Электрическое поле

Электрическое поле
Электрическое поле
	Эффекты электрического поля. Девушка прикасается к электростатическому генератору , который заряжает ее тело высоким напряжением. Ее волосы, заряженные той же полярностью, отталкиваются электрическим полем ее головы и выступают за ее пределы.
Общие символы	И
И объединились	volt per meter (V/m)
В базовых единицах СИ	kg⋅m⋅s −3 ⋅A −1
Измерение	М Л Т −3 я −1

Электрическое поле (иногда называемое E-полем ^[1]) — физическое поле , окружающее электрически заряженные частицы . Заряженные частицы оказывают друг на друга силы притяжения, когда их заряды противоположны, и отталкивают друг друга, когда их заряды одинаковы. Поскольку эти силы действуют взаимно, для того, чтобы силы имели место, должны присутствовать два заряда. Электрическое поле одного заряда (или группы зарядов) описывает их способность оказывать такое же воздействие на другой заряженный объект. Эти силы описываются законом Кулона , который гласит, что чем больше величина зарядов, тем больше сила, и чем больше расстояние между ними, тем сила слабее. Таким образом, мы можем неформально сказать, что чем больше заряд объекта, тем сильнее его электрическое поле. Точно так же электрическое поле сильнее вблизи заряженных объектов и слабее по мере удаления от них. Электрические поля возникают из электрических зарядов и изменяющихся во времени электрических токов . Электрические поля и магнитные поля являются проявлениями электромагнитного поля. , Электромагнетизм — одно из четырех фундаментальных взаимодействий природы.

Электрические поля играют важную роль во многих областях физики и используются в электротехнике. Например, в атомной физике и химии взаимодействие в электрическом поле между атомным ядром и электронами является силой, удерживающей эти частицы вместе в атомах. Точно так же взаимодействие в электрическом поле между атомами является силой, ответственной за химическую связь , в результате которой образуются молекулы .

Электрическое поле определяется как векторное поле , которое связывает с каждой точкой пространства силу на единицу заряда, действующую на бесконечно малый пробный заряд, покоящийся в этой точке. ^[2]^[3]^[4] Единицей СИ для электрического поля является вольт на метр (В/м), который равен ньютону на кулон ( Н/К). ^[5]

Описание

Электрическое поле определяется в каждой точке пространства как сила, которую будет испытывать бесконечно малый стационарный пробный заряд в этой точке, деленная на заряд. ^[6]^: 469–70 Электрическое поле определяется через силу , а сила — это вектор (т.е. имеющий как величину, так и направление ), поэтому отсюда следует, что электрическое поле может быть описано векторным полем . ^[6]^: 469–70 Электрическое поле действует между двумя зарядами аналогично тому, как гравитационное поле действует между двумя массами , поскольку они оба подчиняются закону обратных квадратов с расстоянием. ^[7] На этом основан закон Кулона , который гласит, что для стационарных зарядов электрическое поле меняется в зависимости от заряда источника и обратно пропорционально квадрату расстояния от источника. Это означает, что если бы заряд источника увеличился вдвое, электрическое поле удвоилось бы, а если вы отойдете от источника вдвое дальше, то напряженность поля в этой точке составит лишь одну четверть его первоначальной силы.

Электрическое поле можно визуализировать с помощью набора линий , направление которых в каждой точке такое же, как у поля, — концепция, введенная Майклом Фарадеем . ^[8] чей термин « силовые линии » до сих пор иногда используется. Эта иллюстрация имеет то полезное свойство, что напряженность поля пропорциональна плотности линий. ^[9] Линии поля, возникающие из-за постоянных зарядов, обладают несколькими важными свойствами, в том числе всегда возникают из положительных зарядов и заканчиваются отрицательными зарядами, они входят во все хорошие проводники под прямым углом и никогда не пересекаются и не замыкаются сами на себя. ^[6]^: 479 Линии поля представляют собой репрезентативную концепцию; поле фактически пронизывает все пространство между линиями. В зависимости от точности, с которой требуется представить поле, может быть нарисовано больше или меньше линий. ^[8] Изучение электрических полей, создаваемых неподвижными зарядами, называется электростатикой .

Закон Фарадея описывает взаимосвязь между изменяющимся во времени магнитным полем и электрическим полем. Один из способов сформулировать закон Фарадея состоит в том, что ротор электрического поля равен отрицательной производной магнитного поля по времени. ^[10]^: 327 Поэтому в отсутствие изменяющегося во времени магнитного поля электрическое поле называется консервативным (т.е. безроточным). ^[10]^{: 24, 90–91} Это означает, что существует два вида электрических полей: электростатические поля и поля, возникающие из изменяющихся во времени магнитных полей. ^[10]^{: 305–307} В то время как природа статического электрического поля без вихрей позволяет упростить его обработку с помощью электростатики, изменяющиеся во времени магнитные поля обычно рассматриваются как компонент единого электромагнитного поля . Изучение магнитных и электрических полей, изменяющихся во времени, называется электродинамикой .

