Модель длины смешивания

Длина смешивания — это расстояние, на котором пакет жидкости сохранит свои первоначальные характеристики до того, как они растворятся в окружающей жидкости . Здесь полоса в левой части рисунка — это длина смешивания.

закон стенки, горизонтальная скорость у стенки с моделью длины смешивания

В гидродинамике модель длины смешивания представляет собой метод, пытающийся описать импульса передачу турбулентными напряжениями Рейнольдса в ньютоновской жидкости пограничном слое посредством вихревой вязкости . Модель была разработана Людвигом Прандтлем в начале 20 века. Сам Прандтль имел сомнения по поводу этой модели. описывая это как «только грубое приближение», но с тех пор он использовался во многих областях, включая науку об атмосфере , океанографию и структуру звезд .

Физическая интуиция

Длина смешивания концептуально аналогична понятию длины свободного пробега в термодинамике : жидкий пакет сохраняет свои свойства в течение характерной длины, $\ \xi '$, прежде чем смешаться с окружающей жидкостью. Прандтль описал, что длина смешивания

можно рассматривать как диаметр масс жидкости, движущихся как единое целое в каждом отдельном случае; или, опять же, как расстояние, которое проходит масса этого типа, прежде чем она смешается с соседними массами...

На рисунке выше температура , $\ T$, сохраняется на определенном расстоянии, когда посылка движется по градиенту температуры . Колебания температуры, которые испытывала посылка на протяжении всего процесса, равны $\ T'$. Так $\ T'$ можно рассматривать как отклонение температуры от окружающей среды после прохождения этой длины смешивания. $\ \xi '$.

Математическая формулировка

Для начала мы должны уметь выражать количества как суммы их медленно меняющихся и флуктуирующих компонентов.

Разложение Рейнольдса

Этот процесс известен как разложение Рейнольдса . Температуру можно выразить как:

$$T={\overline {T}}+T',$$

где ${\overline {T}}$, – медленно меняющаяся компонента и $T'$ является колеблющейся составляющей.

На картинке выше $T'$ может быть выражено через длину смешивания, если рассматривать пакет жидкости, движущийся в направлении z:

$$T'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {T}}}{\partial z}}.$$

Колебательные компоненты скорости, $u'$, $v'$, и $w'$, также можно выразить аналогичным образом:

$$u'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}},\qquad \ v'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {v}}}{\partial z}},\qquad \ w'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial z}}.$$

хотя теоретическое обоснование этого слабее, поскольку сила градиента давления может значительно изменить колеблющиеся компоненты. Более того, для случая вертикальной скорости $w'$ должна находиться в нейтрально-слоистой жидкости.

Произведение горизонтальных и вертикальных колебаний дает нам:

$${\overline {u'w'}}={\overline {\xi '^{2}}}\left|{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial z}}\right|{\frac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}}.$$

Вихревая вязкость определяется из приведенного выше уравнения как:

$$K_{m}={\overline {\xi '^{2}}}\left|{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial z}}\right|,$$

Итак, мы имеем вихревую вязкость, $K_{m}$ выражается через длину смешивания, $\xi '$.

См. также

• Закон стены
• Модель уравнения напряжения Рейнольдса