Модель уравнения напряжения Рейнольдса

Модель уравнения напряжения Рейнольдса ( RSM ), также называемая замыканиями второго момента, является наиболее полной классической моделью турбулентности . В этих моделях исключается гипотеза вихревой вязкости, и отдельные компоненты тензора напряжений Рейнольдса вычисляются напрямую. В этих моделях для формулировки используется точное уравнение переноса напряжений Рейнольдса. Они объясняют направленные эффекты рейнольдсовых напряжений и сложные взаимодействия в турбулентных потоках. Модели напряжения Рейнольдса обеспечивают значительно лучшую точность, чем модели турбулентности на основе вихревой вязкости, но при этом они дешевле в вычислительном отношении, чем прямое численное моделирование (DNS) и моделирование больших вихревых явлений.

Недостатки моделей на основе вихревой вязкости

Модели, основанные на вихревой вязкости, такие как $k-\epsilon$ и $k-\omega$ модели имеют существенные недостатки в сложных реальных турбулентных потоках. Например, в потоках с кривизной линии тока, отрывом потока, потоками с зонами рециркуляции потока или потоками, находящимися под влиянием эффектов среднего вращения, производительность этих моделей неудовлетворительна.

Такие замыкания на основе одного и двух уравнений не могут объяснить возврат к изотропии турбулентности, наблюдается в затухающих турбулентных потоках. Модели, основанные на вихревой вязкости, не могут воспроизвести поведение турбулентных потоков в пределе быстрого искажения. где турбулентный поток по существу ведет себя как упругая среда (а не вязкая).

Уравнение переноса напряжений Рейнольдса

Модели уравнения напряжения Рейнольдса основаны на уравнении переноса напряжения Рейнольдса. Уравнение переноса кинематического напряжения Рейнольдса $R_{ij}=\langle u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }\rangle =-\tau _{ij}/\rho$ является

${\frac {DR_{ij}}{Dt}}=D_{ij}+P_{ij}+\Pi _{ij}+\Omega _{ij}-\varepsilon _{ij}$

Скорость изменения $R_{ij}$ + Перевозка $R_{ij}$ конвекцией = Перенос $R_{ij}$ путем диффузии + Скорость производства $R_{ij}$ + Перевозка $R_{ij}$ из-за турбулентного взаимодействия давления и деформации + Транспорт $R_{ij}$ за счет вращения + Скорость диссипации $R_{ij}$.

Шесть уравнений в частных производных, приведенных выше, представляют шесть независимых напряжений Рейнольдса . В то время как срок производства ( $P_{ij}$) является замкнутым и не требует моделирования, остальные члены, такие как корреляция деформации давления ( $\Pi _{ij}$) и диссипация ( $\varepsilon _{ij}$), являются незакрытыми и требуют замыкающих моделей.

Срок изготовления

Производственный термин, который используется в вычислениях CFD с помощью уравнений переноса напряжений Рейнольдса, равен

$P_{ij}=-\left(R_{im}{\frac {\partial U_{j}}{\partial x_{m}}}+R_{jm}{\frac {\partial U_{i}}{\partial x_{m}}}\right)$

Физически термин «Производство» представляет собой действие градиентов средней скорости, действующих против напряжений Рейнольдса. Это объясняет передачу кинетической энергии от среднего потока к пульсирующему полю скорости. Он отвечает за поддержание турбулентности потока посредством передачи энергии от крупномасштабных средних движений к мелкомасштабным колебательным движениям.

Это единственный член, который замкнут в уравнениях переноса напряжений Рейнольдса. Для его непосредственной оценки не требуются модели. Все остальные члены в уравнениях переноса напряжений Рейнольдса являются незамкнутыми и для их оценки требуются модели замыкания.