Математическая формулировка

Электрические поля создаются электрическими зарядами , описываемыми законом Гаусса . ^[11] и изменяющиеся во времени магнитные поля , описываемые законом индукции Фарадея . ^[12] В совокупности этих законов достаточно, чтобы определить поведение электрического поля. Однако, поскольку магнитное поле описывается как функция электрического поля, уравнения обоих полей связаны и вместе образуют уравнения Максвелла , которые описывают оба поля как функцию зарядов и токов .

Электростатика

В частном случае стационарного состояния (стационарные заряды и токи) индуктивный эффект Максвелла-Фарадея исчезает. Полученные два уравнения (закон Гаусса $\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$ и закон Фарадея без индукционного члена $\nabla \times \mathbf {E} =0$ ), вместе взятые, эквивалентны закону Кулона , который гласит, что частица с электрическим зарядом $q_{1}$ на позиции $\mathbf {r} _{1}$ действует на частицу с зарядом с силой $q_{0}$ на позиции $\mathbf {r} _{0}$ из: ^[13] $\mathbf {F} _{01}={\frac {q_{1}q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{2}}={\frac {q_{1}q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} _{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{3}}$ где

$\mathbf {F} _{01}$ это сила, действующая на заряженную частицу $q_{0}$ вызванный заряженной частицей $q_{1}$ .
$ε 0$ — диэлектрическая проницаемость свободного пространства .
${\hat {\mathbf {r} }}_{01}$ – единичный вектор, направленный из $\mathbf {r} _{1}$ к $\mathbf {r} _{0}$ .
$\mathbf {r} _{01}$ вектор смещения от $\mathbf {r} _{1}$ к $\mathbf {r} _{0}$ .

Обратите внимание, что $\varepsilon _{0}$ необходимо заменить на $\varepsilon$ , диэлектрическая проницаемость , когда заряды находятся в непустой среде.Когда обвинения $q_{0}$ и $q_{1}$ имеют тот же знак, что эта сила положительна и направлена от другого заряда, что указывает на то, что частицы отталкивают друг друга. Когда заряды имеют разные знаки, сила отрицательна, что указывает на то, что частицы притягиваются.Чтобы облегчить расчет кулоновской силы, действующей на любой заряд в позиции $\mathbf {r} _{0}$ это выражение можно разделить на $q_{0}$ оставляя выражение, которое зависит только от другого заряда ( исходного заряда) ^[14]^[4] $\mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} _{0})={\frac {\mathbf {F} _{01}}{q_{0}}}={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{2}}={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} _{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{3}}$ где

$\mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} _{0})$ – составляющая электрического поля при $q_{0}$ из-за $q_{1}$ .

Это электрическое поле в точке $\mathbf {r} _{0}$ из-за начисления баллов $q_{1}$ ; это векторная функция, равная кулоновской силе на единицу заряда, которую положительный точечный заряд будет испытывать в данной позиции $\mathbf {r} _{0}$ .Поскольку эта формула дает величину и направление электрического поля в любой точке $\mathbf {r} _{0}$ в космосе (кроме места самого заряда, $\mathbf {r} _{1}$ , где оно становится бесконечным) оно определяет векторное поле .Из приведенной формулы видно, что электрическое поле, создаваемое точечным зарядом, всюду направлено от заряда, если он положительный, и навстречу заряду, если он отрицательный, причем его величина уменьшается пропорционально обратному квадрату расстояния от заряд.

Кулоновская сила на заряд величиной $q$ в любой точке пространства равна произведению заряда и электрического поля в этой точке $\mathbf {F} =q\mathbf {E} .$ Единицей системе СИ электрического поля в является ньютон на кулон (Н/К) или вольт на метр (В/м); в базовых единицах СИ это кг⋅м⋅с. ⁻³⋅A ⁻¹.

Принцип суперпозиции

Из-за линейности уравнений Максвелла электрические поля удовлетворяют принципу суперпозиции , который гласит, что общее электрическое поле в точке, возникающее из-за совокупности зарядов, равно векторной сумме электрических полей в этой точке из-за отдельных зарядов. обвинения. ^[4] Этот принцип полезен при расчете поля, создаваемого несколькими точечными зарядами. Если обвинения $q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}$ стационарны в пространстве в точках $\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{n}$ , в отсутствие токов принцип суперпозиции говорит, что результирующее поле представляет собой сумму полей, создаваемых каждой частицей, как описано законом Кулона: ${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} )=\mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} )+\mathbf {E} _{2}(\mathbf {r} )+\dots +\mathbf {E} _{n}(\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{\mathbf {r} _{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{3}}\end{aligned}}$ где

${\hat {\mathbf {r} }}_{i}$ — единичный вектор в направлении от точки $\mathbf {r} _{i}$ указывать $\mathbf {r}$
$\mathbf {r} _{i}$ – вектор смещения из точки $\mathbf {r} _{i}$ указывать $\mathbf {r}$ .

