Муфта углового момента

В механике квантовой связь углового момента — это процедура построения собственных состояний полного углового момента из собственных состояний отдельных угловых моментов. Например, орбита и спин одной частицы могут взаимодействовать посредством спин-орбитального взаимодействия , и в этом случае полная физическая картина должна включать спин-орбитальное взаимодействие. Или две заряженные частицы, каждая с четко определенным угловым моментом, могут взаимодействовать кулоновскими силами , и в этом случае соединение двух одночастичных угловых моментов с полным угловым моментом является полезным шагом в решении двухчастичной задачи Шредингера. уравнение .В обоих случаях отдельные угловые моменты больше не являются константами движения , но сумма двух угловых моментов обычно все еще остается константой. Связь по угловому моменту в атомах имеет важное значение в атомной спектроскопии . Взаимодействие электронных спинов по угловому моменту имеет важное значение в квантовой химии . Также в модели ядерной оболочки повсеместно присутствует связь по угловому моменту. ^[1]^[2]

В астрономии спин- орбитальная связь отражает общий закон сохранения углового момента , который справедлив и для небесных систем. В простых случаях направлением углового момента вектора пренебрегают, а спин-орбитальная связь представляет собой отношение частоты, с которой планета или другое небесное тело вращается вокруг своей оси, к частоте, с которой оно вращается вокруг другого тела. Это более широко известно как орбитальный резонанс . Часто в основе физических эффектов лежат приливные силы .

и подробное происхождение Общая теория

углового момента Сохранение

Сохранение углового момента — это принцип, согласно которому полный угловой момент системы имеет постоянную величину и направление, если система не подвергается внешнему крутящему моменту . Угловой момент — это свойство физической системы, которое является константой движения (также называемой сохраняющимся свойством, независимым от времени и четко определенным) в двух ситуациях: ^{[ нужна ссылка ]}

Система находится в сферически-симметричном потенциальном поле.
Система движется (в квантовомеханическом смысле) в изотропном пространстве.

В обоих случаях оператор момента импульса коммутирует с гамильтонианом системы. Гейзенберга Согласно соотношению неопределенности это означает, что угловой момент и энергия (собственное значение гамильтониана) могут быть измерены одновременно.

Примером первой ситуации является атом, электроны которого испытывают только кулоновскую силу атомного ядра . Если мы пренебрегаем электрон-электронным взаимодействием (и другими малыми взаимодействиями, такими как спин-орбитальное взаимодействие ), орбитальный угловой момент $l$ каждого электрона коммутирует с полным гамильтонианом. В этой модели атомный гамильтониан представляет собой сумму кинетических энергий электронов и сферически-симметричных электрон-ядерных взаимодействий. Угловые моменты отдельных электронов $l i$ коммутируют с этим гамильтонианом. То есть это сохраняющиеся свойства этой приближенной модели атома.

Примером второй ситуации является жесткий ротор, движущийся в свободном от поля пространстве. Жесткий ротор имеет четко определенный, не зависящий от времени угловой момент. ^{[ нужна ссылка ]}

Эти две ситуации берут начало в классической механике. Третий вид сохраняющегося углового момента, связанный со спином , не имеет классического аналога. Однако все правила связи углового момента применимы и к вращению.

В общем, сохранение углового момента подразумевает полную вращательную симметрию. (описываемые группами SO(3) и SU(2) ) и, наоборот, сферическая симметрия предполагает сохранение углового момента. Если две или более физические системы имеют сохраняющиеся угловые моменты, может быть полезно объединить эти моменты в общий угловой момент объединенной системы — сохраняющееся свойство всей системы. Построение собственных состояний полного сохраняющегося углового момента из собственных состояний углового момента отдельных подсистем называется связью углового момента .

Применение связи по угловому моменту полезно, когда существует взаимодействие между подсистемами, которые без взаимодействия сохраняли бы угловой момент. В результате самого взаимодействия сферическая симметрия подсистем нарушается, но момент импульса всей системы остается константой движения. Использование последнего факта полезно при решении уравнения Шрёдингера.

Примеры [ править ]

В качестве примера мы рассмотрим два электрона в атоме (скажем, атоме гелия ), помеченном $i$ = 1 и 2. Если нет электрон-электронного взаимодействия, а есть только электрон-ядерное взаимодействие, то два электрона можно вращать вокруг ядра независимо друг от друга; с их энергией ничего не происходит. Ожидаемые значения обоих операторов, $l$ ₁ и $l$ ₂ , сохраняются.Однако если включить электрон-электронное взаимодействие, зависящее от расстояния $d$ (1,2) между электронами, то только одновременныйи равное вращение двух электронов оставит $d$ (1,2) инвариантным. В таком случае математическое ожидание ни того, ни другого $l$ ₁ и $l$ ₂ не являются константой движения в целом, но математическое ожидание оператора полного орбитального углового момента $L$ = $l$ ₁ + $l$ ₂является. Учитывая собственные состояния $l$ ₁ и $l$ ₂ , конструкция собственных состояний $L$ (которая все еще сохраняется) представляет собой связь угловых моментов электронов 1 и 2.

