Капиллярная поверхность

В механике жидкости и математике капиллярная поверхность — это поверхность , которая представляет собой границу раздела между двумя различными жидкостями . Поскольку капиллярная поверхность является поверхностью, она не имеет толщины, что немного контрастирует с большинством реальных границ раздела жидкостей.

Капиллярные поверхности представляют интерес для математики, поскольку рассматриваемые проблемы очень нелинейны и обладают интересными свойствами, такими как разрывная зависимость от граничных данных в изолированных точках. ^[1] В частности, статические капиллярные поверхности при отсутствии силы тяжести имеют постоянную среднюю кривизну , так что минимальная поверхность является частным случаем статической капиллярной поверхности.

Они также представляют практический интерес для управления жидкостями в космосе (или других средах, свободных от массовых сил ), где как в потоке, так и в статической конфигурации часто преобладают капиллярные эффекты.

Уравнение баланса напряжений

Определяющее уравнение капиллярной поверхности называется уравнением баланса напряжений: ^[2] которую можно получить, рассматривая силы и напряжения, действующие на небольшой объем, частично ограниченный капиллярной поверхностью. Для жидкости, встречающейся с другой жидкостью («другая» жидкость, отмеченная столбиками) на поверхности $S$ , уравнение имеет вид

{\begin{aligned}&(\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} =-\gamma \mathbf {\hat {n}} (\nabla _{\!S}\cdot \mathbf {\hat {n}} )+\nabla _{\!S}\gamma \\&\qquad \nabla _{\!S}\gamma =\nabla \gamma -\mathbf {\hat {n}} (\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla \gamma )\end{aligned}}

где $\scriptstyle \mathbf {\hat {n}}$ единицы - нормаль , указывающая на «другую» жидкость (ту, количество которой обозначено столбиками), $\scriptstyle \sigma _{ij}$ – тензор напряжений (обратите внимание, что слева – произведение тензора на вектор ), $\scriptstyle \gamma$ - поверхностное натяжение, связанное с границей раздела, и $\scriptstyle \nabla _{S}$ — градиент поверхности . Обратите внимание, что количество $\scriptstyle -\nabla _{\!S}\cdot \mathbf {\hat {n}}$ в два раза больше средней кривизны поверхности.

В механике жидкости это уравнение служит граничным условием для межфазных потоков, обычно дополняя уравнения Навье-Стокса . Он описывает разрыв напряжения , которое уравновешивается силами на поверхности. В качестве граничного условия оно несколько необычно тем, что вводит новую переменную: поверхность $S$ который определяет интерфейс. Неудивительно, что уравнение баланса напряжений обычно требует собственных граничных условий.

Для наилучшего использования это векторное уравнение обычно преобразуется в 3 скалярных уравнения посредством скалярного произведения с единичной нормалью и двумя выбранными единичными касательными:

((\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} )\cdot \mathbf {\hat {n}} =-\gamma \nabla _{\!S}\cdot \mathbf {\hat {n}}

((\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} )\cdot \mathbf {{\hat {t}}_{1}} =\nabla _{\!S}\gamma \cdot \mathbf {{\hat {t}}_{1}}

((\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} )\cdot \mathbf {{\hat {t}}_{2}} =\nabla _{\!S}\gamma \cdot \mathbf {{\hat {t}}_{2}}

Обратите внимание, что продукты без точек являются тензорными произведениями тензоров с векторами (в результате чего векторы похожи на произведение матрицы-вектора), продукты с точками являются скалярными произведениями . Первое уравнение называется уравнением нормального напряжения или граничным условием нормального напряжения. Вторые два уравнения называются уравнениями касательных напряжений .

Тензор напряжений

Тензор напряжений связан со скоростью и давлением. Его фактическая форма будет зависеть от конкретной жидкости, с которой мы имеем дело, для общего случая несжимаемого ньютоновского течения тензор напряжений определяется выражением

{\begin{aligned}\sigma _{ij}&=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}2{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}&2{\frac {\partial v}{\partial y}}&{\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}\\{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}&{\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}&2{\frac {\partial w}{\partial z}}\end{pmatrix}}\\&=-pI+\mu (\nabla \mathbf {v} +(\nabla \mathbf {v} )^{T})\end{aligned}}

где $p$ давление , в жидкости $\scriptstyle \mathbf {v}$ это скорость, а $\mu$ это вязкость .

