Плотность носителей заряда

Плотность носителей заряда , также известная как концентрация носителей заряда , обозначает количество носителей заряда в объёме . В единицах СИ он измеряется в м ⁻³. Как и любая плотность , в принципе она может зависеть от положения. Однако обычно концентрация носителей выражается одним числом и представляет собой среднюю плотность носителей по всему материалу.

Плотность носителей заряда включает уравнения, касающиеся электропроводности , связанных с ней явлений, таких как теплопроводность , и химических связей, таких как ковалентная связь .

Расчет

Плотность носителей обычно получается теоретически путем интегрирования плотности состояний по энергетическому диапазону носителей заряда в материале (например, интегрирование по зоне проводимости для электронов, интегрирование по валентной зоне для дырок).

Если известно общее количество носителей заряда, плотность носителей можно найти простым делением на объем. Чтобы показать это математически, плотность носителей заряда — это плотность частиц , поэтому интегрирование ее по объему $V$ дает количество носителей заряда $N$ в этом томе $N=\int _{V}n(\mathbf {r} )\,dV.$ где $n(\mathbf {r} )$ – плотность носителей заряда, зависящая от положения.

Если плотность не зависит от положения и равна постоянной $n_{0}$ это уравнение упрощается до $N=V\cdot n_{0}.$

Полупроводники

Плотность носителей важна для полупроводников , где она является важной величиной для процесса химического легирования . Используя зонную теорию , плотность электронов, $n_{0}$ — число электронов в единице объема зоны проводимости. Для дырок, $p_{0}$ – число дырок в единице объема валентной зоны. Чтобы вычислить это число для электронов, мы начнем с идеи, что общая плотность электронов зоны проводимости $n_{0}$ , просто складывает плотность электронов проводимости разных энергий в зоне, начиная с нижней части зоны. $E_{c}$ на вершину группы $E_{\text{top}}$ .

$n_{0}=\int _{E_{c}}^{E_{\text{top}}}N(E)\,dE$

Поскольку электроны являются фермионами , плотность электронов проводимости при любой конкретной энергии $N(E)$ является произведением плотности состояний , $g(E)$ или сколько проводящих состояний возможно с распределением Ферми – Дирака , $f(E)$ который сообщает нам долю тех состояний, в которых действительно будут электроны. $N(E)=g(E)f(E)$

Чтобы упростить расчет, вместо того, чтобы рассматривать электроны как фермионы в соответствии с распределением Ферми-Дирака, мы вместо этого рассматриваем их как классический невзаимодействующий газ, который задается распределением Максвелла-Больцмана . Это приближение имеет незначительный эффект, когда величина $|E-E_{f}|\gg k_{\text{B}}T$ , что справедливо для полупроводников при температуре около комнатной. Это приближение недействительно при очень низких температурах или чрезвычайно малой запрещенной зоне.

$f(E)={\frac {1}{1+e^{\frac {E-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}}\approx e^{-{\frac {E-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}$

Трехмерная плотность состояний равна: $g(E)={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m^{*}}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}$

После объединения и упрощения эти выражения приводят к:

$n_{0}=2\left({\frac {m^{*}k_{\text{B}}T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {E_{c}-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}$

Здесь $m^{*}$ - эффективная масса электронов в этом конкретном полупроводнике, а величина $E_{c}-E_{f}$ - разница в энергии между зоной проводимости и уровнем Ферми , которая равна половине запрещенной зоны, $E_{g}$ :

$E_{g}=2(E_{c}-E_{f})$

Аналогичное выражение можно получить и для дырок. Концентрацию носителей можно рассчитать, рассматривая движение электронов вперед и назад через запрещенную зону , как равновесие обратимой химической реакции , что приводит к закону действия электронных масс . Закон действующих масс определяет величину $n_{i}$ называемая собственной концентрацией носителей заряда, которая для нелегированных материалов:

$n_{i}=n_{0}=p_{0}$

В следующей таблице перечислены несколько значений концентрации собственных носителей тока для собственных полупроводников в порядке увеличения запрещенной зоны.

Материал	Плотность носителя (1/см ³) при 300К
германий ^[1]	2.33 × 10 ¹³
Кремний ^[2]	9.65 × 10 ⁹
Арсенид галлия ^[3]	2.1 × 10 ⁶
3C-SiC ^[4]	10
6H-SiC ^[4]	2.3 × 10 ⁻⁶
4H-SiC ^[4]	8.2 × 10 ⁻⁹
Нитрид галлия ^[4]	1.9 × 10 ⁻¹⁰
Алмаз ^[4]	1.6 × 10 ⁻²⁷

Эти концентрации носителей будут меняться, если эти материалы будут легированы. Например, легирование чистого кремния небольшим количеством фосфора увеличит плотность носителей электронов n . Тогда, поскольку n > p , легированный кремний будет примесным полупроводником n-типа . Легирование чистого кремния небольшим количеством бора увеличит плотность носителей дырок, поэтому тогда p > n , и это будет внешний полупроводник p-типа.

