Функция Урселла

В статистической механике функция Урселла или связанная корреляционная функция является кумулянтом случайной величины . Его часто можно получить путем суммирования по связным диаграммам Фейнмана (сумма по всем диаграммам Фейнмана дает корреляционные функции ).

Функция Урселла была названа в честь Гарольда Урселла , который представил ее в 1927 году.

Определение

Если X является случайной величиной, моменты s _n и кумулянты (такие же, как функции Урселла) un _{связанными} являются функциями X, показательной формулой :

$\operatorname {E} (\exp(zX))=\sum _{n}s_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n}u_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}\right)$

(где $\operatorname {E}$ это ожидание ).

Функции Урселла для многомерных случайных величин определяются аналогично вышеизложенному и так же, как и многомерные кумулянты.

$u_{n}\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)=\left.{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\cdots {\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\log \operatorname {E} \left(\exp \sum z_{i}X_{i}\right)\right|_{z_{i}=0}$

Функции Урселла одной случайной величины X получаются из них, полагая X = X ₁ = … = X _n .

Первые несколько даны

${\begin{aligned}u_{1}(X_{1})={}&\operatorname {E} (X_{1})\\u_{2}(X_{1},X_{2})={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\\u_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2}X_{3})-\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3}X_{1})-\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{1}X_{2})+2\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\\u_{4}\left(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right)={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2}X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{1}X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{4})-\operatorname {E} (X_{4})\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3})\\&-\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\operatorname {E} (X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1}X_{3})\operatorname {E} (X_{2}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1}X_{4})\operatorname {E} (X_{2}X_{3})\\&+2\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{4})+2\operatorname {E} (X_{1}X_{3})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{4})+2\operatorname {E} (X_{1}X_{4})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})+2\operatorname {E} (X_{2}X_{3})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{4})\\&+2\operatorname {E} (X_{2}X_{4})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{3})+2\operatorname {E} (X_{3}X_{4})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})-6\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{4})\end{aligned}}$

Характеристика

Перкус (1975) показал, что функции Урселла, рассматриваемые как полилинейные функции нескольких случайных величин, однозначно определяются с точностью до константы тем фактом, что они обращаются в нуль всякий раз, когда переменные X _i можно разделить на два непустых независимых множества.

См. также

• кумулятивный

Ссылки

• Глимм, Джеймс ; Яффе, Артур (1987), Квантовая физика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-96476-8 , МР   0887102
• Перкус, Дж. К. (1975), «Корреляционные неравенства для спиновых решеток Изинга» (PDF) , Comm. Математика. Физ. , 40 (3): 283–308, Бибкод : 1975CMaPh..40..283P , doi : 10.1007/bf01610004 , MR   0378683 , S2CID   120940116
• Урселл, HD (1927), "Оценка интеграла по фазе Гиббса для несовершенных газов", Proc. Кембриджская философия. Соц. , 23 (6): 685–697, Bibcode : 1927PCPS...23..685U , doi : 10.1017/S0305004100011191 , S2CID   123023251