Непрерывное распределение заряда

Принцип суперпозиции позволяет рассчитывать электрическое поле по распределению плотности заряда $\rho (\mathbf {r} )$ . Учитывая заряд $\rho (\mathbf {r} ')dv$ в каждом небольшом объеме пространства $dv$ в точку $\mathbf {r} '$ как точечный заряд, результирующее электрическое поле, $d\mathbf {E} (\mathbf {r} )$ , в точку $\mathbf {r}$ можно рассчитать как $d\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}' \over {|\mathbf {r} '|}^{2}}dv={\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}dv$ где

${\hat {\mathbf {r} }}'$ - единичный вектор, указывающий из $\mathbf {r} '$ к $\mathbf {r}$ .
$\mathbf {r} '$ вектор смещения от $\mathbf {r} '$ к $\mathbf {r}$ .

Полное поле находится суммированием вкладов всех приращений объема путем интегрирования плотности заряда по объему $V$ : $\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint _{V}\,\rho (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}dv$

Аналогичные уравнения следуют для поверхностного заряда с плотностью поверхностного заряда $\sigma (\mathbf {r} ')$ на поверхности $S$ $\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iint _{S}\,\sigma (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}da,$ а для линейных зарядов с линейной плотностью заряда $\lambda (\mathbf {r} ')$ онлайн $L$ $\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{L}\,\lambda (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}d\ell .$

Электрический потенциал

Если система статична, то есть магнитные поля не меняются во времени, то по закону Фарадея электрическое поле не имеет роторов . В этом случае можно определить электрический потенциал , то есть функцию $\varphi$ такой, что $\mathbf {E} =-\nabla \varphi$ . ^[15] Это аналог гравитационного потенциала . Разность электрического потенциала в двух точках пространства называется разностью потенциалов (или напряжением) между двумя точками.

Однако в целом электрическое поле нельзя описать независимо от магнитного поля. Учитывая магнитный векторный потенциал , $A$ определенный так, что ⁠ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$ ⁠ , еще можно определить электрический потенциал $\varphi$ такой, что: $\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},$ где $\nabla \varphi$ - градиент электрического потенциала и ${\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$ является частной производной A $.$ по времени

Закон индукции Фарадея можно восстановить, взяв ротор этого уравнения ^[16] $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {A} )}{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},$ что апостериорно оправдывает предыдущую форму для $E$ .

Непрерывное и дискретное представление заряда

Уравнения электромагнетизма лучше всего описываются в непрерывном описании. Однако иногда заряды лучше всего описывать как дискретные точки; например, некоторые модели могут описывать электроны как точечные источники, где плотность заряда бесконечна на бесконечно малом участке пространства.

Плата $q$ расположен по адресу $\mathbf {r} _{0}$ математически можно описать как плотность заряда ⁠ $\rho (\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})$ ⁠ , где дельта-функция Дирака используется (в трех измерениях). И наоборот, распределение заряда можно аппроксимировать множеством мелких точечных зарядов.

Электростатические поля

Электростатические поля — это электрические поля, которые не меняются со временем. Такие поля присутствуют, когда системы заряженного вещества стационарны или когда электрические токи неизменны. В этом случае закон Кулона полностью описывает поле. ^[17]

Параллели между электростатическими и гравитационными полями

Закон Кулона, описывающий взаимодействие электрических зарядов: $\mathbf {F} =q\left({\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {\hat {r}} }{|\mathbf {r} |^{2}}}\right)=q\mathbf {E}$ аналогичен закону всемирного тяготения Ньютона : $\mathbf {F} =m\left(-GM{\frac {\mathbf {\hat {r}} }{|\mathbf {r} |^{2}}}\right)=m\mathbf {g}$ (где ${\textstyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\frac {r}{|r|}} }$ ).

Это предполагает сходство между электрическим полем $E$ и гравитационным полем $g$ или связанными с ними потенциалами. Массу иногда называют «гравитационным зарядом». ^[18]

Электростатические и гравитационные силы являются центральными , консервативными и подчиняются закону обратных квадратов .

Единые поля

Однородное поле — это поле, в котором электрическое поле постоянно в каждой точке. Его можно аппроксимировать, поместив две проводящие пластины параллельно друг другу и поддерживая между ними напряжение (разность потенциалов); это всего лишь приближение из-за граничных эффектов (около края плоскостей электрическое поле искажается, поскольку плоскость не продолжается). Если предположить, что плоскости бесконечны, то величина электрического поля $E$ равна: $E=-{\frac {\Delta V}{d}},$ где $Δ V$ — разность потенциалов между пластинами, а $d$ — расстояние, разделяющее пластины. Отрицательный знак возникает, когда положительные заряды отталкиваются, поэтому положительный заряд будет испытывать силу, направленную от положительно заряженной пластины в направлении, противоположном тому, в котором увеличивается напряжение. В микро- и наноприложениях, например, в полупроводниках, типичная величина электрического поля составляет порядка 10 ⁶ V⋅m ⁻¹, достигаемый применением напряжения порядка 1 В между проводниками, расположенными на расстоянии 1 мкм друг от друга.