полного орбитального углового момента $Квантовое число L$ ограничено целыми значениями и должно удовлетворять треугольному условию, которое $|l_{1}-l_{2}|\leq L\leq l_{1}+l_{2}$ , так что три неотрицательных целых значения могут соответствовать трем сторонам треугольника. ^[3]

В квантовой механике связь также существует между угловыми моментами, принадлежащими различным гильбертовым пространствам одного объекта, например, его спином и орбитальным угловым моментом . Если спин имеет полуцелые значения, например 1/2 плюс спин) угловой момент также для электрона, то полный ( орбитальный будет ограничен полуцелыми значениями.

Повторяя сказанное выше несколько иначе: квантовые состояния составных систем (т. е. состоящих из субъединиц, таких как два атома водорода или два электрона ) расширяются в базисные наборы , которые состоят из тензорных произведений квантовых состояний , которые, в свою очередь, описывают подсистемы индивидуально. Мы предполагаем, что состояния подсистем можно выбрать как собственные состояния их операторов момента количества движения (и их компонент вдоль любой произвольной $оси z$ ).

Таким образом, подсистемы правильно описываются парой $ℓ$ , $m$ квантовых чисел ( см. В угловом моменте подробнее ). При взаимодействии между подсистемами полный гамильтониан содержит члены, которые не коммутируют с угловыми операторами, действующими только на подсистемы. Однако эти члены коммутируют с оператором полного углового момента. Иногда члены некоммутирующего взаимодействия в гамильтониане называют членами связи по угловому моменту , потому что они обуславливают необходимость связи по угловому моменту.

Спин-орбитальная связь [ править ]

Поведение атомов и более мелких частиц хорошо описывается теорией квантовой механики , в которой каждая частица имеет собственный угловой момент, называемый спином , а конкретные конфигурации (например, электронов в атоме) описываются набором квантовых чисел . Совокупности частиц также обладают угловыми моментами и соответствующими квантовыми числами, и при разных обстоятельствах угловые моменты частей соединяются по-разному, образуя угловой момент целого. Связь углового момента — это категория, включающая некоторые способы взаимодействия субатомных частиц друг с другом.

В атомной физике спин -орбитальная связь , также известная как спин-спаривание , описывает слабое магнитное взаимодействие или связь частицы спина и орбитального движения этой частицы, например спина электрона и его движения вокруг атомного ядра . Одним из его эффектов является разделение энергии внутренних состояний атома, например, ориентированного по спину и антиориентированного по спину, которые в противном случае были бы идентичны по энергии. Это взаимодействие отвечает за многие детали атомной структуры.

В физике твердого тела связь спина с орбитальным движением может привести к расщеплению энергетических зон из-за эффектов Дрессельхауса или Рашбы .

В макроскопическом мире орбитальной механики термин спин-орбитальная связь иногда используется в том же смысле, что и спин-орбитальный резонанс .

LS-муфта [ править ]

В легких атомах (обычно Z ≤ 30 ^[4]), спины электронов s _i взаимодействуют между собой, образуя общий спиновый угловой момент S . То же самое происходит с орбитальными угловыми моментами ℓ _i , образующими полный орбитальный угловой момент L . Взаимодействие между квантовыми числами L и S называется связью Рассела-Сондерса (в честь Генри Норриса Рассела и Фредерика Сондерса ) или LS-связью . Затем S и L соединяются вместе и образуют полный угловой момент J : ^[5]^[6]

\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} ,\,

где L и S — суммы:

\mathbf {L} =\sum _{i}{\boldsymbol {\ell }}_{i},\ \mathbf {S} =\sum _{i}\mathbf {s} _{i}.\,

Это приближение хорошо, пока любые внешние магнитные поля слабы. В более сильных магнитных полях эти два импульса разделяются, что приводит к другой схеме расщепления энергетических уровней ( эффект Пашена-Бака ), и размер члена связи LS становится малым. ^[7]

Подробный пример практического применения LS-связи см. в статье о терминологических символах .

jj муфта [ править ]

В более тяжелых атомах ситуация иная. В атомах с большими ядерными зарядами спин-орбитальные взаимодействия часто такие же или большие, как спин-спиновые взаимодействия или орбитально-орбитальные взаимодействия. В этой ситуации каждый орбитальный угловой момент ℓ _i имеет тенденцию объединяться с соответствующим отдельным спиновым угловым моментом s _i , создавая индивидуальный полный угловой момент j _i . Затем они соединяются, образуя полный угловой момент J

\mathbf {J} =\sum _{i}\mathbf {j} _{i}=\sum _{i}({\boldsymbol {\ell }}_{i}+\mathbf {s} _{i}).

Такое описание, облегчающее расчет такого рода взаимодействия, известно как jj-связь .

