Орбитальное движение (квантовое)

Квантовое орбитальное движение включает в себя квантовомеханическое движение твердых частиц (таких как электроны ) вокруг какой-либо другой массы или вокруг себя. В классической механике орбитальное движение объекта характеризуется его орбитальным угловым моментом (угловым моментом вокруг оси вращения) и спиновым угловым моментом, который представляет собой угловой момент объекта относительно его собственного центра масс. В квантовой механике существуют аналогичные орбитальный и спиновый угловые моменты, описывающие орбитальное движение частицы, представленные не векторами, а квантовомеханическими операторами.

Парадокс принципа неопределенности Гейзенберга и волновая природа субатомных частиц делают невозможным точное движение частицы, которое можно представить с помощью классической механики. Орбита электрона вокруг ядра является ярким примером квантового орбитального движения. Хотя модель Бора описывает движение электрона как равномерное круговое движение, аналогичное классическому круговому движению, в действительности его положение в пространстве описывается функциями вероятности. Каждая функция вероятности имеет свой средний уровень энергии и соответствует вероятности нахождения электрона на определенной атомной орбитали , которая представляет собой функции, представляющие трехмерные области вокруг ядра. Описание орбитального движения как функции вероятности для волнообразных частиц, а не конкретных траекторий вращающихся тел, является существенным различием между квантовомеханическим и классическим орбитальным движением.

Орбитальный угловой момент

В квантовой механике положение электрона в пространстве представляется его пространственной волновой функцией и задается тремя переменными (как и в случае с декартовыми координатами x, y и z). электрона Квадрат волновой функции в данной точке пространства пропорционален вероятности найти его в этой точке, и каждая волновая функция связана с определенной энергией. Существуют ограниченные разрешенные волновые функции и, следовательно, ограниченные разрешенные энергии частиц в квантово-механической системе; волновые функции являются решениями уравнения Шрёдингера.

Для водородоподобных атомов пространственная волновая функция имеет следующее представление:

$\psi _{nlm}(r,\theta ,\phi )=R_{nl}(r)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$

Электроны не «вращаются» вокруг ядра в классическом смысле углового момента, однако существует квантовомеханический аналог математического представления L = r × p в классической механике. В квантовой механике эти векторы заменены операторами; оператор углового момента определяется как векторное произведение оператора положения и оператора импульса, который определяется как ${\hat {p}}=-i\hbar \nabla$ .

закон сохранения момента импульса . Как и в классической механике, здесь сохраняется ^[1]

Вращаться

Электрон считается точечным зарядом. ^[2] Движение этого заряда вокруг атомного ядра создает магнитный дипольный момент, который можно ориентировать во внешнем магнитном поле, как при магнитном резонансе . Классическим аналогом этого явления была бы заряженная частица, движущаяся по круговой петле, образующей магнитный диполь. Магнитный момент и угловой момент этой частицы были бы пропорциональны друг другу постоянной $\gamma _{0}$ , гиромагнитное отношение. Однако, в отличие от тел в классической механике, электрон обладает внутренним свойством, называемым спином, которое создает дополнительный (спиновый) магнитный момент .

Полный угловой момент частицы представляет собой сумму ее орбитального углового момента и спинового углового момента. ^[3]

Вращение частицы обычно представляется в терминах операторов спина . Оказывается, для частиц, составляющих обычную материю (протонов, нейтронов, электронов, кварков и т. д.), частицы имеют спин 1/2. ^[4] Для состояния со спином 1/2 существуют только два уровня энергии ( собственные векторы гамильтониана): спин «вверх», или +1/2, и спин «вниз», или -1/2.

Тем самым показывая, что неотъемлемое квантовое свойство квантования энергии является прямым результатом спина электрона.

Атомные орбитали

Используя формализмы волновой механики, разработанные физиком Эрвином Шредингером в 1926 году, распределение каждого электрона описывается трехмерной стоячей волной. Это было мотивировано работой математика XVIII века Адриана Лежандра.

Пространственное распределение электрона вокруг ядра представлено тремя квантовыми числами: $n,l$ и $m_{l}$ . Эти три числа описывают атомную орбиталь электрона, которая представляет собой область пространства, занимаемую электроном. Каждый набор этих чисел представляет собой основную оболочку с определенным количеством подоболочек, каждая из которых имеет определенное количество орбиталей. Грубо говоря, главное квантовое число $n$ описывает среднее расстояние электрона от ядра. Азимутальное квантовое число $l$ описывает относительную форму области пространства (орбитали), занимаемой электроном. Наконец, магнитное квантовое число $m_{l}$ описывает относительную ориентацию орбитали относительно приложенного магнитного поля. Допустимые значения $l$ и $m_{l}$ зависеть от стоимости $n$ .