Электромагнитные поля

Электромагнитные поля — это электрические и магнитные поля, которые могут меняться со временем, например, когда заряды движутся. Движущиеся заряды создают магнитное поле в соответствии с законом цепи Ампера ( с добавлением Максвелла ), который, наряду с другими уравнениями Максвелла, определяет магнитное поле: $\mathbf {B}$ , с точки зрения его завитка: $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right),$ где $\mathbf {J}$ плотность тока , $\mu _{0}$ - вакуумная проницаемость , и $\varepsilon _{0}$ - диэлектрическая проницаемость вакуума .

То есть как электрические токи (т.е. заряды в равномерном движении), так и (частичная) производная по времени электрического поля непосредственно вносят вклад в магнитное поле. Кроме того, уравнение Максвелла – Фарадея утверждает: $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.$ Они представляют собой два из четырех уравнений Максвелла и запутанно связывают электрическое и магнитное поля вместе, в результате чего возникает электромагнитное поле . Уравнения представляют собой набор из четырех связанных многомерных дифференциальных уравнений в частных производных, которые при решении для системы описывают совместное поведение электромагнитных полей. В общем, сила, испытываемая пробным зарядом в электромагнитном поле, определяется законом силы Лоренца : $\mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .$

Энергия в электрическом поле

Полная энергия единицы объема, запасенная электромагнитным полем, равна ^[19] $u_{\text{EM}}={\frac {\varepsilon }{2}}|\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{2\mu }}|\mathbf {B} |^{2}$ где $ε$ — диэлектрическая проницаемость среды, в которой существует поле, $\mu$ его магнитная проницаемость , а $E$ и $B$ — векторы электрического и магнитного полей.

Поскольку $поля E$ и $B$ связаны, было бы ошибочно разделять это выражение на «электрический» и «магнитный» вклады. В частности, электростатическое поле в любой данной системе отсчета вообще преобразуется в поле с магнитной составляющей в относительно движущейся системе отсчета. Соответственно, разложение электромагнитного поля на электрическую и магнитную составляющую зависит от кадра, и аналогично для связанной с ним энергии.

Полная энергия $U EM,$ запасенная в электромагнитном поле в данном объеме $V,$ равна $U_{\text{EM}}={\frac {1}{2}}\int _{V}\left(\varepsilon |\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{\mu }}|\mathbf {B} |^{2}\right)dV\,.$

Поле электрического смещения

Окончательное уравнение векторных полей

При наличии материи полезно расширить понятие электрического поля на три векторных поля: ^[20] $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$ где $P$ – электрическая поляризация – объемная плотность электрических дипольных моментов , а $D$ – поле электрического смещения . Поскольку $E$ и $P$ определяются отдельно, это уравнение можно использовать для $D.$ определения Физическая интерпретация $D$ не так ясна, как $E$ (фактически поле, приложенное к материалу) или $P$ (поле, индуцированное диполями в материале), но все же служит удобным математическим упрощением, поскольку уравнения Максвелла можно упростить до Условия свободных зарядов и токов .

Основополагающее отношение

Поля $E$ и $D$ связаны диэлектрической проницаемостью материала $ε$ . ^[21]^[20]

Для линейных, однородных , изотропных материалов $E$ и $D$ пропорциональны и постоянны во всей области, зависимость от положения отсутствует: $\mathbf {D} (\mathbf {r} )=\varepsilon \mathbf {E} (\mathbf {r} ).$

Для неоднородных материалов существует позиционная зависимость по всему материалу: ^[22] $\mathbf {D} (\mathbf {r} )=\varepsilon (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )$

Для анизотропных материалов $поля E$ и $D$ не параллельны, поэтому $E$ и $D$ связаны тензором диэлектрической проницаемости 2-го порядка ( тензорное поле ) в компонентной форме: $D_{i}=\varepsilon _{ij}E_{j}$

Для нелинейных сред $E$ и $D$ не пропорциональны. Материалы могут иметь разную степень линейности, однородности и изотропии.