Металлы

Плотность носителей применима и к металлам , где ее можно оценить с помощью простой модели Друде . В этом случае плотность носителей (в данном контексте также называемая плотностью свободных электронов) можно оценить по формуле: ^[5]

$n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{m}}{m_{a}}}$

Где $N_{\text{A}}$ — постоянная Авогадро , Z — число валентных электронов , $\rho _{m}$ - плотность материала, а $m_{a}$ это атомная масса . Поскольку металлы могут иметь несколько степеней окисления , точное определение того, сколько «валентных электронов» должен иметь элемент в элементарной форме, несколько произвольно, но в следующей таблице перечислены плотности свободных электронов, данные Эшкрофтом и Мермином , которые были рассчитаны по формуле выше, основываясь на разумных предположениях о валентности, $Z$ , и с массовыми плотностями, $\rho _{m}$ рассчитано по данным экспериментальной кристаллографии . ^[5]

Материал	Количество валентных электронов	Плотность носителя (1/см ³) при 300К
Медь	1	8.47 × 10 ²²
Серебро	1	5.86 × 10 ²²
Золото	1	5.90 × 10 ²²
Бериллий	2	2.47 × 10 ²³
Магний	2	8.61 × 10 ²²
Кальций	2	4.61 × 10 ²²
Стронций	2	3.55 × 10 ²²
Барий	2	3.15 × 10 ²²
Ниобий	1	5.56 × 10 ²²
Железо	2	1.70 × 10 ²³
Марганец	2	1.65 × 10 ²³
Цинк	2	1.32 × 10 ²³
Кадмий	2	9.27 × 10 ²²
Алюминий	3	1.81 × 10 ²³
Галлий	3	1.54 × 10 ²³
Индий	3	1.15 × 10 ²³
Таллий	3	1.05 × 10 ²³
Полагать	4	1.48 × 10 ²³
Вести	4	1.32 × 10 ²³
Висмут	5	1.41 × 10 ²³
Сурьма	5	1.65 × 10 ²³

Значения n среди металлов, полученные, например, с помощью эффекта Холла , часто имеют один и тот же порядок величины, но эта простая модель не может предсказать плотность носителей с очень высокой точностью.

Измерение

Плотность носителей заряда во многих случаях можно определить с помощью эффекта Холла : ^[6] напряжение которого обратно пропорционально плотности носителей заряда.

Ссылки

^ О. Маделунг, У. Рёсслер, М. Шульц (2002). «Германий (Ge), собственная концентрация носителей». Элементы IV группы, соединения IV-IV и III-V. Часть b – Электронные, транспортные, оптические и другие свойства . Ландольт-Бёрнштейн – Конденсированные вещества группы III. стр. 1–3. дои : 10.1007/10832182_503 . ISBN 978-3-540-42876-3 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Пьетро П. Альтерматт, Андреас Шенк, Франк Гелхаар, Гернот Хейзер (2003). «Переоценка собственной плотности носителей заряда в кристаллическом кремнии с учетом сужения запрещенной зоны». Журнал прикладной физики . 93 (3): 1598. Бибкод : 2003JAP....93.1598A . дои : 10.1063/1.1529297 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Рёсслер, У. (2002). «Арсенид галлия (GaAs), собственная концентрация носителей, электро- и теплопроводность». Элементы IV группы, соединения IV-IV и III-V. Часть b – Электронные, транспортные, оптические и другие свойства . Ландольт-Бёрнштейн – Конденсированные вещества группы III. стр. 1–8. дои : 10.1007/10832182_196 . ISBN 978-3-540-42876-3 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Гачовская, Таня К.; Хаджинс, Джерри Л. (2018). «Силовые полупроводниковые устройства SiC и GaN». Справочник по силовой электронике . Эльзевир. п. 98. дои : 10.1016/b978-0-12-811407-0.00005-2 . ISBN 9780128114070 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Эшкрофт, Мермин. Физика твердого тела . стр. 4–5.
^ Эдвин Холл (1879). «О новом действии магнита на электрический ток» . Американский журнал математики . 2 (3): 287–92. дои : 10.2307/2369245 . JSTOR 2369245 . S2CID 107500183 . Архивировано из оригинала 27 июля 2011 года.

[1] О. Маделунг, У. Рёсслер, М. Шульц (2002). «Германий (Ge), собственная концентрация носителей». Элементы IV группы, соединения IV-IV и III-V. Часть b – Электронные, транспортные, оптические и другие свойства . Ландольт-Бёрнштейн – Конденсированные вещества группы III. стр. 1–3. дои : 10.1007/10832182_503 . ISBN 978-3-540-42876-3 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[2] Пьетро П. Альтерматт, Андреас Шенк, Франк Гелхаар, Гернот Хейзер (2003). «Переоценка собственной плотности носителей заряда в кристаллическом кремнии с учетом сужения запрещенной зоны». Журнал прикладной физики . 93 (3): 1598. Бибкод : 2003JAP....93.1598A . дои : 10.1063/1.1529297 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[3] Рёсслер, У. (2002). «Арсенид галлия (GaAs), собственная концентрация носителей, электро- и теплопроводность». Элементы IV группы, соединения IV-IV и III-V. Часть b – Электронные, транспортные, оптические и другие свойства . Ландольт-Бёрнштейн – Конденсированные вещества группы III. стр. 1–8. дои : 10.1007/10832182_196 . ISBN 978-3-540-42876-3 .

[Gachovska2018-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Гачовская, Таня К.; Хаджинс, Джерри Л. (2018). «Силовые полупроводниковые устройства SiC и GaN». Справочник по силовой электронике . Эльзевир. п. 98. дои : 10.1016/b978-0-12-811407-0.00005-2 . ISBN 9780128114070 .

[Ashcroft-5] Перейти обратно: ^а ^б Эшкрофт, Мермин. Физика твердого тела . стр. 4–5.

[6] Эдвин Холл (1879). «О новом действии магнита на электрический ток» . Американский журнал математики . 2 (3): 287–92. дои : 10.2307/2369245 . JSTOR 2369245 . S2CID 107500183 . Архивировано из оригинала 27 июля 2011 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]