Плотность заряда

В электромагнетизме плотность заряда — это количество электрического заряда на единицу длины , площади поверхности или объёма . Объемная плотность заряда (обозначается греческой буквой ρ) — количество заряда в единице объема, измеряемое в системе СИ в кулонах на кубический метр (Кл⋅м ⁻³), в любой точке объема. ^[1]^[2]^[3] Плотность поверхностного заряда (σ) — это количество заряда на единицу площади, измеряемое в кулонах на квадратный метр (Кл⋅м). ⁻²), в любой точке поверхностного распределения заряда на двумерной поверхности. Линейная плотность заряда (λ) — это количество заряда на единицу длины, измеряемое в кулонах на метр (Кл⋅м). ⁻¹), в любой точке линии распределения заряда. Плотность заряда может быть как положительной, так и отрицательной, поскольку электрический заряд может быть как положительным, так и отрицательным.

Как и плотность массы , плотность заряда может меняться в зависимости от положения. В классической электромагнитной теории плотность заряда идеализируется как непрерывная скалярная функция положения. ${\boldsymbol {x}}$ , как жидкость, и $\rho ({\boldsymbol {x}})$ , $\sigma ({\boldsymbol {x}})$ , и $\lambda ({\boldsymbol {x}})$ обычно рассматриваются как непрерывные распределения зарядов , хотя все реальные распределения зарядов состоят из дискретных заряженных частиц. Из-за сохранения электрического заряда плотность заряда в любом объеме может измениться только в том случае, если электрический ток заряда течет в объем или из него. Это выражается уравнением непрерывности , связывающим скорость изменения плотности заряда $\rho ({\boldsymbol {x}})$ и плотность тока ${\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {x}})$ .

Поскольку весь заряд переносится субатомными частицами , которые можно идеализировать как точки, концепция непрерывного распределения заряда является приближением, которое становится неточным на малых масштабах длины. Распределение заряда в конечном итоге состоит из отдельных заряженных частиц, разделенных областями, не содержащими заряда. ^[4] Например, заряд электрически заряженного металлического объекта состоит из электронов проводимости, металла хаотично движущихся в кристаллической решетке . Статическое электричество вызывается поверхностными зарядами, состоящими из электронов и ионов, вблизи поверхности объектов, а объемный заряд в вакуумной трубке состоит из облака свободных электронов, хаотично движущихся в пространстве. Плотность носителей заряда в проводнике равна числу подвижных носителей заряда ( электронов , ионов и т. д.) в единице объема. Плотность заряда в любой точке равна плотности носителей заряда, умноженной на элементарный заряд частиц. Однако поскольку элементарный заряд электрона настолько мал (1,6⋅10 ⁻¹⁹ в) и их очень много в макроскопическом объёме (их около 10 ²² электроны проводимости в кубическом сантиметре меди) непрерывное приближение очень точно применительно к макроскопическим объемам и даже к микроскопическим объемам выше нанометрового уровня.

В еще меньших масштабах атомов и молекул из-за принципа неопределенности квантовой механики заряженная частица не имеет точного положения, а представлена распределением вероятностей , поэтому заряд отдельной частицы не сосредоточен в какой-то точке, а «размазывается» в пространстве и действует как истинное непрерывное распределение заряда. ^[4] В этом смысл понятий «распределение заряда» и «плотность заряда», используемых в химии и химической связи . Электрон представлен волновой функцией $\psi ({\boldsymbol {x}})$ квадрат которого пропорционален вероятности найти электрон в любой точке ${\boldsymbol {x}}$ в космосе, поэтому $|\psi ({\boldsymbol {x}})|^{2}$ пропорциональна плотности заряда электрона в любой точке. В атомах и молекулах заряд электронов распределен в облаках, называемых орбиталями , которые окружают атом или молекулу и отвечают за химические связи .

