Уравнение Йооса – Вайнберга

В релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля уравнение Йоса -Вайнберга представляет собой релятивистское волновое уравнение, применимое к свободным частицам с произвольным спином j , целым числом для бозонов ( j = 1, 2, 3 ... ) или полуцелым числом для фермионов. ( j = 1 ⁄ 2 , 3 ⁄ 2 , 5 ⁄ 2 ... ). Решениями уравнений являются волновые функции , математически имеющие форму многокомпонентных спинорных полей . Спиновое квантовое число обычно обозначается буквой s в квантовой механике j , однако в этом контексте в литературе более типично (см. ссылки ).

Он назван в честь Ханса Х. Йооса и Стивена Вайнберга , найденного в начале 1960-х годов.

Заявление

Вводя матрицу 2(2 j + 1) × 2(2 j + 1) ;

$\gamma ^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{2j}}$

симметричен по любым двум тензорным индексам, что обобщает гамма-матрицы в уравнении Дирака, уравнение

$[(i\hbar )^{2j}\gamma ^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{2j}}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{2j}}+(mc)^{2j}]\Psi =0$

или

$[\gamma ^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{2j}}P_{\mu _{1}}P_{\mu _{2}}\cdots P_{\mu _{2j}}+(mc)^{2j}]\Psi =0$

( 4 )

Структура группы Лоренца

Основная статья: Теория представлений группы Лоренца

Для уравнений ЮВ представление группы Лоренца имеет вид

$D^{\mathrm {JW} }=D^{(j,0)}\oplus D^{(0,j)}.$

Это представление имеет определенный спин j . Оказывается, что частица со спином j в этом представлении также удовлетворяет уравнениям поля. Эти уравнения очень похожи на уравнения Дирака. Он подходит, когда симметрия зарядового сопряжения , симметрия обращения времени и четность хорошие.

Представления D ^{( Дж , 0)} и Д ^{(0, Дж )} может каждая по отдельности представлять частицы спина j . Состояние или квантовое поле в таком представлении не будет удовлетворять никакому уравнению поля, кроме уравнения Клейна – Гордона.

Лоренц-ковариантное тензорное описание состояний Вайнберга – Йооса.

Шестикомпонентное пространство представления со спином 1,

$D^{\mathrm {JW} }=D^{(1,0)}\oplus D^{(0,1)}$

может быть помечен парой антисимметричных индексов Лоренца [ αβ ] , что означает, что он преобразуется как антисимметричный тензор Лоренца второго ранга. $B_{[\alpha \beta ]},$ то есть

$B_{[\alpha \beta ]}\sim D^{(1,0)}\oplus D^{(0,1)}.$

-кратное j j произведение Кронекера T _{[ α 1 β 1 [ α β ] ... j ]} из B _{[ αβ ]}

$T_{[\alpha _{1}\beta _{1}]\cdots [\alpha _{j}\beta _{j}]}=B_{[\alpha _{1}\beta _{1}]}\otimes \cdots \otimes B_{[\alpha _{j}\beta _{j}]}=\bigotimes _{i=1}^{j}B_{[\alpha _{i}\beta _{i}]},$ ( 8А )

разлагается в конечную серию лоренц-неприводимых пространств представлений согласно

$\bigotimes _{i=1}^{j}\left(D_{i}^{(1,0)}\oplus D_{i}^{(0,1)}\right)\to D^{(j,0)}\oplus D^{(0,j)}\oplus D^{(j,j)}\oplus \cdots \oplus D^{(j_{k},j_{l})}\oplus D^{(j_{l},j_{k})}\oplus \cdots \oplus D^{(0,0)},$

и обязательно содержит $D^{(j,0)}\oplus D^{(0,j)}$ сектор. Этот сектор можно мгновенно идентифицировать с помощью независимого от импульса оператора проектирования P ^{( дж ,0)} , разработанный на основе C ⁽¹⁾ , один из элементов Казимира (инвариантов) алгебры Ли группы Лоренца , которые определяются как:

${\begin{cases}\left[C^{(1)}\right]_{AB}={\frac {1}{4}}{\left[M^{\mu \nu }\right]_{A}}^{C}\left[M_{\mu \nu }\right]_{CB}\\[6pt]\left[C^{(2)}\right]_{AB}={\frac {1}{4}}\varepsilon _{\mu \nu \lambda \eta }{\left[M^{\mu \nu }\right]_{A}}^{C}\left[M^{\lambda \eta }\right]_{CB}\end{cases}}\qquad A,B,C=1,\ldots ,(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)$ ( 8Б )

где М ^{примечание} — постоянные (2 j ₁ +1)(2 j ₂ +1) × (2 j ₁ +1)(2 j ₂ +1) матрицы, определяющие элементы алгебры Лоренца внутри $D^{(j_{1},j_{2})}\oplus D^{(j_{2},j_{1})}$ представления. На этикетках заглавными латинскими буквами указано конечномерность рассматриваемых пространств представления, описывающих внутренние углового момента ( спина степени свободы ).

Пространства представления $D^{(j_{1},j_{2})}\oplus D^{(j_{2},j_{1})}$ являются собственными векторами C ⁽¹⁾ в ( 8B ) согласно,

$C^{(1)}\left[D^{(j_{1},j_{2})}\oplus D^{(j_{2},j_{1})}\right]=\left(j_{1}(j_{1}+1)+j_{2}(j_{2}+1)\right)\left[D^{(j_{1},j_{2})}\oplus D^{(j_{2},j_{1})}\right],$

Здесь мы определяем:

$\lambda _{(j_{1},j_{2})}^{(1)}=j_{1}(j_{1}+1)+j_{2}(j_{2}+1),$

быть С ⁽¹⁾ собственное значение $D^{(j_{1},j_{2})}\oplus D^{(j_{2},j_{1})}$ сектор. Используя эти обозначения, мы определяем оператор проектора P ^{( дж ,0)} с точки зрения С ⁽¹⁾ :

${\left[P^{(j,0)}\right]_{\left[\alpha _{1}\beta _{1}\right]\cdots \left[\alpha _{j}\beta _{j}\right]}}^{\left[\rho _{1}\sigma _{1}\right]\cdots \left[\rho _{j}\sigma _{j}\right]}={\left[\prod _{k,l}\left({\frac {C^{(1)}-\lambda _{(j_{k},j_{l})}^{(1)}}{\lambda _{(j,\,0)}^{(1)}-\lambda _{(j_{k},j_{l})}^{(1)}}}\right)\right]_{\left[\alpha _{1}\beta _{1}\right]\cdots \left[\alpha _{j}\beta _{j}\right]}}^{\left[\rho _{1}\sigma _{1}\right]\cdots \left[\rho _{j}\sigma _{j}\right]}.$ ( 8С )

Такие проекторы можно использовать для поиска в T _{[ α 1 β 1 ]... α j β j ]} [ $D^{(j,0)}\oplus D^{(0,j)},$ и исключить все остальное. Релятивистские волновые уравнения второго порядка для любого j получаются напрямую, сначала идентифицируя $D^{(j,0)}\oplus D^{(0,j)}$ сектор в T _{[ α 1 β 1 ]...[ α j β j ]} в ( 8A ) с помощью проектора Лоренца в ( 8C ) и последующего наложения на результат условия массовой оболочки.

Этот алгоритм свободен от вспомогательных условий. Схема также распространяется на полуцелые спины: $s=j+{\tfrac {1}{2}}$ в этом случае Кронекера произведение T _{[ α 1 β 1 ]...[ α j β j ]} со спинором Дирака,

$D^{\left({\frac {1}{2}},0\right)}\oplus D^{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}$

необходимо учитывать. Выбор полностью антисимметричного тензора Лоренца второго ранга B _{[ α i β i ]} в приведенном выше уравнении ( 8A ) является необязательным. Можно начать с кратных произведений Кронекера полностью симметричных тензоров Лоренца второго ранга, A _{α i β i} . Последний вариант должен представлять интерес для теорий, в которых высокоспиновые $D^{(j,0)}\oplus D^{(0,j)}$ Поля Йоса – Вайнберга предпочтительно связаны с симметричными тензорами, такими как метрический тензор в гравитации.