Термин быстрой корреляции давления и деформации

Член быстрой корреляции давления и деформации перераспределяет энергию между компонентами напряжений Рейнольдса. Это зависит от градиента средней скорости и вращения осей координат. Физически это возникает из-за взаимодействия флуктуирующего поля скорости и поля градиента средней скорости. Простейшая линейная форма модельного выражения:

${\frac {\Pi _{ij}^{R}}{k}}=C_{2}S_{ij}+C_{3}\left(b_{ik}S_{jk}+b_{jk}S_{ik}-{\frac {2}{3}}b_{mn}S_{mn}\delta _{ij}\right)+C_{4}\left(b_{ik}W_{jk}+b_{jk}W_{ik}\right)$

Здесь $b_{ij}={\frac {\overline {u_{i}u_{j}}}{2k}}-{\frac {\delta _{ij}}{3}}$ – тензор анизотропии напряжений Рейнольдса, $S_{ij}$ - член скорости деформации для поля средней скорости и $W_{ij}$ – член скорости вращения для поля средней скорости. По соглашению, $C_{2},C_{3},C_{4}$ – коэффициенты корреляционной модели быстрой деформации под давлением. Существует множество различных моделей корреляции быстрой деформации под давлением, которые используются в моделировании. К ним относятся модель Лаундера-Риса-Роди, модель Специале-Саркара-Гацкого, модель Холлбака-Йохансена, модель Мишры-Гиримаджи, помимо других.

Член медленной корреляции давления и деформации

Член медленной корреляции давления и деформации перераспределяет энергию между напряжениями Рейнольдса. Это отвечает за возврат к изотропии затухающей турбулентности, при которой она перераспределяет энергию для уменьшения анизотропии напряжений Рейнольдса. Физически этот член обусловлен самовзаимодействием между флуктуирующим полем. Модельное выражение для этого термина имеет вид

$\Pi _{ij}^{S}=-C_{1}{\frac {\varepsilon }{k}}\left(R_{ij}-{\frac {2}{3}}k\delta _{ij}\right)-C_{2}\left(P_{ij}-{\frac {2}{3}}P\delta _{ij}\right)$

Существует множество различных моделей корреляции медленной деформации под давлением, которые используются в моделировании. К ним относится модель Ротта. , модель Специале-Саркара , помимо других.

Срок рассеивания

Традиционное моделирование диссипации тензора скорости $\varepsilon _{\rm {ij}}$ предполагает, что небольшие диссипативные вихри изотропны. В этой модели диссипация влияет только на нормальные напряжения Рейнольдса .

$\varepsilon _{\rm {ij}}={\frac {2}{3}}\varepsilon \delta _{ij}$ или $e_{\rm {ij}}=0$

где $\varepsilon$ – скорость диссипации турбулентной кинетической энергии, $\delta _{ij}=1$ когда я = j и 0, когда я ≠ j и $e_{\rm {ij}}$ – анизотропия скорости диссипации, определяемая как $e_{ij}={\frac {\varepsilon _{ij}}{\varepsilon }}-{\frac {2\delta _{ij}}{3}}$.

Однако, как было показано, например, Рогалло, Шуман и Паттерсон, Убер, Ли и Рейнольдс и Грот, Хальбек и Йоханссон существует множество ситуаций, когда эта простая модель тензора скорости диссипации недостаточна из-за того, что даже небольшие диссипативные вихри анизотропны. Чтобы учесть эту анизотропию в тензоре скорости диссипации Ротта предложил линейную модель, связывающую анизотропию тензора напряжений скорости диссипации с анизотропией тензора напряжений.

$\varepsilon _{\rm {ij}}={\frac {2}{3}}\varepsilon \delta _{ij}$ или $e_{\rm {ij}}=\sigma a_{ij}$

где $a_{ij}={\frac {\overline {u_{i}u_{j}}}{k}}-{\frac {2\delta _{ij}}{3}}=2b_{ij}$.

Параметр $\sigma$ предполагается, что это функция турбулентного числа Рейнольдса, средней скорости деформации и т. д. Из физических соображений следует, что $\sigma$ должно стремиться к нулю, когда турбулентное число Рейнольдса стремится к бесконечности, и к единице, когда турбулентное число Рейнольдса стремится к нулю. Однако из сильного условия реализуемости следует, что $\sigma$ должно быть тождественно равно 1.

Основываясь на обширных физических и численных экспериментах (DNS и EDQNM) в сочетании с строгим соблюдением фундаментальных физических и математических ограничений и граничных условий, Грот, Хальбек и Йоханссон предложили улучшенную модель тензора скорости диссипации.