Релятивистские эффекты в электрическом поле

Точечный заряд в равномерном движении

Инвариантность формы уравнений Максвелла относительно преобразования Лоренца может быть использована для вывода электрического поля равномерно движущегося точечного заряда. Заряд частицы считается инвариантным относительно системы координат, что подтверждается экспериментальными данными. ^[23] В качестве альтернативы электрическое поле равномерно движущихся точечных зарядов может быть получено из преобразования Лоренца четырех сил, испытываемых пробными зарядами в системе покоя источника, заданной законом Кулона , и присвоения электрического поля и магнитного поля их определению, данному в форме силы Лоренца. . ^[24] Однако следующее уравнение применимо только тогда, когда в истории частицы не участвует ускорение, где можно учитывать закон Кулона или использовать аргументы симметрии для решения уравнений Максвелла простого . Таким образом, электрическое поле такого равномерно движущегося точечного заряда определяется выражением: ^[25] $\mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}\mathbf {r} ,$ где $q$ – заряд точечного источника, $\mathbf {r}$ - вектор положения от источника точки до точки в пространстве, $\beta$ - отношение наблюдаемой скорости заряженной частицы к скорости света и $\theta$ это угол между $\mathbf {r}$ и наблюдаемая скорость заряженной частицы.

Приведенное выше уравнение сводится к уравнению, заданному законом Кулона для нерелятивистских скоростей точечного заряда. Сферическая симметрия не выполняется из-за нарушения симметрии задачи при задании направления скорости для расчета поля. Чтобы проиллюстрировать это, силовые линии движущихся зарядов иногда представляют как неравноотстоящие радиальные линии, которые кажутся одинаково расположенными в сопутствующей системе отсчета. ^[23]

Распространение возмущений в электрических полях

Специальная теория относительности налагает принцип локальности , который требует, чтобы причина и следствие были подобными времени разделенными событиями, где причинная эффективность не распространяется быстрее скорости света . ^[26] Законы Максвелла подтверждают эту точку зрения, поскольку общие решения полей даются в терминах запаздывающего времени, что указывает на то, что электромагнитные возмущения распространяются со скоростью света . Расширенное время, которое также обеспечивает решение закона Максвелла, игнорируется как нефизическое решение.

Наглядный пример, показывающий тормозное излучение: силовые линии и модуль электрического поля, создаваемого (отрицательным) зарядом, сначала движущимся с постоянной скоростью, а затем быстро останавливающимся, чтобы показать генерируемую электромагнитную волну и распространение возмущений в электромагнитном поле.

При движении заряженной частицы , рассматривая, например, случай, когда движущаяся частица с описанным выше электрическим полем внезапно останавливается, электрические поля в удаленных от нее точках не сразу возвращаются к классически заданным для неподвижного заряда. При остановке поле вокруг неподвижных точек начинает возвращаться к ожидаемому состоянию, и этот эффект распространяется наружу со скоростью света , в то время как силовые линии электрического поля вдали от этой точки будут продолжать указывать радиально на предполагаемый движущийся заряд. Эта виртуальная частица никогда не выйдет за пределы диапазона распространения возмущения в электромагнитном поле , поскольку скорость заряженных частиц ограничена скоростью ниже скорости света, что делает невозможным построение гауссовой поверхности в этой области, что нарушает закон Гаусса . Другая техническая трудность, подтверждающая это, заключается в том, что заряженные частицы, движущиеся быстрее скорости света или равной ей, больше не имеют уникального времени задержки. Поскольку силовые линии электрического поля непрерывны, электромагнитный импульс Генерируется излучения, который соединяется на границе этого возмущения, распространяющегося наружу со скоростью света . ^[27] В общем случае любой ускоряющийся точечный заряд излучает электромагнитные волны , однако неизлучающее ускорение в системах зарядов возможно .

Произвольно движущийся точечный заряд

Для произвольно движущихся точечных зарядов распространение потенциальных полей, таких как калибровочные поля Лоренца, со скоростью света необходимо учитывать с помощью потенциала Льенара – Вихерта . ^[28] Поскольку потенциалы удовлетворяют уравнениям Максвелла , поля, полученные для точечного заряда, также удовлетворяют уравнениям Максвелла . Электрическое поле выражается как: ^[29] $\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\mathbf {t} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} _{s}\times {\big (}(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})\times {\dot {{\boldsymbol {\beta }}_{s}}}{\big )}}{c(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t=t_{r}}$ где $q$ – заряд точечного источника, ${\textstyle {t_{r}}}$ - запаздывающее время или время, в которое возник вклад источника в электрическое поле, ${\textstyle {r}_{s}(t)}$ - вектор положения частицы, ${\textstyle {n}_{s}(\mathbf {r} ,t)}$ - единичный вектор, указывающий от заряженной частицы к точке пространства, ${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)}$ - скорость частицы, деленная на скорость света, и ${\textstyle \gamma (t)}$ – соответствующий фактор Лоренца . Запаздывающее время определяется как решение: $t_{r}=\mathbf {t} -{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|}{c}}$

Уникальность решения для ${\textstyle {t_{r}}}$ для данного $\mathbf {t}$ , $\mathbf {r}$ и $r_{s}(t)$ справедливо для заряженных частиц, движущихся медленнее скорости света. Известно, что электромагнитное излучение ускоряющихся зарядов обусловлено зависящим от ускорения членом в электрическом поле, из которого релятивистская поправка к формуле Лармора . получается ^[29]

Существует еще один набор решений уравнения Максвелла того же вида, но для опережающего времени. ${\textstyle {t_{a}}}$ вместо замедленного времени задано как решение:

$t_{a}=\mathbf {t} +{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{a})|}{c}}$

Поскольку физическая интерпретация этого указывает на то, что электрическое поле в определенной точке определяется состоянием частицы в определенный момент времени в будущем, оно рассматривается как нефизическое решение и, следовательно, им пренебрегают. Однако существовали теории, исследующие усовершенствованные по времени решения уравнений Максвелла , такие как теория поглотителя Фейнмана Уилера .