Пример

Источник:

$\left({\tfrac {3}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\tfrac {3}{2}}\right)$

преобразуясь в тензорный спинор Лоренца второго ранга,

$\psi _{[\mu \nu ]}=[(1,0)\oplus (0,1)]\otimes \left[\left({\tfrac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\tfrac {1}{2}}\right)\right].$

Генераторы группы Лоренца в этом пространстве представления обозначаются через $\left[M_{\mu \nu }^{ATS}\right]_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]},$ и предоставлено:

$\left[M_{\mu \nu }^{ATS}\right]_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}=\left[M_{\mu \nu }^{AT}\right]_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}{\mathbf {1} }^{S}+{\mathbf {1} }_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}\,\,\left[M_{\mu \nu }^{S}\right],$

$\mathbf {1} _{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}={\tfrac {1}{2}}\left(g_{\alpha \gamma }g_{\beta \delta }-g_{\alpha \delta }g_{\beta \gamma }\right),$

$M_{\mu \nu }^{S}={\tfrac {1}{2}}\sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{4}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }],$

где 1 _{[ αβ ][ γδ ]} обозначает единицу в этом пространстве, 1 ^С и М ^С _µν — соответствующий единичный оператор и элементы алгебры Лоренца в пространстве Дирака, а γ _µ — стандартные гамма-матрицы . Их ​ ​ ^В _{Генераторы μν} ] _{[ αβ ][ γδ ]} выражаются через генераторы в четырехвекторе,

$\left[M_{\mu \nu }^{V}\right]_{\alpha \beta }=i\left(g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu }-g_{\alpha \nu }g_{\beta \mu }\right),$

как

$\left[M_{\mu \nu }^{AT}\right]_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}=-2\cdot {\mathbf {1} _{[\alpha \beta ]}}^{[\kappa \sigma ]}{\left[M_{\mu \nu }^{V}\right]_{\sigma }}^{\rho }{\mathbf {1} }_{[\rho \kappa ][\gamma \delta ]}.$

Тогда явное выражение для инварианта Казимира C ⁽¹⁾ в ( 8B ) принимает вид,

$\left[C^{(1)}\right]_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}=-{\frac {1}{8}}\left(\sigma _{\alpha \beta }\sigma _{\gamma \delta }-\sigma _{\gamma \delta }\sigma _{\alpha \beta }-22\cdot \mathbf {1} _{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}\right),$

а проектор Лоренца на (3/2,0)⊕(0,3/2) определяется формулой:

$\left[P^{\left({\frac {3}{2}},0\right)}\right]_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}={\frac {1}{8}}\left(\sigma _{\alpha \beta }\sigma _{\gamma \delta }+\sigma _{\gamma \delta }\sigma _{\alpha \beta }\right)-{\frac {1}{12}}\sigma _{\alpha \beta }\sigma _{\gamma \delta }.$

Фактически, (3/2,0)⊕(0,3/2) степени свободы, обозначаемые

$\left[w_{\pm }^{\left({\frac {3}{2}},0\right)}\left({\mathbf {p} },{\tfrac {3}{2}},\lambda \right)\right]^{[\gamma \delta ]}$

оказываются решением следующего уравнения второго порядка:

$\left({\left[P^{\left({\frac {3}{2}},0\right)}\right]^{[\alpha \beta ]}}_{[\gamma \delta ]}p^{2}-m^{2}\cdot {{\mathbf {1} }^{[\alpha \beta ]}}_{[\gamma \delta ]}\right)\left[w_{\pm }^{\left({\frac {3}{2}},0\right)}\left({\mathbf {p} },{\tfrac {3}{2}},\lambda \right)\right]^{[\gamma \delta ]}=0.$

Выражения для решения можно найти в .

См. также

• Гамма-матрицы более высокой размерности
• Уравнения Баргмана – Вигнера , альтернативные уравнения, описывающие свободные частицы любого спина.
• Теория высшего спина

Ссылки

• В.В. Двоеглазов (1993). +1)-теории Йоса – Вайнберга «Лагранжева формулировка 2(2 j и ее связь с кососимметричным тензорным описанием». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 13 (4): 1650036. arXiv : hep-th/9305141 . Бибкод : 2016IJGMM..1350036D . дои : 10.1142/S0219887816500365 . S2CID   55918215 .