Определения

Постоянные начисления

Ниже приведены определения непрерывного распределения заряда. ^[5]^[6]

Линейная плотность заряда — это отношение бесконечно малого электрического заряда dQ (единица СИ: C ) к бесконечно малому линейному элементу , $\lambda _{q}={\frac {dQ}{d\ell }}\,,$ аналогично плотность поверхностного заряда использует площади поверхности элемент dS $\sigma _{q}={\frac {dQ}{dS}}\,,$ а плотность объемного заряда использует объема элемент dV $\rho _{q}={\frac {dQ}{dV}}\,,$

Интегрирование определений дает общий заряд Q области в соответствии с линейным интегралом линейной плотности заряда λ _q ( r ) по линии или 1d кривой C , $Q=\int _{L}\lambda _{q}(\mathbf {r} )\,d\ell$ аналогично поверхностный интеграл поверхностной плотности заряда σ _q ( r ) по поверхности S , $Q=\int _{S}\sigma _{q}(\mathbf {r} )\,dS$ и объемный интеграл от объемной плотности заряда ρ _q ( r ) по объему V , $Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV$ где индекс q должен прояснить, что плотность относится к электрическому заряду, а не к другим плотностям, таким как плотность массы , плотность числа , плотность вероятности , и предотвратить конфликт со многими другими использованиями λ , σ , ρ в электромагнетизме для длины волны , удельного электрического сопротивления и проводимость .

В контексте электромагнетизма индексы обычно опускаются для простоты: λ , σ , ρ . Другие обозначения могут включать: ρ _ℓ , ρ _s , ρ _v , ρ _L , ρ _S , ρ _V и т. д.

Общий заряд, разделенный на длину, площадь поверхности или объем, будет средней плотностью заряда: $\langle \lambda _{q}\rangle ={\frac {Q}{\ell }}\,,\quad \langle \sigma _{q}\rangle ={\frac {Q}{S}}\,,\quad \langle \rho _{q}\rangle ={\frac {Q}{V}}\,.$

Бесплатная, связанная и полная оплата

В диэлектрических материалах общий заряд объекта можно разделить на «свободные» и «связанные» заряды.

Связанные заряды создают электрические диполи в ответ на приложенное электрическое поле E и поляризуют другие близлежащие диполи, стремясь выстроить их в линию; чистое накопление заряда в результате ориентации диполей представляет собой связанный заряд. Их называют связанными, потому что их нельзя удалить: в диэлектрике зарядами являются электроны, связанные с ядрами . ^[6]

Свободные заряды — это избыточные заряды, которые могут прийти в электростатическое равновесие , т. е. когда заряды не движутся и результирующее электрическое поле не зависит от времени, или образовывать электрические токи . ^[5]

Полная плотность заряда

С точки зрения объемной плотности заряда полная плотность заряда равна: $\rho =\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\,.$ что касается поверхностной плотности заряда: $\sigma =\sigma _{\text{f}}+\sigma _{\text{b}}\,.$ где индексы «f» и «b» означают «свободный» и «связанный» соответственно.

Связанный заряд

Связанный поверхностный заряд — это заряд, накопившийся на поверхности диэлектрика , определяемый дипольным моментом, перпендикулярным поверхности: ^[6] $q_{b}={\frac {\mathbf {d} \cdot \mathbf {\hat {n}} }{|\mathbf {s} |}}$ где s — расстояние между точечными зарядами, составляющими диполь, $\mathbf {d}$ электрический дипольный момент , $\mathbf {\hat {n}}$ – единичный вектор нормали к поверхности.

Взяв бесконечно малые значения : $dq_{b}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |}}\cdot \mathbf {\hat {n}}$ и деление на дифференциальный поверхностный элемент dS дает связанную плотность поверхностного заряда: $\sigma _{b}={\frac {dq_{b}}{dS}}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |dS}}\cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {d\mathbf {d} }{dV}}\cdot \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,.$ где P – плотность поляризации , т.е. плотность электрических дипольных моментов внутри материала, а dV – дифференциальный элемент объема .

Используя теорему о дивергенции , связанная объемная плотность заряда внутри материала равна $q_{b}=\int \rho _{b}\,dV=-\oint _{S}\mathbf {P} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=-\int \nabla \cdot \mathbf {P} \,dV$ следовательно: $\rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} \,.$

Отрицательный знак возникает из-за противоположных знаков зарядов в диполях: один конец находится в объеме объекта, другой — на поверхности.

