождество Джермано дает уравнение, из которого коэффициент Смагоринского $C$ (которая больше не является «константой») потенциально может быть определена. [Процедуре присуще предположение, что коэффициент $C$ инвариант масштаба (см. обзор )]. Для этого в исходную формулировку были введены два дополнительных шага. Во-первых, предполагалось, что, хотя $C$ в принципе был переменным, изменение было достаточно медленным, чтобы его можно было вывести из операции фильтрации. ${\widehat {C(.)}}=C{\widehat {(.)}}$. Во-вторых, поскольку $C$ был скаляром, тождество Джермано было сокращено с помощью тензора второго ранга (был выбран тензор скорости деформации), чтобы преобразовать его в скалярное уравнение, из которого $C$ можно было определить.Лилли нашел менее произвольный и, следовательно, более удовлетворительный подход к получению C из тензорного тождества. Он отметил, что тождество Джермано требует выполнения девяти уравнений в каждой точке пространства (из которых только пять являются независимыми) для одной величины $C$. Проблема получения $C$ следовательно, был слишком определен. Поэтому он предложил, чтобы $C$ определяться методом наименьших квадратов путем минимизации остатков. Это приводит к

$C={\frac {L_{ij}m_{ij}}{m_{kl}m_{kl}}}.$

Здесь

$m_{ij}=\alpha _{ij}-{\widehat {\beta }}_{ij}$

и для краткости $\alpha _{ij}=-2{\hat {\Delta }}^{2}|{\hat {\bar {S}}}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}$, $\beta _{ij}=-2\Delta ^{2}|{\bar {S}}|{\bar {S}}_{ij}$ Первоначальные попытки реализовать модель в моделировании LES оказались безуспешными. Во-первых, вычисленный коэффициент вовсе не было «медленно меняющимся», как предполагалось, и менялось так сильно, как любое другое турбулентное поле. Во-вторых, вычисленный $C$ может быть как положительным, так и отрицательным. Последний факт сам по себе не следует рассматривать как недостаток, поскольку априорные тесты с использованием отфильтрованных полей DNS показали, что скорость рассеяния в локальной подсетке $-\tau _{ij}{\bar {S}}_{ij}$ в турбулентном поле почти так же вероятно будет отрицательным, как и положительным, хотя интеграл по области жидкости всегда положителен, представляя собой чистую диссипацию энергии в больших масштабах. Незначительное преобладание положительных значений в отличие от строгой положительности вихревой вязкости приводит к наблюдаемой чистой диссипации. Это так называемое «обратное рассеяние» энергии от малых масштабов к большим действительно соответствует отрицательным значениям C в модели Смагоринского. Тем не менее, было обнаружено, что формулировка Джермано-Лилли не приводит к стабильным расчетам. Была принята специальная мера путем усреднения числителя и знаменателя по однородным направлениям (если такие направления существуют в потоке).

$C={\frac {\left\langle L_{ij}m_{ij}\right\rangle }{\left\langle m_{kl}m_{kl}\right\rangle }}.$

Когда усреднение включало достаточно большую статистическую выборку, чтобы вычислить $C$ был положительным (или на уровне хотя бы редко отрицательные) стабильные расчеты были возможны. Простая установка отрицательных значений на ноль (процедура, называемая «обрезанием») с усреднением или без него также привела к стабильным расчетам. Менево предложил усреднение по траекториям лагранжевой жидкости с экспоненциально затухающей «памятью». Это можно применить к задачам, в которых отсутствуют однородные направления, и оно может быть стабильным, если эффективное время, в течение которого выполняется усреднение, достаточно велико, но не настолько велико, чтобы сгладить интересующие пространственные неоднородности.

Модификация Лилли метода Джермано с последующим статистическим усреднением или синтетическим удалением областей с отрицательной вязкостью кажется специальной, даже если ее можно заставить «работать». Альтернативная формулировка процедуры минимизации наименьших квадратов, известная как «Модель динамической локализации» (DLM), была предложена Госал и др. В этом подходе сначала определяют величину

$E_{ij}=L_{ij}-T_{ij}+{\hat {\tau }}_{ij}$

с тензорами $\tau _{ij}$ и $T_{ij}$ заменен соответствующей моделью SGS. Затем этот тензор представляет собой величину, на которую подсеточная модель не учитывает идентичность Джермано в каждом пространственном местоположении. В подходе Лилли $C$ затем вытаскивается из шляпы оператора

${\widehat {C(.)}}=C{\widehat {(.)}}$

изготовление $E_{ij}$ алгебраическая функция $C$ что затем определяется требованием, чтобы $E_{ij}E_{ij}$ рассматриваемые как функция C, имеют наименьшее возможное значение.Однако, поскольку $C$ Полученная таким образом оказывается такой же переменной, как и любая другая колеблющаяся величина в турбулентности, исходное предположение о постоянстве $C$ не может быть оправдано апостериорно. В подходе DLM этой несогласованности можно избежать, не прибегая к этапу удаления C из тестовой операции фильтрации. Вместо этого глобальную ошибку во всей области потока определяют величиной

$E[C]=\int E_{ij}E_{ij}dV$

где интеграл распространяется по всему объему жидкости. Эта глобальная ошибка $E[C(x,y,z,t)]$ тогда является функционалом пространственно меняющейся функции $C(x,y,z,t)$ (здесь момент времени, $t$, фиксирован и поэтому появляется просто как параметр), который определяется так, чтобы минимизировать этот функционал. Решение этой вариационной задачи состоит в том, что $C$ должно удовлетворять интегральному уравнению Фредгольма второго рода

