Фон Карман закрученный поток

Закрученный поток фон Кармана — это поток, создаваемый равномерно вращающимся бесконечно длинным плоским диском, названный в честь Теодора фон Кармана , который решил эту проблему в 1921 году. Вращающийся диск действует как жидкостный насос и используется в качестве модели центробежных вентиляторов или компрессоров. Этот поток относится к категории стационарных потоков, в которых завихренность, возникающая на твердой поверхности, не может распространяться далеко за счет встречной конвекции, другими примерами являются пограничный слой Блазиуса с всасыванием, поток в критической точке и т. Д.

Описание потока

Рассмотрим плоский диск бесконечного радиуса, вращающийся с постоянной угловой скоростью. $\Omega$ в жидкости, которая изначально везде покоится. Вблизи поверхности жидкость вращается диском из-за трения, которое затем вызывает центробежные силы, которые перемещают жидкость наружу. Это внешнее радиальное движение жидкости возле диска должно сопровождаться внутренним осевым движением жидкости к диску для сохранения массы. Теодор фон Карман заметил, что основные уравнения и граничные условия допускают такое решение, что $u/r,v/r$ и $w$ являются функциями $z$ только, где $(u,v,w)$ – компоненты скорости в цилиндрических $(r,\theta ,z)$ координировать свои действия с $r=0$ является осью вращения и $z=0$ представляет собой плоский диск. В силу симметрии давление жидкости может зависеть только от радиальной и осевой координаты. $p=p(r,z)$. Тогда уравнение неразрывности и уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости сводятся к

${\begin{aligned}&{\frac {2u}{r}}+{\frac {dw}{dz}}=0\\[8pt]&\left({\frac {u}{r}}\right)^{2}-\left({\frac {v}{r}}\right)^{2}+w{\frac {d(u/r)}{dz}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}+\nu {\frac {d^{2}(u/r)}{dz^{2}}}\\[8pt]&{\frac {2uv}{r^{2}}}+w{\frac {d(v/r)}{dz}}=\nu {\frac {d^{2}(v/r)}{dz^{2}}}\\[8pt]&w{\frac {dw}{dz}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}+\nu {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {p}{\rho }}=\nu {\frac {dw}{dz}}-{\frac {1}{2}}w^{2}+f(r)\end{aligned}}$

где $\nu$ – кинематическая вязкость.

Нет вращения на бесконечности

Подобие закрученного потока Фон Кармана. Скорость и давление для бесконечного вращающегося диска в зависимости от расстояния над диском.

Поскольку вращения в целом нет $z\rightarrow \infty$, $p(r,z)$ становится независимым от $r$ в результате чего $p=p(z)$. Следовательно $f(r)={\text{constant}}$ и $\partial p/\partial r=0$.

Здесь граничные условия для жидкости $z>0$ являются

$u=0,\quad v=\Omega r,\quad w=0,\quad p=p_{0}\quad {\text{ for }}z=0$

$u=0,\quad v=0\quad {\text{ for }}z\rightarrow \infty$

Автомодельное решение получается введением следующего преобразования:

$\eta ={\sqrt {\frac {\Omega }{\nu }}}z,\quad u=r\Omega F(\eta ),\quad v=r\Omega G(\eta ),\quad w={\sqrt {\nu \Omega }}H(\eta ),\quad p=p_{0}+\rho \nu \Omega P(\eta ),$

где $\rho$ это плотность жидкости.