Ниже приведен более строгий вывод. ^[6]

Вывод связанных поверхностных и объемных плотностей зарядов из внутренних дипольных моментов (связанных зарядов)

Электрический потенциал, обусловленный дипольным моментом d, равен: $\varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {d} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}$

Для непрерывного распределения материал можно разделить на бесконечное количество бесконечно малых диполей. $d\mathbf {d} =\mathbf {P} dV=\mathbf {P} d^{3}\mathbf {r}$ где $dV = d 3 r'$ — элемент объема, поэтому потенциал — это интеграл объема по объекту: $\varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}d^{3}\mathbf {r'}$

С $\nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\equiv \left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial }{\partial x'}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial }{\partial y'}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z'}}\right)\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}$ где ∇′ — градиент в координатах r′ , $\varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \mathbf {P} \cdot \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)d^{3}\mathbf {r'}$

Интегрирование по частям $\varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \left[\nabla '\cdot \left({\frac {\mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)-{\frac {1}{\mathbf {r} -\mathbf {r} '}}(\nabla '\cdot \mathbf {P} )\right]d^{3}\mathbf {r'}$ используя теорему о дивергенции:

\varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}

$\оинт$

{\scriptstyle S}

{\frac {\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {\nabla '\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'}

который распадается на потенциал поверхностного заряда ( поверхностный интеграл ) и потенциал, обусловленный объемным зарядом (объемный интеграл):

\varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}

$\оинт$

{\scriptstyle S}

{\frac {\sigma _{b}dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {\rho _{b}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'}

то есть $\sigma _{b}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,,\quad \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P}$

Плотность свободного заряда

Плотность свободного заряда служит полезным упрощением закона Гаусса для электричества; объемный интеграл от него — это свободный заряд, заключенный в заряженном объекте, равный чистому потоку электрического поля смещения D, выходящего из объекта:

\Phi _{D}=

$\оинт$

{\scriptstyle S}

\mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS=\iiint \rho _{f}dV

см. в уравнениях Максвелла и определяющих соотношениях Более подробную информацию .

Однородная плотность заряда

Для частного случая однородной плотности заряда ρ ₀ , независимой от положения, т. е. постоянной по всей области материала, уравнение упрощается до: $Q=V\rho _{0}.$

Доказательство

Начнем с определения непрерывной объемной плотности заряда: $Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV.$

Тогда, по определению однородности, ρ _q ( r ) является константой, обозначаемой ρ _{q , 0} (чтобы различать постоянную и непостоянную плотности), и поэтому по свойствам интеграла можно вывести за пределы интеграла, в результате чего в: $Q=\rho _{q,0}\int _{V}\,dV=\rho _{0}V$ так, $Q=V\rho _{q,0}.$

Эквивалентные доказательства для линейной плотности заряда и поверхностной плотности заряда следуют тем же аргументам, что и выше.

Дискретные расходы

Для одного точечного заряда q в положении r ₀ внутри области трехмерного пространства R , такого как электрон , объемная плотность заряда может быть выражена дельта -функцией Дирака : $\rho _{q}(\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})$ где r — позиция для расчета заряда.

Как всегда, интеграл от плотности заряда по определенной области пространства — это заряд, содержащийся в этой области. Дельта-функция обладает свойством сдвига для любой функции f : $\int _{R}d^{3}\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=f(\mathbf {r} _{0})$ таким образом, дельта-функция гарантирует, что при интегрировании плотности заряда по R общий заряд в R равен q : $Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\rho _{q}=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q$

Это можно распространить на N дискретных точечных носителей заряда. Плотность заряда системы в точке r представляет собой сумму плотностей зарядов для каждого заряда q _i в позиции r _i , где $i = 1, 2, ..., N$ : $\rho _{q}(\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})$

Дельта-функция для каждого заряда q _i в сумме δ ( r − r _i ) гарантирует, что интеграл плотности заряда по R возвращает общий заряд в R : $Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}$

Если все носители заряда имеют одинаковый заряд q (для электронов q = − e , заряд электрона ), плотность заряда может быть выражена через количество носителей заряда на единицу объема, n ( r ), по формуле $\rho _{q}(\mathbf {r} )=qn(\mathbf {r} )\,.$

Аналогичные уравнения используются для линейной и поверхностной плотности заряда.

Плотность заряда в специальной теории относительности

В специальной теории относительности длина отрезка проволоки зависит от скорости наблюдателя из-за сокращения длины , поэтому плотность заряда также будет зависеть от скорости. Энтони Френч ^[7]описал, как сила магнитного поля провода с током возникает из-за этой относительной плотности заряда. Он использовал (стр. 260) диаграмму Минковского , чтобы показать, «как нейтральный провод с током несет результирующую плотность заряда, наблюдаемую в движущейся системе отсчета». Когда плотность заряда измеряется в движущейся системе отсчета, это называется собственной плотностью заряда . ^[8]^[9]^[10]

Оказывается, плотность заряда ρ и плотность тока J преобразуются вместе как вектор четырехтоков при преобразованиях Лоренца .