Приведенное выше уравнение, хотя и согласуется с уравнением равномерно движущихся точечных зарядов, а также с его нерелятивистским пределом, не учитывает квантово-механические эффекты.

Общие формулы


Конфигурация зарядки	Электрическое поле
Бесконечный провод	$\mathbf {E} ={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}x}}{\hat {\mathbf {x} }},$ где $\lambda$ — однородная линейная плотность заряда.
Бесконечно большая поверхность	$\mathbf {E} ={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}{\hat {\mathbf {x} }},$ где $\sigma$ — однородная поверхностная плотность заряда.
Бесконечно длинный цилиндрический объем	$\mathbf {E} ={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}x}}{\hat {\mathbf {x} }},$ где $\lambda$ — однородная линейная плотность заряда.
Сферический объем	$\mathbf {E} ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}x^{2}}}{\hat {\mathbf {x} }},$ вне сферы, где $Q$ – полный заряд, равномерно распределенный в объеме.	$\mathbf {E} ={\frac {Qr}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }},$ внутри сферы, где $Q$ – полный заряд, равномерно распределенный в объеме.
Сферическая поверхность	$\mathbf {E} ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}x^{2}}}{\hat {\mathbf {x} }},$ вне сферы, где $Q$ – полный заряд, равномерно распределенный по поверхности.	$\mathbf {E} =0,$ внутри сферы для равномерного распределения заряда.
Заряженное кольцо	$\mathbf {E} ={\frac {Qx}{4\pi \varepsilon _{0}(R^{2}+x^{2})^{3/2}}}{\hat {\mathbf {x} }},$ на оси, где $Q$ – полный заряд, равномерно распределенный по кольцу.
Заряженный диск	$\mathbf {E} ={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}\left[1-{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+R^{2}}}}\right]{\hat {\mathbf {x} }},$ на оси, где $\sigma$ – однородная поверхностная плотность заряда.
Электрический диполь	$\mathbf {E} =-{\frac {\mathbf {p} }{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}},$ в экваториальной плоскости, где $\mathbf {p}$ электрический дипольный момент.	$\mathbf {E} ={\frac {\mathbf {p} }{2\pi \varepsilon _{0}x^{3}}},$ на оси (при том, что $x\gg d$ ), где $x$ также может быть отрицательным, чтобы указать положение в противоположном направлении оси, и $\mathbf {p}$ электрический дипольный момент.

Электрическое поле, бесконечно близкое к проводящей поверхности, находящейся в электростатическом равновесии, имеющее плотность заряда $\sigma$ в этот момент ${\textstyle {\frac {\sigma }{\varepsilon _{0}}}{\hat {\mathbf {x} }}}$ поскольку заряды образуются только на поверхности, а поверхность в бесконечно малом масштабе напоминает бесконечную двумерную плоскость. В отсутствие внешних полей сферические проводники демонстрируют равномерное распределение заряда на поверхности и, следовательно, имеют то же электрическое поле, что и поле с равномерным распределением по сферической поверхности.

См. также

Классический электромагнетизм
Релятивистский электромагнетизм
Электричество
История электромагнитной теории
Электромагнитное поле
Магнетизм
Тельтронная трубка
Teledeltos , проводящая бумага, которую можно использовать как простой аналоговый компьютер для моделирования полей.