Автомодельные уравнения:

${\begin{aligned}2F+H'&=0\\F^{2}-G^{2}+F'H&=F''\\2FG+G'H&=G''\\P'+HH'-H''&=0\end{aligned}}$

с граничными условиями для жидкости $\eta >0$ являются

$F=0,\quad G=1,\quad H=0,\quad P=0\quad {\text{ for }}\eta =0$

$F=0,\quad G=0\quad {\text{ for }}\eta \rightarrow \infty$

Связанные обыкновенные дифференциальные уравнения необходимо решать численно, и точное решение дает Кохран (1934). Осевая скорость притока на бесконечности, полученная в результате численного интегрирования, равна $w=-0.886{\sqrt {\nu \Omega }}$, поэтому общий выходящий объемный поток через цилиндрическую поверхность радиуса $r$ является $0.886\pi r^{2}{\sqrt {\nu \Omega }}$. Касательное напряжение на диске $\sigma _{z\varphi }=\mu (\partial v/\partial z)_{z=0}=\rho {\sqrt {\nu \Omega ^{3}}}rG'(0)$. Пренебрегая краевыми эффектами, крутящий момент, оказываемый жидкостью на диск с большими ( $R\gg {\sqrt {\nu /\Omega }}$), но конечный радиус $R$ является

$T=2\int _{0}^{R}2\pi r^{2}\sigma _{r\theta }\,dr=\pi R^{4}\rho {\sqrt {\nu \Omega ^{3}}}G'(0).$

Фактор $2$ добавляется для учета обеих сторон диска. Из численного решения крутящий момент определяется выражением $T=-1.94R^{4}\rho {\sqrt {\nu \Omega ^{3}}}$. Предсказанный теорией крутящий момент прекрасно согласуется с экспериментом на больших дисках вплоть до числа Рейнольдса около $Re=R^{2}\Omega /\nu =3\times 10^{5}$, поток становится турбулентным при больших числах Рейнольдса.

Вращение твердого тела на бесконечности

Эту проблему рассмотрел Джордж Кейт Бэтчелор (1951). Позволять $\Gamma$ быть угловой скоростью на бесконечности. Теперь давление в $z\rightarrow \infty$ является ${\frac {1}{2}}\rho \Gamma ^{2}r^{2}$. Следовательно $f(r)={\frac {1}{2}}\rho \Gamma ^{2}r^{2}$ и $\partial p/\partial r=\Gamma ^{2}$.
Тогда граничные условия для жидкости $z>0$ являются

$u=0,\quad v=\Omega r,\quad w=0\quad {\text{ for }}z=0$

$u=0,\quad v=\Gamma r\quad {\text{for }}z\rightarrow \infty$

Автомодельное решение получается введением следующего преобразования:

$\eta ={\sqrt {\frac {\Omega }{\nu }}}z,\quad \gamma ={\frac {\Gamma }{\Omega }},\quad u=r\Omega F(\eta ),\quad v=r\Omega G(\eta ),\quad w={\sqrt {\nu \Omega }}H(\eta ).$

Автомодельные уравнения:

${\begin{aligned}2F+H'&=0\\[3pt]F^{2}-G^{2}+F'H&=F''-\gamma ^{2}\\[3pt]2FG+G'H&=G''\end{aligned}}$

с граничными условиями для жидкости $\eta >0$ является

$F=0,\quad G=1,\quad H=0\quad {\text{ for }}\eta =0$

$F=0,\quad G=\gamma \quad {\text{ for }}\eta \rightarrow \infty$

Решение легко получить только для $\gamma >0$ т. е. жидкость на бесконечности вращается в том же направлении, что и пластина. Для $\gamma <0$, решение более сложное в том смысле, что возникает множество ветвей решения. Эванс (1969) получено решение для диапазона $-1.35<\gamma <-0.61$. Зандберген и Дейкстра показал, что решение имеет сингулярность с квадратным корнем: $\gamma ^{-}\rightarrow -0.16053876$ и нашел вторую ветвь решения, сливающуюся с решением, найденным для $\gamma \rightarrow -0.16053876$. Решение второй ветви продолжается до $\gamma ^{-}\rightarrow 0.07452563$, и в этот момент обнаруживается, что появляется ветвь третьего решения. Они также обнаружили бесконечное количество ветвей решения вокруг точки. $\gamma ^{-}\rightarrow 0$. Бодойни (1975) расчетные решения для больших отрицательных $\gamma$, показал, что решение распадается при $\gamma ^{-}=-1.436$. Если позволить вращающейся пластине иметь одинаковую скорость всасывания на пластине, то можно получить значимое решение для $\gamma \leq -0.2$.