Плотность заряда в квантовой механике

В квантовой механике плотность заряда ρ _q связана с волновой функцией ψ ( r ) уравнением $\rho _{q}(\mathbf {r} )=q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}$ где q — заряд частицы и $| ψ (р) | 2 = ψ *(r) ψ (r)$ — функция плотности вероятности , т.е. вероятность на единицу объема частицы, расположенной в точке r .При нормировке волновой функции средний заряд в области r ∈ R равен $Q=\int _{R}q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r}$ где d ³r — мера интегрирования в трехмерном позиционном пространстве.

Для системы одинаковых фермионов плотность чисел определяется как сумма плотности вероятности каждой частицы в:

$n(\mathbf {r} )=\sum _{i}\langle \psi |\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}')|\psi \rangle$

$n(\mathbf {r} )=\sum _{i}\int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{N}\,\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} ',\dots ,\mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} ',\dots ,\mathbf {r} _{N}).$

Используя условие симметризации: $n(\mathbf {r} )=N\int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{N}\,\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N}).$ где ${\textstyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\cdot n(\mathbf {r} )}$ считается плотностью заряда.

Потенциальная энергия системы записывается как: $\langle \psi |U|\psi \rangle =\int V(\mathbf {r} )n(\mathbf {r} )\delta ^{3}\mathbf {r}$ Таким образом, энергия электрон-электронного отталкивания в этих условиях определяется как: $U_{ee}[n]=J[n]={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {(en(\mathbf {r} ))(en(\mathbf {r} '))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)$ Обратите внимание, что при этом не учитывается обменная энергия системы, которая является чисто квантовомеханическим явлением и должна рассчитываться отдельно.

Затем энергия определяется с использованием метода Хартри-Фока как:

$E[n]=I+J-K$

Где I — кинетическая и потенциальная энергия электронов, обусловленная положительными зарядами, J — энергия взаимодействия электронов с электронами, а K — обменная энергия электронов. ^[11]^[12]

Приложение

Плотность заряда появляется в уравнении непрерывности электрического тока, а также в уравнениях Максвелла . Это основной источник электромагнитного поля ; когда распределение заряда движется, это соответствует плотности тока . Плотность заряда молекул влияет на химические процессы и процессы разделения. Например, плотность заряда влияет на связь металл-металл и водородную связь . ^[13] В процессах разделения, таких как нанофильтрация , плотность заряда ионов влияет на их отторжение мембраной. ^[14]

См. также

Уравнение непрерывности, связывающее плотность заряда и плотность тока
Ионный потенциал
Волна плотности заряда

Ссылки

^ П.М. Уилан, М.Дж. Ходжсон (1978). Основные принципы физики (2-е изд.). Джон Мюррей. ISBN 0-7195-3382-1 .
^ «Физика 2: Электричество и магнетизм, Конспекты курса, гл. 2, стр. 15-16» (PDF) . MIT OpenCourseware . Массачусетский технологический институт. 2007 . Проверено 3 декабря 2017 г.
^ Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. (2013). Физика для ученых и инженеров, Том. 2, 9-е изд . Cengage Обучение. п. 704. ИСБН 9781133954149 .
^ Jump up to: ^а ^б Перселл, Эдвард (22 сентября 2011 г.). Электричество и магнетизм . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107013605 .
^ Jump up to: ^а ^б ИС Грант; В. Р. Филлипс (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Манчестерская физика, Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-92712-9 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Диджей Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли. ISBN 978-81-7758-293-2 .
^ Френч, А. (1968). «8: Относительность и электричество». Специальная теория относительности . WW Нортон . стр. 229–265.
^ Молд, Ричард А. (2001). «Сила Лоренца». Основная теория относительности . Springer Science & Business Media . ISBN 0-387-95210-1 .
^ Лоуден, Дерек Ф. (2012). Введение в тензорное исчисление: теория относительности и космология . Курьерская корпорация. п. 74. ИСБН 978-0-486-13214-3 .
^ Вандерлинде, Джек (2006). «11.1: Четырехпотенциал и закон Кулона». Классическая электромагнитная теория . Springer Science & Business Media. п. 314. ИСБН 1-4020-2700-1 .
^ Сакурай, Джун Джон; Наполитано, Джим (2021). Современная квантовая механика (3-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 443–453. ISBN 978-1-108-47322-4 .
^ Литтлджон, Роберт Г. «Метод Хартри-Фока в атомах» (PDF) .
^ Р. Дж. Гиллеспи и PLA Popelier (2001). «Химическая связь и молекулярная геометрия». Экологические науки и технологии . 52 (7). Издательство Оксфордского университета: 4108–4116. Бибкод : 2018EnST...52.4108E . doi : 10.1021/acs.est.7b06400 . ПМИД 29510032 .
^ Рази Эпштейн, Эвиатар Шаульский, Надир Дизге, Дэвид М. Варсингер, Менахем Элимелех (2018). «Зависимое от плотности ионного заряда исключение Доннана в нанофильтрации одновалентных анионов». Экологические науки и технологии . 52 (7): 4108–4116. Бибкод : 2018EnST...52.4108E . doi : 10.1021/acs.est.7b06400 . ПМИД 29510032 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