Статические интерфейсы

В отсутствие движения тензоры напряжений дают только гидростатическое давление , так что $\scriptstyle \sigma _{ij}=-pI$ , независимо от типа жидкости или сжимаемости. Учитывая нормальное и тангенциальное уравнения,

{\bar {p}}-p=\gamma \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}}

0=\nabla \gamma \cdot \mathbf {\hat {t}}

Первое уравнение устанавливает, что силы кривизны уравновешиваются силами давления. Из второго уравнения следует, что статическая граница раздела не может существовать при наличии ненулевого градиента поверхностного натяжения.

Если гравитация является единственной существующей массовой силой , уравнения Навье – Стокса значительно упрощаются:

0=-\nabla p+\rho \mathbf {g}

Если координаты выбраны так, что гравитация отлична от нуля только в $z$ направлении это уравнение деградирует до особенно простой формы:

{\frac {dp}{dz}}=\rho g\quad \Rightarrow \quad p=\rho gz+p_{0}

где $p_{0}$ — константа интегрирования, которая представляет собой некоторое эталонное давление при $z=0$ . Подстановка этого значения в уравнение нормального напряжения дает так называемое уравнение Юнга-Лапласа :

{\bar {\rho }}gz+{\bar {p}}_{0}-(\rho gz+p_{0})=\gamma \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} \quad \Rightarrow \quad \Delta \rho gz+\Delta p=\gamma \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}}

где $\Delta p$ - это (постоянная) разница давлений на границе раздела, и $\Delta \rho$ это разница в плотности . Обратите внимание, что, поскольку это уравнение определяет поверхность, $z$ это $z$ координата поверхности капилляра. Это нелинейное уравнение в частных производных , если оно снабжено правильными граничными условиями, будет определять статический интерфейс.

Вышеупомянутая разница давлений является постоянной, но ее значение изменится, если $z$ координата сдвинута. Линейное решение давления подразумевает, что, если гравитационный член отсутствует , всегда возможно определить $z$ скоординировать так, чтобы $\Delta p=0$ . Безразмерное уравнение Юнга-Лапласа обычно изучается в виде ^[1]

\kappa z+\lambda =\nabla \cdot \mathbf {\hat {n}}

где (если гравитация отрицательна $z$ направление) $\kappa$ является положительным, если более плотная жидкость находится «внутри» границы раздела, отрицательным, если она находится «снаружи», и нулевым, если нет гравитации или нет разницы в плотности между жидкостями.

Это нелинейное уравнение обладает некоторыми богатыми свойствами, особенно с точки зрения существования единственных решений. Например, отсутствие решения некоторой краевой задачи означает, что физически задача не может быть статической. Если решение действительно существует, обычно оно существует для очень конкретных значений $\lambda$ , что отражает скачок давления на границе раздела. Это интересно, потому что не существует другого физического уравнения для определения разницы давлений. Например, в капиллярной трубке реализация граничного условия угла контакта даст уникальное решение ровно для одного значения $\lambda$ . Решения часто не уникальны, это означает, что возможно использование нескольких статических интерфейсов; хотя все они могут решить одну и ту же краевую задачу, минимизация энергии обычно благоприятствует одной из них. Различные решения называются конфигурациями интерфейса.

Учет энергии

Глубинным свойством капиллярных поверхностей является поверхностная энергия , передаваемая поверхностным натяжением:

E_{S}=\gamma _{S}A_{S}\,

где $A$ – это площадь рассматриваемой поверхности, а полная энергия представляет собой сумму всех энергий. Обратите внимание, что каждый интерфейс передает энергию. Например, если внутри твердого контейнера находятся две разные жидкости (скажем, жидкость и газ) при отсутствии гравитации и других энергетических потенциалов, энергия системы равна

E=\sum \gamma _{S}A_{S}=\gamma _{LG}A_{LG}+\gamma _{SG}A_{SG}+\gamma _{SL}A_{SL}\,

где индексы $LG$ , $SG$ , и $SL$ соответственно указывают границы раздела жидкость-газ, твердое-газ и твердое-жидкость. Обратите внимание, что учет гравитации потребует учета объема, ограниченного поверхностью капилляра и твердыми стенками.

Иллюстрация распределенных сил на линии контакта, линия контакта перпендикулярна изображению. Вертикальная часть $\gamma _{LG}$ уравновешивается небольшой деформацией твердого тела (не показано и несущественно для данного контекста).