$e_{\rm {ij}}=\left[1+\alpha \left({\frac {II_{a}}{2}}-{\frac {2}{3}}\right)\right]a_{ij}-\alpha \left(a_{\rm {ik}}a_{\rm {kj}}-{\frac {1}{3}}II_{a}\delta _{\rm {ij}}\right)$

где $II_{a}=a_{\rm {ij}}a_{\rm {ji}}$ — второй инвариант тензора $a_{\rm {ij}}$ и $\alpha$ – параметр, который в принципе может зависеть от турбулентного числа Рейнольдса, параметра средней скорости деформации и т. д.

Однако Грот, Хальбек и Йоханссон использовали теорию быстрых искажений, чтобы оценить предельное значение $\alpha$ что получается 3/4. Используя это значение, модель была протестирована в DNS-моделировании четырех различных однородных турбулентных потоков. Несмотря на то, что параметры в модели кубической скорости диссипации были зафиксированы с помощью реализуемости и RDT перед сравнением с данными DNS, согласие между моделью и данными было очень хорошим во всех четырех случаях.

Основное отличие этой модели от линейной состоит в том, что каждая компонента $e_{\rm {ij}}$ находится под влиянием полного анизотропного состояния. Преимущество этой кубической модели очевидно на примере безвихревой плоской деформации, при которой продольная составляющая $a_{\rm {ij}}$ близка к нулю при умеренных скоростях деформации, тогда как соответствующая компонента $e_{\rm {ij}}$ нет. Такое поведение невозможно описать линейной моделью.

Диффузионный термин

Моделирование ​ диффузионного ​ члена $D_{ij}$ основан на предположении, что скорость переноса рейнольдсовых напряжений путем диффузии пропорциональна градиентам рейнольдсовых напряжений . Это применение концепции гипотезы градиентной диффузии к моделированию эффекта пространственного перераспределения напряжений Рейнольдса из-за флуктуирующего поля скорости. Самая простая форма $D_{ij}$ за которым следуют коммерческие CFD, коды

$D_{ij}={\frac {\partial }{\partial x_{m}}}\left({\frac {v_{t}}{\sigma _{k}}}{\frac {\partial R_{ij}}{\partial x_{m}}}\right)=\operatorname {div} \left({\frac {v_{t}}{\sigma _{k}}}\nabla (R_{ij})\right)$

где $\upsilon _{t}=C_{\mu }{\frac {k^{2}}{\varepsilon }}$, $\sigma _{k}=1.0$ и $C_{\mu }=0.09$.

Вахтовый срок

Ротационный член определяется как

$\Omega _{ij}=-2\omega _{k}\left(R_{jm}e_{ikm}+R_{im}e_{jkm}\right)$

здесь $\omega _{k}$ вектор вращения , $e_{ijk}$=1, если i,j,k находятся в циклическом порядке и различны, $e_{ijk}$= -1, если i,j,k находятся в антициклическом порядке и различны и $e_{ijk}$=0 в случае, если любые два индекса одинаковы.

Преимущества РСМ

1) В отличие от модели k-ε, в которой используется изотропная вихревая вязкость, RSM учитывает все компоненты турбулентного переноса.
2) Это наиболее общая из всех моделей турбулентности , которая достаточно хорошо работает для большого количества технических потоков.
только начальные и/или граничные условия . 3) Требуется указать
4) Поскольку условия производства не нужно моделировать, можно выборочно демпфировать напряжения, возникающие из-за плавучести , эффектов кривизны и т. д.

См. также

• Рейнольдс Стресс
• Изотропия
• Моделирование турбулентности
• Эдди
• модель турбулентности k-эпсилон

См. также

• модель турбулентности k-эпсилон
• Модель длины смешивания

Библиография

• «Турбулентные потоки», С.Б. Поуп, издательство Кембриджского университета (2000).
• «Моделирование турбулентности в инженерии и окружающей среде: второй момент пути к закрытию», Кемаль Ханьялич и Брайан Лаундер, Cambridge University Press (2011).