Спин-спиновая связь [ править ]

Спин-спиновая связь — это связь собственных угловых моментов ( спинов ) разных частиц. J-связь между парами ядерных спинов является важной особенностью спектроскопии ядерного магнитного резонанса (ЯМР), поскольку она можетпредоставляют подробную информацию о строении и конформации молекул. Спин-спиновая связь между ядерным спином и электронным спином отвечает за сверхтонкую структуру атомных спектров . ^[8]

Символы терминов [ править ]

Символы терминов используются для обозначения состояний и спектральных переходов атомов. Они находятся в результате взаимодействия упомянутых выше угловых моментов. Когда состояние атома указано с помощью термина-символа, разрешенные переходы можно найти с помощью правил отбора, рассматривая, какие переходы сохранят угловой момент . Фотон . имеет спин 1, и когда происходит переход с испусканием или поглощением фотона, атому необходимо будет изменить состояние, чтобы сохранить угловой момент Правила выбора термина-символа: $Δ S$ = 0; $Δ L$ = 0, ±1; $Δ l$ = ± 1; $Δ J$ = 0, ±1 .

Выражение «терм-символ» происходит от «термин-ряда», связанного с ридберговскими состояниями атома и их энергетическими уровнями . В формуле Ридберга частота или волновое число света, излучаемого водородоподобным атомом, пропорциональна разнице между двумя членами перехода. Ряды, известные ранней спектроскопии, обозначались острыми , главными , диффузными и фундаментальными , и, следовательно, буквы $S, P, D$ и $F$ использовались для обозначения состояний орбитального углового момента атома. ^[9]

эффекты Релятивистские

В очень тяжелых атомах релятивистский сдвиг энергий энергетических уровней электронов усиливает эффект спин-орбитального взаимодействия. Так, например, диаграммы молекулярных орбиталей урана должны напрямую включать релятивистские символы при рассмотрении взаимодействий с другими атомами. ^{[ нужна ссылка ]}

Ядерная связь [ править ]

В атомных ядрах спин-орбитальное взаимодействие гораздо сильнее, чем для атомных электронов, и включено непосредственно в модель ядерной оболочки. Кроме того, в отличие от атомно-электронных терминов, состояние с самой низкой энергией - это не $L - S$ , а $ℓ + s$ . Таким образом, все ядерные уровни, $значение ℓ$ (орбитальный угловой момент) которых больше нуля, разделяются в модели оболочки для создания состояний, обозначаемых $ℓ + s$ и $ℓ - s$ . Из-за характера модели оболочки , которая предполагает средний потенциал, а не центральный кулоновский потенциал, нуклоны, которые переходят в $ядерные состояния ℓ + s$ и $ℓ - s,$ считаются вырожденными внутри каждой орбитали (например, 2 $p$ 3/2 содержит четыре нуклона одинаковой энергии. Более высокую энергию имеет 2 $p$ 1/2 , который содержит два нуклона одинаковой энергии).

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Р. Резник, Р. Айсберг (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-87373-0 .
^ П. В. Аткинс (1974). Кванта: Справочник концепций . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-855493-1 .
^ Мерцбахер, Ойген (1998). Квантовая механика (3-е изд.). Джон Уайли. стр. 428–429. ISBN 0-471-88702-1 .
^ Схема соединения Рассела Сондерса, Р. Дж. Ланкашир, UCDavis ChemWiki (по состоянию на 26 декабря 2015 г.)
^ Р. Резник, Р. Айсберг (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 281 . ISBN 978-0-471-87373-0 .
^ Б. Х. Брансден, К. Дж. Джоахейн (1983). Физика атомов и молекул . Лонгман. стр. 339–341 . ISBN 0-582-44401-2 .
^ Р. Резник, Р. Айсберг (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-87373-0 .
^ П. В. Аткинс (1974). Кванта: Справочник концепций . Издательство Оксфордского университета. п. 226. ИСБН 0-19-855493-1 .
^ Герцберг, Герхард (1945). Атомные спектры и атомная структура . Нью-Йорк: Дувр. стр. 54–55 . ISBN 0-486-60115-3 .

Внешние ссылки [ править ]

[1] Р. Резник, Р. Айсберг (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-87373-0 .

[2] П. В. Аткинс (1974). Кванта: Справочник концепций . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-855493-1 .

[3] Мерцбахер, Ойген (1998). Квантовая механика (3-е изд.). Джон Уайли. стр. 428–429. ISBN 0-471-88702-1 .

[4] Схема соединения Рассела Сондерса, Р. Дж. Ланкашир, UCDavis ChemWiki (по состоянию на 26 декабря 2015 г.)

[5] Р. Резник, Р. Айсберг (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 281 . ISBN 978-0-471-87373-0 .

[6] Б. Х. Брансден, К. Дж. Джоахейн (1983). Физика атомов и молекул . Лонгман. стр. 339–341 . ISBN 0-582-44401-2 .

[7] Р. Резник, Р. Айсберг (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-87373-0 .

[8] П. В. Аткинс (1974). Кванта: Справочник концепций . Издательство Оксфордского университета. п. 226. ИСБН 0-19-855493-1 .

[9] Герцберг, Герхард (1945). Атомные спектры и атомная структура . Нью-Йорк: Дувр. стр. 54–55 . ISBN 0-486-60115-3 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]