Метод коррекции давления

Метод коррекции давления — это класс методов, используемых в вычислительной гидродинамике для численного решения уравнений Навье-Стокса, обычно для несжимаемых потоков .

Общие свойства

Уравнения, решаемые в этом подходе, возникают в результате неявного интегрирования по времени уравнений Навье – Стокса для несжимаемой жидкости .

\overbrace {\rho {\Big (}\underbrace {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Unsteady}}\\{\text{acceleration}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {v} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Convective}}\\{\text{acceleration}}\end{smallmatrix}}{\Big )}} ^{\text{Inertia}}=\underbrace {-\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{Pressure}}\\{\text{gradient}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} } _{\text{Viscosity}}+\underbrace {\mathbf {f} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Other}}\\{\text{forces}}\end{smallmatrix}}

Из-за нелинейности конвективного члена в записанном выше уравнении количества движения эта проблема решается методом вложенного цикла. Хотя так называемый глобальный или внутренние итерации представляют собой шаги в реальном времени и используются для обновления переменных. $\mathbf {v}$ и $p$ , основанный на линеаризованной системе и граничных условиях; существует также внешний цикл обновления коэффициентов линеаризованной системы.
Внешние итерации состоят из двух шагов:

Решите уравнение количества движения для предварительной скорости, основанной на скорости и давлении предыдущего внешнего цикла.
Подставьте новую полученную скорость в уравнение непрерывности, чтобы получить поправку.

Поправка на скорость, полученная из второго уравнения для несжимаемого потока, критерия недивергенции или уравнения неразрывности

\nabla \cdot \mathbf {v} =0

рассчитывается путем сначала расчета остаточной стоимости ${\dot {m}}$ , возникающий в результате ложного потока массы , а затем используя этот дисбаланс масс , чтобы получить новое значение давления. Значение давления, которое пытаются вычислить, таково, что при его включении в уравнения количества движения получается бездивергенционное поле скорости. Дисбаланс масс часто также используется для управления внешним контуром.
Название этого класса методов связано с тем, что поправка поля скорости вычисляется через поле давления.

Дискретизация этого обычно выполняется либо методом конечных элементов , либо методом конечных объемов . В последнем случае можно также столкнуться с двойной сеткой, т.е. с расчетной сеткой, полученной путем соединения центров ячеек, полученных в результате первоначального разделения на конечные элементы расчетной области.

Неявные процедуры разделения обновлений

Другой подход, который обычно используется в FEM, заключается в следующем.

Целью этапа коррекции является обеспечение сохранения массы . В непрерывной форме для массы сжимаемых веществ сохранение массы выражается выражением

\nabla \cdot \left(\rho (\mathbf {x} )\mathbf {v} (\mathbf {x} )\right)={\frac {{\frac {d}{dt}}p(\mathbf {x} )}{c^{2}}}

где $c^{2}$ – квадрат «скорости звука». Для малых чисел Маха и несжимаемых сред. $c$ предполагается бесконечным, что является причиной того, что приведенное выше уравнение непрерывности сводится к

{\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\end{aligned}}

Способ получения поля скорости, удовлетворяющего вышеизложенному, состоит в вычислении давления, которое при подстановке в уравнение количества движения приводит к желаемой коррекции предварительно вычисленной промежуточной скорости.

Применение оператора дивергенции к уравнению количества сжимаемого импульса дает

{\begin{aligned}\nabla \cdot \partial _{t}\mathbf {v} &=-\nabla \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla \cdot \nabla ^{2}\mathbf {v} -\nabla ^{2}p\\\partial _{t}\nabla \cdot \mathbf {v} &=-\nabla \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla ^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\nabla ^{2}p\\0&=-\nabla \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} -\nabla ^{2}p\\\nabla ^{2}p&=-\nabla \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} &(\ast )\end{aligned}}

$(\ast )$ затем предоставляет основное уравнение для расчета давления.

Идея коррекции давления существует также в случае переменной плотности и высоких чисел Маха, хотя в этом случае существует реальный физический смысл связи динамического давления и скорости, вытекающей из уравнения неразрывности.

{\begin{aligned}\partial _{t}\rho &=\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} )\\\partial _{t}\rho &={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}p\end{aligned}}

$p$ со сжимаемостью, которая по-прежнему является дополнительной переменной, которую можно устранить с помощью алгебраических операций, но ее изменчивость не является чистой выдумкой, как в случае сжимаемости, и методы ее вычисления существенно отличаются от методов со сжимаемостью. $\rho ={\text{constant}}.$

Ссылки

М. Томадакис, М. Лещинер: МЕТОД КОРРЕКЦИИ ДАВЛЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕСЖИМАЕМЫХ ВЯЗКИХ ПОТОКОВ НА НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ, Int. Журнал численной математики. в «Жидкости», Vol. 22, 1996 г.
А. Мейстер, Дж. Штрукмайер: Гиперболические уравнения в частных производных, 1-е издание, Vieweg, 2002 г.

Внешние ссылки