Дальнейшее чтение

А. Халперн (1988). 3000 решенных задач по физике . Серия Шаум, МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-025734-4 .
Г. Воан (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57507-2 .
П. А. Типлер, Г. Моска (2008). Физика для ученых и инженеров - с современной физикой (6-е изд.). Фримен. ISBN 978-0-7167-8964-2 .
Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издатели ВХК. ISBN 978-0-89573-752-6 .
CB Паркер (1994). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). Издатели ВХК. ISBN 978-0-07-051400-3 .

Внешние ссылки

[1] - Пространственные распределения заряда

[Whelan-1] П.М. Уилан, М.Дж. Ходжсон (1978). Основные принципы физики (2-е изд.). Джон Мюррей. ISBN 0-7195-3382-1 .

[2] «Физика 2: Электричество и магнетизм, Конспекты курса, гл. 2, стр. 15-16» (PDF) . MIT OpenCourseware . Массачусетский технологический институт. 2007 . Проверено 3 декабря 2017 г.

[Serway-3] Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. (2013). Физика для ученых и инженеров, Том. 2, 9-е изд . Cengage Обучение. п. 704. ИСБН 9781133954149 .

[:0-4] Jump up to: ^а ^б Перселл, Эдвард (22 сентября 2011 г.). Электричество и магнетизм . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107013605 .

[grant-5] Jump up to: ^а ^б ИС Грант; В. Р. Филлипс (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Манчестерская физика, Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-92712-9 .

[griffiths-6] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Диджей Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли. ISBN 978-81-7758-293-2 .

[7] Френч, А. (1968). «8: Относительность и электричество». Специальная теория относительности . WW Нортон . стр. 229–265.

[8] Молд, Ричард А. (2001). «Сила Лоренца». Основная теория относительности . Springer Science & Business Media . ISBN 0-387-95210-1 .

[9] Лоуден, Дерек Ф. (2012). Введение в тензорное исчисление: теория относительности и космология . Курьерская корпорация. п. 74. ИСБН 978-0-486-13214-3 .

[10] Вандерлинде, Джек (2006). «11.1: Четырехпотенциал и закон Кулона». Классическая электромагнитная теория . Springer Science & Business Media. п. 314. ИСБН 1-4020-2700-1 .

[11] Сакурай, Джун Джон; Наполитано, Джим (2021). Современная квантовая механика (3-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 443–453. ISBN 978-1-108-47322-4 .

[12] Литтлджон, Роберт Г. «Метод Хартри-Фока в атомах» (PDF) .

[Gillespie-13] Р. Дж. Гиллеспи и PLA Popelier (2001). «Химическая связь и молекулярная геометрия». Экологические науки и технологии . 52 (7). Издательство Оксфордского университета: 4108–4116. Бибкод : 2018EnST...52.4108E . doi : 10.1021/acs.est.7b06400 . ПМИД 29510032 .

[Epsztein-14] Рази Эпштейн, Эвиатар Шаульский, Надир Дизге, Дэвид М. Варсингер, Менахем Элимелех (2018). «Зависимое от плотности ионного заряда исключение Доннана в нанофильтрации одновалентных анионов». Экологические науки и технологии . 52 (7): 4108–4116. Бибкод : 2018EnST...52.4108E . doi : 10.1021/acs.est.7b06400 . ПМИД 29510032 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]