Орбитальное движение электронов в атомах водорода

Простейшая физическая модель поведения электрона в атоме — электрон в водороде. Чтобы частица оставалась на орбите, она должна быть связана со своим центром вращения неким радиальным электрическим потенциалом. В этой системе электроны, вращающиеся вокруг атомного ядра, связаны с ядром посредством кулоновского потенциала , определяемого формулой $V(r)={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}$ . Классически энергия электрона, вращающегося вокруг ядра, определяется как сумма кинетической и потенциальной энергий. Модель Бора водородного атома представляет собой классическую модель равномерного кругового движения. Таким образом, его гамильтониан записывается так: $H_{Bohr}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}$ . Первый член представляет собой кинетическую энергию электрона (классически выраженную как ${\frac {p^{2}}{2m}}$ , где в квантовой механике мы заменили классический импульс $p$ с оператором импульса $p=-i\hbar \nabla$ . Второе слагаемое отвечает за кулоновский потенциал. Энергии модели Бора, которые являются собственными значениями гамильтониана Бора, имеют порядок $\alpha ^{2}mc^{2}$ , где $\alpha$ - безразмерная константа тонкой структуры, определяемая как $\alpha \equiv {\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}\approx {\frac {1}{137.036}}$ . (С $\alpha$ намного меньше 1, энергетические поправки с большим количеством коэффициентов $\alpha$ сдвиги порядка значительно меньшие).

Однако необходимо внести некоторые изменения в упрощенную модель Бора электрона в атоме водорода, чтобы учесть квантово-механические эффекты. Эти пересмотры движения электрона в атоме водорода являются одними из наиболее распространенных примеров квантовомеханического орбитального движения. Изменения упорядочены по порядку поправки к энергиям Бора от наибольшего к наименьшему:

Движение ядра (порядка $\alpha ^{4}mc^{2}$ )
Тонкая структура (порядка $\alpha ^{4}mc^{2}$ $\alpha ^{4}mc^{2}$ ) или эффект Зеемана в присутствии большого магнитного поля
1. Релятивистская поправка
2. Спин-орбитальная связь
Баранья смена (по заказу) $\alpha ^{5}mc^{2}$ ): Это связано с квантованием электрического поля
Сверхтонкое расщепление (порядка ${\frac {m}{m_{p}}}\alpha ^{4}mc^{2}$ )

Для каждой ревизии сначала переписывается гамильтониан, а затем с помощью теории возмущений рассчитываются сдвинутые уровни энергии .

Движение ядра

Ядро на самом деле не является совершенно стационарным в пространстве; Кулоновский потенциал притягивает его к электрону с силой, равной и противоположной силе воздействия на электрон. Однако ядро гораздо более массивно, чем вращающийся по орбите электрон, поэтому его ускорение по отношению к электрону очень мало по сравнению с ускорением электрона по отношению к нему, что позволяет моделировать его как также. Это объясняется заменой массы (m) в гамильтониан Бора с приведенной массой ( $\mu$ ) системы.

Тонкая структура

Релятивистская поправка: первый член гамильтониана представляет кинетическую энергию электрона в атоме. Однако оно происходит из классического выражения для кинетической энергии $T={\frac {p^{2}}{2m}}$ . Однако несмотря на то, что электрон движется с релятивистскими скоростями. Релятивистская кинетическая энергия определяется как разница между полной кинетической энергией электрона и его энергией покоя: $T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}-mc^{2}$ . Выражая T через релятивистский импульс электрона и разложение Тейлора по степеням малого числа ${\frac {p}{mc}}$ , дает новое выражение для кинетической энергии, которое сводится к классическому члену первого порядка: $T={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}+...$ . Введя поправку низшего порядка к гамильтониану как $H_{r}^{\prime }=-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}$ . В невырожденной теории возмущений поправка первого порядка к уровням энергии задается математическим ожиданием $H^{\prime }$ в невозмущенном состоянии. $E_{r}^{1}=\langle \psi |H_{r}^{\prime }|\psi \rangle$ , а для невозмущенных состояний уравнение Шрёдингера имеет вид $p^{2}\psi =2m(E-v)\psi$ . Если сложить все это вместе, поправка на энергию составит $E_{r}^{1}=-{\frac {1}{2mc^{2}}}[E^{2}-2E\langle V\rangle +\langle V^{2}\rangle ]$ . Подставляя в кулоновский потенциал и упрощая, получаем $E_{r}^{1}=-{\frac {(E_{n})^{2}}{2mc^{2}}}\lbrack {\frac {4n}{l+1/2}}-3\rbrack$ .
Спин-орбитальная связь: каждый электрон со спином 1/2 ведет себя как магнитный момент; наличие магнитного поля создает крутящий момент, который стремится выровнять его магнитный момент $\mu$ с направлением поля. В системе отсчета электрона вокруг него вращается протон; этот вращающийся положительный заряд создает магнитное поле B в своей системе отсчета. Релятивистские расчеты дают магнитный момент электрона как ${\vec {\mu }}_{e}=-{\frac {e}{m}}{\vec {S}}$ , где S — спин электрона. Гамильтониан магнитного момента имеет вид $H=-{\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}}$ Магнитное поле протона можно получить из закона Био-Савара, изображающего протон как непрерывную токовую петлю с точки зрения электрона: ${\vec {B}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e}{mc^{2}r^{3}}}{\vec {L}}$ . С дополнительным коэффициентом 1/2 для учета прецессии Томаса , которая объясняет тот факт, что система отсчета электрона неинерциальна, гамильтониан имеет вид $H_{so}^{\prime }=({\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}}}){\frac {1}{m^{2}c^{2}r^{3}}}{\vec {S}}\cdot {\vec {L}}$ . После некоторых вычислений собственных значений ${\vec {S}}\cdot {\vec {L}}$ , энергетические уровни оказываются $E_{so}^{1}={\frac {(E_{n})^{2}}{mc^{2}}}{\frac {n[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{l(l+1/2)(l+1)}}$ .