Обычно значения поверхностного натяжения между границами раздела твердое тело-газ и твердое тело-жидкость неизвестны. Это не представляет проблемы; поскольку основной интерес представляют только изменения энергии. Если чистая площадь твердого тела $A_{SG}+A_{SL}$ является константой, и угол контакта известен, можно показать, что (опять же, для двух разных жидкостей в твердом контейнере)

E=\gamma _{SL}(A_{SL}+A_{SG})+\gamma _{LG}A_{LG}+\gamma _{LG}A_{SG}\cos(\theta )\,

так что

{\frac {\Delta E}{\gamma _{LG}}}=\Delta A_{LG}+\Delta A_{SG}\cos(\theta )=\Delta A_{LG}-\Delta A_{SL}\cos(\theta )\,

где $\theta$ — это угол контакта , а дельта заглавной буквы указывает на переход от одной конфигурации к другой. Чтобы получить этот результат, необходимо суммировать (распределенные) силы на линии контакта (где встречаются твердое тело, газ и жидкость) в направлении, касательно границы твердого тела и перпендикулярном линии контакта:

{\begin{aligned}0&=\sum F_{\mathrm {Contact\ line} }\\&=\gamma _{LG}\cos(\theta )+\gamma _{SL}-\gamma _{SG}\end{aligned}}

где сумма равна нулю из-за статического состояния. Когда решения уравнения Юнга-Лапласа не уникальны, наиболее физически выгодным решением является решение с минимальной энергией, хотя эксперименты (особенно при низкой гравитации) показывают, что метастабильные поверхности могут быть удивительно стойкими и что наиболее стабильная конфигурация может стать метастабильной. посредством механического сотрясения без особых затруднений. С другой стороны, метастабильная поверхность иногда может самопроизвольно достигать более низкой энергии без каких-либо усилий (по крайней мере, по всей видимости) при наличии достаточного времени.

Граничные условия

Граничные условия для баланса напряжений описывают капиллярную поверхность на линии контакта : линию, где твердое тело встречается с капиллярной границей; кроме того, ограничения по объему могут служить граничными условиями (например, подвешенная капля не имеет линии контакта, но, очевидно, должна допускать единственное решение).

Для статических поверхностей наиболее распространенным граничным условием линии контакта является реализация угла контакта , который определяет угол, под которым одна из жидкостей встречается с твердой стенкой. Условие угла контакта на поверхности $S$ обычно записывается как:

\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {\hat {v}} =\cos(\theta )\,

где $\theta$ это контактный угол. Это условие накладывается на границу (или границы) $\scriptstyle \partial S$ поверхности. $\scriptstyle {\hat {v}}$ - единица, наружная нормаль к твердой поверхности, и $\scriptstyle {\hat {n}}$ является единицей измерения, нормальной для $S$ . Выбор $\scriptstyle {\hat {n}}$ зависит от того, для какой жидкости указан угол контакта.

Для динамических интерфейсов граничное условие, показанное выше, работает хорошо, если скорость линии контакта мала. Если скорость высока, угол контакта изменится («динамический угол контакта»), и по состоянию на 2007 год механика движущейся линии контакта (или даже достоверность угла контакта в качестве параметра) неизвестна, и область активные исследования. ^[3]

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Роберт Финн (1999). «Капиллярные поверхностные интерфейсы» (PDF) . Американское математическое общество .
^ Ландау, Лев Д. ; Лифшиц, Евгений М. (1987). Механика жидкости . Том. 6 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 978-0-08-033933-7 .
^ Э.Б.Дуссан В .; Энрике Раме; Стивен Гарофф (сентябрь 1991 г.). «Об определении соответствующих граничных условий на движущейся линии соприкосновения: экспериментальное исследование» . Журнал механики жидкости . 230 . CJO: 97–116. Бибкод : 1991JFM...230...97D . дои : 10.1017/S0022112091000721 .

[Finn-1] Перейти обратно: ^а ^б Роберт Финн (1999). «Капиллярные поверхностные интерфейсы» (PDF) . Американское математическое общество .

[2] Ландау, Лев Д. ; Лифшиц, Евгений М. (1987). Механика жидкости . Том. 6 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 978-0-08-033933-7 .

[3] Э.Б.Дуссан В .; Энрике Раме; Стивен Гарофф (сентябрь 1991 г.). «Об определении соответствующих граничных условий на движущейся линии соприкосновения: экспериментальное исследование» . Журнал механики жидкости . 230 . CJO: 97–116. Бибкод : 1991JFM...230...97D . дои : 10.1017/S0022112091000721 .

[1]

[2]

[3]