Орбитальная намагниченность

В квантовой механике орбитальная намагниченность , M _orb , относится к намагниченности, вызванной орбитальным движением заряженных частиц , обычно электронов в твердых телах . Термин «орбиталь» отличает его от вклада спиновых степеней свободы M _spin в общую намагниченность. Ненулевая орбитальная намагниченность требует нарушения симметрии обращения времени, которая может возникнуть спонтанно в ферромагнитных и ферримагнитных материалах или может быть индуцирована в немагнитном материале приложенным магнитным полем .

Определения

Орбитальный магнитный момент конечной системы, такой как молекула, классически определяется выражением

$\mathbf {m} _{\rm {orb}}={\frac {1}{2}}\int \mathbf {r} \times \mathbf {J} (\mathbf {r} )\ d^{3}\mathbf {r}$

где J ( r ) — плотность тока в точке r . (Здесь единицы СИ используются ; в гауссовских единицах вместо этого префактором будет 1/2 c , где c — скорость света .) В квантово-механическом контексте это также можно записать как

$\mathbf {m} _{\rm {orb}}={\frac {-e}{2m_{e}}}\langle \Psi \vert \mathbf {L} \vert \Psi \rangle$

где − e и m _e — заряд и масса электрона , основного состояния Ψ — волновая функция , а L — оператор углового момента . Полный магнитный момент

$\mathbf {m} =\mathbf {m} _{\rm {orb}}+\mathbf {m} _{\rm {spin}}$

где спиновый вклад по сути является квантовомеханическим и определяется выражением

$\mathbf {m} _{\rm {spin}}={\frac {-g_{s}\mu _{\rm {B}}}{\hbar }}\,\langle \Psi \vert \mathbf {S} \vert \Psi \rangle$

где g _s — g-фактор спина электрона , µ _B — магнетон Бора , ħ — приведенная постоянная Планка , а S электрона — оператор спина .

Орбитальная намагниченность M определяется как плотность орбитального момента; т. е. орбитальный момент на единицу объема. Для кристалла объёма V, состоящего из изолированных объектов (например, молекул), помеченных индексом j и имеющих магнитные моменты m _{orb, j} , это

$\mathbf {M} _{\rm {orb}}={\frac {1}{V}}\sum _{j\in V}\mathbf {m} _{{\rm {orb}},j}\;.$

Однако настоящие кристаллы состоят из атомных или молекулярных компонентов, облака зарядов которых перекрываются, поэтому приведенную выше формулу нельзя рассматривать как фундаментальное определение орбитальной намагниченности. Лишь недавно теоретические разработки привели к созданию правильной теории орбитальной намагниченности в кристаллах, как объясняется ниже.

Теория

Трудности определения орбитальной намагниченности

Для магнитного кристалла возникает соблазн попытаться определить

$\mathbf {M} _{\rm {orb}}={\frac {1}{2V}}\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {J} (\mathbf {r} )\ d^{3}\mathbf {r}$

где предел берется при увеличении объема V системы. Однако из-за множителя r в подынтегральном выражении в интеграл вносят вклад поверхностные токи, которыми нельзя пренебрегать, и в результате приведенное выше уравнение не приводит к общему определению орбитальной намагниченности.

Другой способ убедиться в наличии трудности — попытаться записать квантовомеханическое выражение для орбитальной намагниченности через занятые одночастичные функции Блоха | ψ _{n k} ⟩ зоны n и импульс кристалла k :

$\mathbf {M} _{\rm {orb}}={\frac {-e}{2m_{e}}}\sum _{n}\int _{\rm {BZ}}{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\,\langle \psi _{n\mathbf {k} }\vert \mathbf {r} \times \mathbf {p} \vert \psi _{n\mathbf {k} }\rangle \,d^{3}k\,,$

где p — оператор импульса , L = r × p , а интеграл вычисляется по зоне Бриллюэна (BZ). Однако, поскольку функции Блоха расширены, матричный элемент величины, содержащий оператор r , не определен, и эта формула фактически неопределенна.

Приближение атомной сферы

На практике орбитальная намагниченность часто вычисляется путем разложения пространства на непересекающиеся сферы с центрами на атомах (аналогично по духу приближению олова для кексов ), вычисления интеграла от r × J ( r ) внутри каждой сферы и суммирования вкладов. В этом приближении не учитывается вклад токов в межузельных областях между атомными сферами. Тем не менее, это часто является хорошим приближением, поскольку орбитальные токи, связанные с частично заполненными d- и f- оболочками, обычно сильно локализованы внутри этих атомных сфер. Однако это остается приблизительным подходом.

Современная теория орбитальной намагниченности

Общая и точная формулировка теории орбитальной намагниченности была разработана в середине 2000-х годов несколькими авторами, сначала на основе квазиклассического подхода: при выводе из представления Ванье тогда и, наконец, от длинноволнового расширения. Полученная формула для орбитальной намагниченности, адаптированная к нулевой температуре, имеет вид

$\mathbf {M} _{\rm {orb}}={\frac {e}{2\hbar }}\sum _{n}\int _{\rm {BZ}}{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\,f_{n\mathbf {k} }\;\operatorname {Im} \;\left\langle {\frac {\partial u_{n\mathbf {k} }}{\partial {\mathbf {k} }}}\right|\times \left(H_{\mathbf {k} }+E_{n\mathbf {k} }-2\mu \right)\left|{\frac {\partial u_{n\mathbf {k} }}{\partial {\mathbf {k} }}}\right\rangle \,d^{3}k\,,$

где f _{n k} равно 0 или 1 соответственно, когда энергия зоны k _{En падает} выше или ниже энергии Ферми μ ,

$H_{\mathbf {k} }=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }He^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$

— эффективный гамильтониан на волновом векторе k , а

$u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$

– клеточно-периодическая функция Блоха, удовлетворяющая

$H_{\mathbf {k} }\left|u_{n\mathbf {k} }\right\rangle =E_{n\mathbf {k} }\left|u_{n\mathbf {k} }\right\rangle \;.$

Также доступно обобщение на конечную температуру. что член, включающий энергию зоны En _{Обратите внимание , k} в этой формуле, на самом деле представляет собой просто интеграл от энергии зоны, умноженной на кривизну Берри . В литературе появились результаты, рассчитанные по приведенной выше формуле. Недавний обзор суммирует эти события.

Эксперименты

Орбитальную намагниченность материала можно точно определить, измеряя гиромагнитное отношение γ , т. е. соотношение между магнитным дипольным моментом тела и егоугловой момент. Гиромагнитное отношение связано со спиновой и орбитальной намагниченностью согласно закону

$\gamma =1+{\frac {M_{\mathrm {orb} }}{(M_{\mathrm {spin} }+M_{\mathrm {orb} })}}$

Два основных экспериментальных метода основаны либо на эффекте Барнетта , либо на эффекте Эйнштейна-де Хааса . Собраны экспериментальные данные для Fe, Co, Ni и их сплавов.