Ссылки

^ Рош, Джон (2016). «Введение в электрические поля». Физическое образование . 51 (5): 055005. Бибкод : 2016PhyEd..51e5005R . дои : 10.1088/0031-9120/51/5/055005 . S2CID 125014664 .
^ Фейнман, Ричард (1970). Фейнмановские лекции по физике, том II . Эддисон Уэсли Лонгман. стр. 1–3, 1–4. ISBN 978-0-201-02115-8 .
^ Перселл, Эдвард М.; Морин, Дэвид Дж. (2013). Электричество и магнетизм (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 15–16. ISBN 978-1-107-01402-2 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Сервей, Раймонд А.; Вуй, Крис (2014). Колледж физики (10-е изд.). Cengage Обучение. стр. 532–533. ISBN 978-1305142824 .
^ Международная система единиц (PDF) (9-е изд.), Международное бюро мер и весов, декабрь 2022 г., ISBN 978-92-822-2272-0 , с. 23
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Сирс, Фрэнсис; и др. (1982), Университетская физика (6-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 0-201-07199-1
^ Умашанкар, Корада (1989), Введение в инженерные электромагнитные поля , World Scientific, стр. 77–79, ISBN 9971-5-0921-0
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Морли и Хьюз (1970), Принципы электричества (5-е изд.), Лонгман, с. 73, ISBN 0-582-42629-4
^ Тоу, Стивен (2011). Визуализация областей и приложений в технике . Джон Уайли и сыновья. п. 64. ИСБН 9780470978467 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-805326-Х . OCLC 40251748 .
^ Перселл, с. 25: «Закон Гаусса: поток электрического поля E через любую замкнутую поверхность… равен 1/ e умноженному на общий заряд, заключенный в поверхности».
^ Перселл, стр. 356: «Закон индукции Фарадея».
^ Перселл, стр. 7: «... взаимодействие между покоящимися электрическими зарядами описывается законом Кулона: два стационарных электрических заряда отталкиваются или притягивают друг друга с силой, пропорциональной произведению величины зарядов и обратно пропорциональной квадрату. от расстояния между ними.
^ Перселл, Эдвард (2011). Электричество и магнетизм (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 8–9. ISBN 978-1139503556 .
^ gwrowe (8 октября 2011 г.). «Скручиваемость и потенциал в электростатике» (PDF) . Physicspages.com . Архивировано из оригинала (PDF) 22 марта 2019 года . Проверено 2 ноября 2020 г.
^ Урэй, Пол Г. (2009). Уравнения Максвелла . Вайли-IEEE. п. 205. ИСБН 978-0-470-54276-7 . ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Перселл, стр. 5–7.
^ Салам, Абдус (16 декабря 1976 г.). «Кварки и лептоны вступают в игру» . Новый учёный . 72 :652. ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Гриффитс, диджей (2017). Введение в электродинамику (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 357, экв. 8.5. ISBN 9781108420419 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Грант, И.С.; Филлипс, WR (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-92712-9 .
^ Беннет, ГАГ; Арнольд, Эдвард (1974). Электричество и современная физика (2-е изд.). Эдвард Арнольд. ISBN 0-7131-2459-8 .
^ Ландау Лев Давидович ; Лифшиц, Евгений М. (1963). «68 Распространение волн в неоднородной среде». Электродинамика сплошных сред . Курс теоретической физики . Том. 8. Пергам. п. 285. ИСБН 978-0-7581-6499-5 . В уравнениях Максвелла… ε является функцией координат.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Перселл, Эдвард М.; Морин, Дэвид Дж. (21 января 2013 г.). Электричество и магнетизм . стр. 241–251. дои : 10.1017/cbo9781139012973 . ISBN 9781139012973 . Проверено 4 июля 2022 г. {{cite book}}: |website= игнорируется ( помогите )
^ Россер, WGV (1968). Классический электромагнетизм через теорию относительности . стр. 29–42. дои : 10.1007/978-1-4899-6559-2 . ISBN 978-1-4899-6258-4 .
^ Хевисайд, Оливер. Электромагнитные волны, распространение потенциала и электромагнитные эффекты движущегося заряда .
^ Набер, Грегори Л. (2012). Геометрия пространства-времени Минковского: введение в математику специальной теории относительности . Спрингер. стр. 4–5. ISBN 978-1-4419-7837-0 . OCLC 804823303 .
^ Перселл, Эдвард М.; Дэвид Дж. Морин (2013). Электричество и магнетизм (Третье изд.). Кембридж. стр. 251–255. ISBN 978-1-139-01297-3 . OCLC 1105718330 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Гриффитс, Дэвид Дж. (2017). Введение в электродинамику (4-е изд.). Соединенное Королевство: Издательство Кембриджского университета . п. 454. ИСБН 978-1-108-42041-9 . OCLC 1021068059 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. стр. 664–665. ISBN 0-471-30932-Х . OCLC 38073290 .

Перселл, Эдвард; Морен, Дэвид (2013). Электричество и магнетизм (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк. ISBN 978-1-107-01402-2 .
Браун, Майкл (2011). Физика для техники и науки (2-е изд.). МакГроу-Хилл, Шаум, Нью-Йорк. ISBN 978-0-07-161399-6 .

Внешние ссылки

Электрическое поле по теме «Электричество и магнетизм», R Nave – Гиперфизика , Университет штата Джорджия
Лекции Фрэнка Вольфса в Рочестерском университете , главы 23 и 24
Поля. Архивировано 27 мая 2010 г. в Wayback Machine - глава из онлайн-учебника.

[1] Рош, Джон (2016). «Введение в электрические поля». Физическое образование . 51 (5): 055005. Бибкод : 2016PhyEd..51e5005R . дои : 10.1088/0031-9120/51/5/055005 . S2CID 125014664 .

