Оператор Рейнольдса

В гидродинамике и теории инвариантов оператор Рейнольдса — это математический оператор, заданный усреднением чего-либо по групповому действию и удовлетворяющий набору свойств, называемых правилами Рейнольдса. В гидродинамике операторы Рейнольдса часто встречаются в моделях турбулентных потоков , особенно в усредненных по Рейнольдсу уравнениях Навье – Стокса , где среднее значение обычно берется по потоку жидкости в рамках группы временных сдвигов. В теории инвариантов среднее значение часто берется по компактной группе или редуктивной алгебраической группе, действующей на коммутативной алгебре, такой как кольцо полиномов. Операторы Рейнольдса были введены в гидродинамику Осборном Рейнольдсом ( 1895 ) и названы Ж. Кампе де Ферье ( 1934 , 1935 , 1949 ).

Определение

Операторы Рейнольдса используются в гидродинамике, функциональном анализе и теории инвариантов, при этом обозначения и определения в этих областях немного различаются. Оператор Рейнольдса, действующий на φ, иногда обозначается через $R(\phi ),P(\phi ),\rho (\phi ),\langle \phi \rangle$ или ${\overline {\phi }}$. Операторы Рейнольдса обычно представляют собой линейные операторы, действующие на некоторую алгебру функций и удовлетворяющие тождеству

$R(R(\phi )\psi )=R(\phi )R(\psi )\quad {\text{ for all }}\phi ,\psi$

а иногда и некоторые другие условия, например, поездка на работу с различными групповыми действиями.

Инвариантная теория

В теории инвариантов оператор Рейнольдса R обычно является линейным оператором, удовлетворяющим

$R(R(\phi )\psi )=R(\phi )R(\psi )\quad {\text{ for all }}\phi ,\psi$

и

$R(1)=1$

Вместе эти условия означают, R идемпотент что : R ² = Р. ​Оператор Рейнольдса также обычно коммутирует с некоторым групповым действием и проецируется на инвариантные элементы этого группового действия.

Функциональный анализ

В функциональном анализе оператор Рейнольдса — это линейный оператор R, действующий на некоторой алгебре функций φ и удовлетворяющий тождеству Рейнольдса.

${\textstyle R(\phi \psi )=R(\phi )R(\psi )+R\left(\left(\phi -R(\phi )\right)\left(\psi -R(\psi )\right)\right)\quad {\text{ for all }}\phi ,\psi }$

Оператор R называется усредняющим, если он линеен и удовлетворяет условиям

$R(R(\phi )\psi )=R(\phi )R(\psi )\quad {\text{ for all }}\phi ,\psi$

Если R ( R ( φ )) = R ( φ ) для всех φ, то R является оператором усреднения тогда и только тогда, когда он является оператором Рейнольдса. Иногда R ( R ( φ )) = R ( φ к определению операторов Рейнольдса добавляется условие ).

Гидродинамика

Позволять $\phi$ и $\psi$ быть двумя случайными величинами, и $a$ быть произвольной константой. Тогда свойства, которым удовлетворяют операторы Рейнольдса, для оператора $\langle \rangle ,$ включить линейность и свойство усреднения:

$\langle \phi +\psi \rangle =\langle \phi \rangle +\langle \psi \rangle ,\,$

$\langle a\phi \rangle =a\langle \phi \rangle ,\,$

$\langle \langle \phi \rangle \psi \rangle =\langle \phi \rangle \langle \psi \rangle ,\,$ что подразумевает $\langle \langle \phi \rangle \rangle =\langle \phi \rangle .\,$

Кроме того, часто предполагается, что оператор Рейнольдса коммутирует с перемещением пространства и времени:

$\left\langle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right\rangle ={\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}},\qquad \left\langle {\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right\rangle ={\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial x}},$

$\left\langle \int \phi ({\boldsymbol {x}},t)\,d{\boldsymbol {x}}\,dt\right\rangle =\int \langle \phi ({\boldsymbol {x}},t)\rangle \,d{\boldsymbol {x}}\,dt.$

Любой оператор, удовлетворяющий этим свойствам, является оператором Рейнольдса.

Примеры

Операторы Рейнольдса часто задаются путем проецирования на инвариантное подпространство группового действия.

• «Оператор Рейнольдса», рассмотренный Рейнольдсом (1895), по сути, был проекцией потока жидкости на «средний» поток жидкости, который можно рассматривать как проекцию на постоянные во времени потоки. Здесь групповое действие задается действием группы переводов времени.
• Предположим, что G — редуктивная алгебраическая группа или компактная группа, а V — конечномерное представление G . Тогда G действует также на симметрической алгебре SV многочленов . Оператор Рейнольдса R — это G -инвариантный проектор из SV в подкольцо SV ^Г элементов, фиксированных G .

Ссылки

• Кампе де Ферье, Ж. (1934), «Современное состояние проблемы турбулентности I», La Science Aérien , 3 : 9–34.
• Кампе де Ферье, Ж. (1935), «Современное состояние проблемы турбулентности II», La Science Aérien , 4 : 12–52.
• Кампе де Ферье, Ж. (1949), «Об одной абстрактной алгебраической проблеме, поставленной определением среднего значения в теории турбулентности», Annales de la Société Scientifique de Bruxelles. Серия I. Математические, астрономические и физические науки , 63 : 165–180, ISSN   0037-959X , MR   0032718
• Рейнольдс, О. (1895), «О динамической теории несжимаемых вязких жидкостей и определении критерия» , Philosophical Transactions of the Royal Society A , 186 : 123–164, Bibcode : 1895RSPTA.186..123R , doi : 10.1098/rsta.1895.0004 , JSTOR   90643
• Рота, Джан-Карло (2003), Джан-Карло Рота об анализе и вероятности , Современные математики, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN  978-0-8176-4275-4 , MR   1944526 Перепечатывает несколько статей Роты об операторах Рейнольдса с комментариями.
• Рота, Джан-Карло (1964), «Операторы Рейнольдса», Proc. Симпозиумы. Прил. Математика. , том. XVI, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 70–83, МР   0161140.
• Штурмфельс, Бернд (1993), Алгоритмы в теории инвариантов , Тексты и монографии по символическим вычислениям, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-7091-4368-1 , ISBN  978-3-211-82445-0 , МР   1255980