$C({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {x}})+\int K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})C({\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {y}}$

где функции $K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})$ и $f({\boldsymbol {x}})$ определяются через разрешенные поля $L_{ij},\alpha _{ij},\beta _{ij}$ и поэтому известны на каждом временном шаге и в диапазоне интегралов по всей области жидкости. Интегральное уравнение решается численно с помощью итерационной процедуры, и сходимость обычно оказывается быстрой, если использовать схему предварительного кондиционирования. Несмотря на то, что этот вариационный подход устраняет внутреннюю непоследовательность подхода Лилли, $C(x,y,z,t)$ Полученное из интегрального уравнения все еще проявляло нестабильность, связанную с отрицательными вязкостями. Это можно решить, настаивая на том, что $E[C]$ быть минимизированы с учетом ограничения $C(x,y,z,t)\geq 0$. Это приводит к уравнению для $C$ это нелинейно

$C({\boldsymbol {x}})=\left[f({\boldsymbol {x}})+\int K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})C({\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {y}}\right]_{+}$

Здесь суффикс + указывает на «положительную часть», то есть $x_{+}=(x+|x|)/2$. Хотя на первый взгляд это выглядит как «отсечение», это не специальная схема, а достоверное решение вариационной проблемы с ограничениями. Эта модель DLM(+) оказалась стабильной и дала отличные результаты для вынужденной и затухающей изотропной турбулентности, потоков в каналах и множества других более сложных геометрий. Если поток имеет однородные направления (скажем, направления x и z), то можно ввести анзац $C=C(y,t)$. Тогда вариационный подход немедленно дает результат Лилли с усреднением по однородным направлениям без необходимости специальных модификаций предыдущего результата.

Одним из недостатков модели DLM(+) было то, что она не описывала обратное рассеяние, которое, как известно, является реальной «вещью» из анализа данных DNS. Для решения этой проблемы были разработаны два подхода. В одном подходе, предложенном Carati et al. в аналогия с теорией пульсационной гидродинамики Ландау. При втором подходе отмечают, что любая «обратнорассеянная» энергия появляется в разрешенных масштабах только за счет энергии в подсетке весы. DLM можно легко модифицировать, чтобы учесть этот физический факт и позволить для обратного рассеяния, оставаясь при этом стабильным. Эта версия DLM с k-уравнением, DLM(k) заменяет $\Delta |{\bar {S}}|$ в модели вихревой вязкости Смагоринского по ${\sqrt {k}}$ как соответствующий масштаб скоростей. Порядок определения $C$ остается идентичным «неограниченной» версии, за исключением того, что тензоры $\alpha _{ij}=-2{\hat {\Delta }}{\sqrt {K}}{\hat {\bar {S}}}_{ij}$, $\beta _{ij}=-2{\hat {\Delta }}{\sqrt {k}}{\bar {S}}_{ij}$ где кинетическая шкала субтеста энергия K связана с кинетической энергией k в подсеточном масштабе соотношением $K=k+L_{ii}/2$ (следует проследить идентичность Джермано). Для определения k мы теперь используем уравнение переноса

${\frac {\partial k}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}=-\tau _{ij}{\bar {S}}_{ij}-{\frac {C_{*}}{\Delta }}k^{3/2}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(D\Delta {\sqrt {k}}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}\right)+\nu {\frac {\partial ^{2}k}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}$

где $\nu$ - кинематическая вязкость и $C_{*},D$ положительные коэффициенты представляющие диссипацию и диффузию кинетической энергии соответственно. Их можно определить, следуя динамике процедура с ограниченной минимизацией, как в DLM(+). Этот подход, хотя и более дорогой в реализации, чем DLM(+), оказался стабильным и привел к хорошему согласию с экспериментальными данными для различных потоков.протестировано. Более того, математически невозможно, чтобы DLM(k) приводил к нестабильным вычислениям, поскольку сумма крупномасштабной энергии и энергии SGS по своей конструкции не увеличивается. Оба эти подхода, включающие обратное рассеяние, работают хорошо. Они дают модели, которые немного менее диссипативны, с несколько улучшенными характеристиками по сравнению с DLM(+). Модель DLM(k) дополнительно дает подсеточную кинетическую энергию, которая может представлять интерес как физическую величину. Эти улучшения достигаются за счет несколько повышенных затрат на реализацию модели.

Динамическая модель возникла в рамках летней программы 1990 года Центра исследований турбулентности (CTR) Стэнфордского университета . Серия семинаров «CTR-Tea» посвящена 30-летию Архивировано 30 октября 2022 г. в Wayback Machine. этой важной вехи в моделировании турбулентности.

См. также

• Прямое численное моделирование
• Гидравлическая механика
• Инвариантность Галилея – важное свойство некоторых типов фильтров.
• Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса
• Турбулентность

Дальнейшее чтение

• Хейс, Т.; ван Херваарден, CC; Йонкер, HJJ; Пьер Сиебесма, А.; Аксельсен, С. « Разработка голландской модели больших вихрей в атмосфере (DALES) и обзор ее приложений » Разработка геонаучной модели , 3, 2, 30 сентября 2010 г., стр. 415–444. DOI : 10.5194/gmd-3-415-2010 . ISSN : 1991-9603.