Для $0<\gamma <\infty ,\ \gamma \neq 1$ ( $\gamma =1$ представляет вращение твердого тела, вся жидкость вращается с одинаковой скоростью) раствор достигает вращения твердого тела на бесконечности колебательным образом от пластины. Осевая скорость отрицательна $w<0$ для $0\leq \gamma <1$ и позитивный $w>0$ для $1<\gamma <\infty$. Существует явное решение, когда $|\gamma -1|\ll 1$.

Почти вращаясь с той же скоростью, $|\gamma -1|\ll 1$

Поскольку оба граничных условия для $G$ почти равны единице, можно было бы ожидать решения для $G$ незначительно отклоняться от единицы. Соответствующие шкалы для $F$ и $H$ можно получить из автомодельных уравнений. Поэтому,

$G=1+{\hat {G}},\quad H={\hat {H}},\quad F={\hat {F}}\qquad |{\hat {F}}|,|{\hat {G}}|,|{\hat {H}}|\ll 1$

В первом приближении (пренебрегая ${\hat {F}}^{2},{\hat {G}}^{2},{\hat {H}}^{2}$), автомодельное уравнение становится

${\begin{aligned}2{\hat {F}}+{\hat {H}}'&=0\\1+2{\hat {G}}&=\gamma ^{2}-{\hat {F}}''\\2{\hat {F}}&={\hat {G}}''\end{aligned}}$

с точными решениями

${\begin{aligned}F(\eta )&=-(\gamma -1)e^{-\eta }\sin \eta ,\\G(\eta )&=1+(\gamma -1)(1-e^{-\eta }\cos \eta ),\\H(\eta )&=(\gamma -1)[1-e^{-\eta }(\sin \eta +\cos \eta )].\end{aligned}}$

Это решение похоже на слой Экмана. решение.

Неосесимметричные решения

Поток принимает неосесимметричное решение с осесимметричными граничными условиями, открытыми Хьюиттом, Даком и Фостером. Определение

$\eta ={\sqrt {\frac {\Omega }{\nu }}}z,\quad \gamma ={\frac {\Gamma }{\Omega }},\quad u=r\Omega [f'(\eta )+\phi (\eta )\cos 2\theta ],\quad v=r\Omega [g(\eta )-\phi (\eta )\sin 2\theta ],\quad w=-2{\sqrt {\nu \Omega }}f(\eta ),$

и основные уравнения:

${\begin{aligned}f'''+2ff''-f'^{2}-\phi ^{2}+g^{2}&=\gamma ^{2},\\g''+2(fg'-f'g)&=0,\\\phi ''+2(f\phi '-f'\phi )&=0,\end{aligned}}$

с граничными условиями

$f(0)=f'(0)=\phi (0)=g(0)-1=f'(\infty )=\phi (\infty )=g(\infty )-\gamma =0.$

Решение найдено в результате численного интегрирования для $-0.14485\leq \gamma \leq 0$.

Поток Бёдевадта

Поток Бёдевадта описывает течение, когда неподвижный диск помещен во вращающуюся жидкость.

Два вращающихся коаксиальных диска

Эту проблему рассмотрел Джордж Кейт Бэтчелор (1951). Кейт Стюартсон (1952) и многие другие исследователи. Здесь решение не является простым из-за дополнительного масштаба длины, введенного в задаче, т. е. расстояния $h$ между двумя дисками. Кроме того, единственность и существование устойчивого решения также зависят от соответствующего числа Рейнольдса $Re=\Omega h^{2}/\nu$.
Тогда граничные условия для жидкости $0<z<h$ являются

$u=0,\quad v=\Omega r,\quad w=0\quad {\text{ for }}z=0$

$u=0,\quad v=\Gamma r,\quad w=0\quad {\text{for }}z=h.$

С точки зрения $\eta$, расположение верхней стены просто $\eta ={\sqrt {\Omega /\nu }}h=Re^{1/2}$. Таким образом, вместо масштабирования