После учета всей тонкой структуры энергетические уровни атома водорода обозначаются как: $E_{so}^{1}={\frac {13.6{\text{eV}}}{n^{2}}}[1+{\frac {\alpha ^{2}}{n^{2}}}({\frac {n}{j+1/2}}-{\frac {3}{4}})\rbrack$

Эффект Зеемана

Когда атом помещается во внешнее однородное магнитное поле B , уровни энергии смещаются. Это явление смещает гамильтониан на множитель $H_{z}^{\prime }={\frac {e}{2m}}({\vec {L}}+2{\vec {S}})\cdot {\vec {B}}_{ext}$ , где L — угловой момент электрона, а S — его спин.

В присутствии слабого магнитного поля тонкая структура доминирует, и член зеемановского гамильтониана рассматривается как возмущение невозмущенного гамильтониана, который представляет собой сумму гамильтонианов Бора и тонкой структуры. Установлено, что зеемановские поправки к энергии равны $E_{z}^{1}=\mu _{B}g_{J}B_{ext}m_{j}$ , где $\mu _{B}\equiv {\frac {e\hbar }{2m}}=5.788\times 10^{-}5eV/T$ , – магнетон Бора .

В сильном магнитном поле преобладает эффект Зеемана и невозмущенный гамильтониан принимается равным $H_{Bohr}+H_{Z}^{\prime }$ , с поправкой $H_{fs}^{\prime }$ . Скорректированные уровни энергии обозначаются как: $E_{fs}^{1}={\frac {13.6{\text{eV}}}{n^{3}}}\alpha ^{2}\lbrack {\frac {3}{4n}}-({\frac {l(l+1)-m_{l}m_{s}}{l(l+1/2)(l+1)}})\rbrack$ .

Сверхтонкое расщепление

Протон также представляет собой слабый магнитный диполь, и сверхтонкое расщепление описывает эффект, обусловленный взаимодействием магнитных дипольных моментов электрона и протона. Этот эффект приводит к сдвигам энергетических уровней. $E_{hf}^{1}={\frac {\mu _{0}g_{p}e^{2}}{3\pi m_{p}m_{e}a^{3}}}\langle {\vec {S}}_{p}\cdot {\vec {S}}_{e}\rangle$ . Это называется спин-спиновым взаимодействием, потому что оно включает скалярное произведение спинов электрона и протона.

Приложения

Эффект Эйнштейна-де Гааса описывает явления, при которых изменение этого магнитного момента заставляет электрон вращаться. Точно так же эффект Барнетта описывает намагниченность электрона, возникающую в результате вращения вокруг своей оси. Оба этих эффекта демонстрируют тесную связь между классическим и квантовомеханическим орбитальным движением.

См. также

Ссылки

^ Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (второе изд.). Образование Пирсона . п. 179. ИСБН 978-81-7758-230-7 .
^ Кертис, LJ (2003). Атомная структура и время жизни: концептуальный подход . Издательство Кембриджского университета . п. 74. ИСБН 0-521-53635-9 .
^ Раджна, Джордж. «Сверхбыстрое квантовое движение» – через www.academia.edu. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
^ Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (второе изд.). Образование Пирсона . п. 185. ИСБН 978-81-7758-230-7 .

Внешние ссылки

[griffiths179-1] Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (второе изд.). Образование Пирсона . п. 179. ИСБН 978-81-7758-230-7 .

[curtis74-2] Кертис, LJ (2003). Атомная структура и время жизни: концептуальный подход . Издательство Кембриджского университета . п. 74. ИСБН 0-521-53635-9 .

[3] Раджна, Джордж. «Сверхбыстрое квантовое движение» – через www.academia.edu. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )

[griffiths185-4] Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (второе изд.). Образование Пирсона . п. 185. ИСБН 978-81-7758-230-7 .

[1]

[2]

[3]

[4]