[2] Фейнман, Ричард (1970). Фейнмановские лекции по физике, том II . Эддисон Уэсли Лонгман. стр. 1–3, 1–4. ISBN 978-0-201-02115-8 .

[3] Перселл, Эдвард М.; Морин, Дэвид Дж. (2013). Электричество и магнетизм (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 15–16. ISBN 978-1-107-01402-2 .

[Serway-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Сервей, Раймонд А.; Вуй, Крис (2014). Колледж физики (10-е изд.). Cengage Обучение. стр. 532–533. ISBN 978-1305142824 .

[5] Международная система единиц (PDF) (9-е изд.), Международное бюро мер и весов, декабрь 2022 г., ISBN 978-92-822-2272-0 , с. 23

[uniphysics-6] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Сирс, Фрэнсис; и др. (1982), Университетская физика (6-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 0-201-07199-1

[Umashankar-7] Умашанкар, Корада (1989), Введение в инженерные электромагнитные поля , World Scientific, стр. 77–79, ISBN 9971-5-0921-0

[elec_princ_p73-8] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Морли и Хьюз (1970), Принципы электричества (5-е изд.), Лонгман, с. 73, ISBN 0-582-42629-4

[Tou-9] Тоу, Стивен (2011). Визуализация областей и приложений в технике . Джон Уайли и сыновья. п. 64. ИСБН 9780470978467 .

[griffiths-10] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-805326-Х . OCLC 40251748 .

[11] Перселл, с. 25: «Закон Гаусса: поток электрического поля E через любую замкнутую поверхность… равен 1/ e умноженному на общий заряд, заключенный в поверхности».

[12] Перселл, стр. 356: «Закон индукции Фарадея».

[13] Перселл, стр. 7: «... взаимодействие между покоящимися электрическими зарядами описывается законом Кулона: два стационарных электрических заряда отталкиваются или притягивают друг друга с силой, пропорциональной произведению величины зарядов и обратно пропорциональной квадрату. от расстояния между ними.

[Purcell-14] Перселл, Эдвард (2011). Электричество и магнетизм (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 8–9. ISBN 978-1139503556 .

[15] wrowe (8 октября 2011 г.). «Скручиваемость и потенциал в электростатике» (PDF) . Physicspages.com . Архивировано из оригинала (PDF) 22 марта 2019 года . Проверено 2 ноября 2020 г.

[16] Урэй, Пол Г. (2009). Уравнения Максвелла . Вайли-IEEE. п. 205. ИСБН 978-0-470-54276-7 . ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[17] Перселл, стр. 5–7.

[18] Салам, Абдус (16 декабря 1976 г.). «Кварки и лептоны вступают в игру» . Новый учёный . 72 :652. ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[Griffiths-19] Гриффитс, диджей (2017). Введение в электродинамику (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 357, экв. 8.5. ISBN 9781108420419 .

[auto-20] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Грант, И.С.; Филлипс, WR (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-92712-9 .

[21] Беннет, ГАГ; Арнольд, Эдвард (1974). Электричество и современная физика (2-е изд.). Эдвард Арнольд. ISBN 0-7131-2459-8 .

[22] Ландау Лев Давидович ; Лифшиц, Евгений М. (1963). «68 Распространение волн в неоднородной среде». Электродинамика сплошных сред . Курс теоретической физики . Том. 8. Пергам. п. 285. ИСБН 978-0-7581-6499-5 . В уравнениях Максвелла… ε является функцией координат.

[:0-23] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Перселл, Эдвард М.; Морин, Дэвид Дж. (21 января 2013 г.). Электричество и магнетизм . стр. 241–251. дои : 10.1017/cbo9781139012973 . ISBN 9781139012973 . Проверено 4 июля 2022 г. {{cite book}}: |website= игнорируется ( помогите )

[24] Россер, WGV (1968). Классический электромагнетизм через теорию относительности . стр. 29–42. дои : 10.1007/978-1-4899-6559-2 . ISBN 978-1-4899-6258-4 .

[25] Хевисайд, Оливер. Электромагнитные волны, распространение потенциала и электромагнитные эффекты движущегося заряда .

[26] Набер, Грегори Л. (2012). Геометрия пространства-времени Минковского: введение в математику специальной теории относительности . Спрингер. стр. 4–5. ISBN 978-1-4419-7837-0 . OCLC 804823303 .

[27] Перселл, Эдвард М.; Дэвид Дж. Морин (2013). Электричество и магнетизм (Третье изд.). Кембридж. стр. 251–255. ISBN 978-1-139-01297-3 . OCLC 1105718330 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[28] Гриффитс, Дэвид Дж. (2017). Введение в электродинамику (4-е изд.). Соединенное Королевство: Издательство Кембриджского университета . п. 454. ИСБН 978-1-108-42041-9 . OCLC 1021068059 .

[:1-29] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. стр. 664–665. ISBN 0-471-30932-Х . OCLC 38073290 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]