${\begin{aligned}\eta ={\sqrt {\frac {\Omega }{\nu }}}z,\quad \gamma ={\frac {\Gamma }{\Omega }},\quad u=r\Omega F'(\eta ),\quad v=r\Omega G(\eta ),\quad w=-2{\sqrt {\nu \Omega }}F(\eta )\end{aligned}}$

использованное ранее, удобно ввести следующее преобразование:

${\begin{aligned}\xi =Re^{-1/2}\eta ,\quad f=Re^{-1/2}F,\quad g=G\end{aligned}}$

так что основные уравнения принимают вид

${\begin{aligned}Re^{-1}f'''+2ff''-f'^{2}+g^{2}=\lambda ,\\Re^{-1}g''+2(fg'-f'g)=0\end{aligned}}$

с шестью граничными условиями

$f'=0,\quad g=1,\quad f=0\quad {\text{ for }}\xi =0$

$f'=0,\quad g=\gamma ,\quad f=0\quad {\text{for }}\xi =1.$

и давление определяется выражением

${\frac {p-p_{o}}{\rho }}={\frac {1}{2}}\lambda r^{2}\Omega ^{2}-2\nu \Omega (Ref^{2}+f').$

Здесь граничных условий шесть, поскольку давление неизвестно ни у верхней, ни у нижней стенки; $\lambda$ должно быть получено как часть решения. Для большого числа Рейнольдса $Re\gg 1$Бэтчелор течение утверждал, что жидкость в ядре будет вращаться с постоянной скоростью, окруженная двумя пограничными слоями на каждом диске в $\gamma \geq 0$ и возникло бы два равномерных встречно вращающихся потока толщиной $\xi =1/2$ для $\gamma =-1$. Однако Стюартсон предсказал, что для $\gamma =0,-1$ жидкость в ядре не будет вращаться со скоростью $Re\gg 1$, но осталось с двумя пограничными слоями на каждом диске. Оказывается, предсказания Стюартсона оказались верными (см. слой Стюартсона ).

Существует также точное решение, если два диска вращаются вокруг разных осей, но при $\gamma =1$.

Приложения

Duration: 40 seconds.0:40

Экспериментальная визуализация спирального диффузионного пламени метана и воздуха в закрученном потоке фон Кармана, генерируемом вращающейся пористой дисковой горелкой (ложный цвет).

Закрученный поток фон Кармана находит свое применение в широком спектре областей, включая вращающиеся машины, системы фильтрации, компьютерные запоминающие устройства, приложения для теплопередачи и массообмена, проблемы, связанные с горением, планетарные образования, геофизические применения и т. д.

Библиография

• Фон Карман, Теодор (1921). «О ламинарном и турбулентном трении» . Журнал прикладной математики и механики . 1 (4): 233–252. Бибкод : 1921ЗаММ....1..233К . дои : 10.1002/замм.19210010401 .
• Бэтчелор, Джордж Кейт (1951). «Замечание о классе решений уравнений Навье-Стокса, представляющих установившееся вращательно-симметричное течение». Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики . 4 : 29–41. дои : 10.1093/qjmam/4.1.29 .
• Стюартсон, К. (1953). «О течении между двумя вращающимися соосными дисками». Математические труды Кембриджского философского общества . 49 (2): 333–341. Бибкод : 1953PCPS...49..333S . дои : 10.1017/S0305004100028437 . S2CID   122805153 .
• Бэтчелор, Джордж Кейт (2000). Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521663960 .
• Ландау, Лев Д (1987). Механика жидкости . Баттерворт-Хейнанн. ISBN  978-0750627672 .
• Шлихтинг, Герман (1960). Теория пограничного слоя . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
• Шлихтинг, Герман и Герстен, Клаус (2017). Теория пограничного слоя . Спрингер. ISBN  978-3662529171 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )