Сферическая основа

«Сферический тензор» перенаправляется сюда. Понятие, связанное с операторами, см. в разделе «Тензорный оператор» .

В чистой и прикладной математике , особенно в квантовой механике , компьютерной графике и их приложениях, сферический базис — это базис , используемый для выражения сферических тензоров . Сферический базис тесно связан с описанием углового момента в квантовой механике и сферических гармонических функций.

В то время как сферические полярные координаты представляют собой одну ортогональную систему координат для выражения векторов и тензоров с использованием полярных и азимутальных углов и радиального расстояния, сферический базис строится на основе стандартного базиса и использует комплексные числа .

В трёх измерениях

Вектор A в трехмерном евклидовом пространстве R ³ может быть выражено в знакомой декартовой системе координат в стандартном базисе e _x , e _y , e _z и координатах A _x , A _y , A _z :

$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {e} _{x}+A_{y}\mathbf {e} _{y}+A_{z}\mathbf {e} _{z}$ ( 1 )

или любую другую систему координат со связанным базисным набором векторов. Отсюда расширяются скаляры, позволяющие умножать на комплексные числа, так что теперь мы работаем в $\mathbb {C} ^{3}$ скорее, чем $\mathbb {R} ^{3}$.

Определение основы

В сферических основаниях, обозначенных e ₊ , e ₋ , e ₀ , и связанных с ним координатах, обозначенных A ₊ , A ₋ , A ₀ , вектор A равен:

$\mathbf {A} =A_{+}\mathbf {e} _{+}+A_{-}\mathbf {e} _{-}+A_{0}\mathbf {e} _{0}$ ( 2 )

где сферические базисные векторы могут быть определены в терминах декартова базиса с использованием комплексных коэффициентов в плоскости xy :

${\begin{aligned}\mathbf {e} _{+}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{x}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{-}&=+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{x}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{y}\\\end{aligned}}\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {e} _{\pm }=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\mathbf {e} _{x}\pm i\mathbf {e} _{y}\right)\,$ ( 3А )

в котором $i$ обозначает мнимую единицу и единицу, нормальную к плоскости в направлении z :

$\mathbf {e} _{0}=\mathbf {e} _{z}$

Обратные отношения:

${\begin{aligned}\mathbf {e} _{x}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{+}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e_{-}} \\\mathbf {e} _{y}&=+{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{+}+{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e_{-}} \\\mathbf {e} _{z}&=\mathbf {e} _{0}\end{aligned}}$ ( 3Б )

Определение коммутатора

Хотя определение базиса в трехмерном пространстве является допустимым определением сферического тензора, оно охватывает только случай, когда ранг $k$равно 1. Для более высоких рангов можно использовать либо коммутатор, либо определение вращения сферического тензора. Определение коммутатора приведено ниже, любой оператор $T_{q}^{(k)}$ который удовлетворяет следующим соотношениям, является сферическим тензором:

$$[J_{\pm },T_{q}^{(k)}]=\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}T_{q\pm 1}^{(k)}$$

$$[J_{z},T_{q}^{(k)}]=\hbar qT_{q}^{(k)}$$

Определение вращения

Аналогично тому, как преобразуются сферические гармоники при вращении, общий сферический тензор преобразуется следующим образом, когда состояния преобразуются под действием унитарной D-матрицы Вигнера ${\mathcal {D}}(R)$, где R — элемент группы (вращение 3×3) в SO(3) . То есть эти матрицы представляют элементы группы вращения. С помощью ее алгебры Ли можно показать, что эти два определения эквивалентны.

${\mathcal {D}}(R)T_{q}^{(k)}{\mathcal {D}}^{\dagger }(R)=\sum _{q'=-k}^{k}T_{q'}^{(k)}{\mathcal {D}}_{q'q}^{(k)}$

Смотрите также: D-матрица Вигнера

Векторы координат

Основная статья: Вектор координат

Для сферического базиса координаты представляют собой комплексные числа A ₊ , A ₀ , A ₋ и могут быть найдены путем подстановки ( 3B ) в ( 1 ) или непосредственно вычислены из скалярного произведения ⟨, ⟩ ( 5 ):

${\begin{aligned}A_{+}&=\left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {e} _{+}\right\rangle =-{\frac {A_{x}}{\sqrt {2}}}+{\frac {iA_{y}}{\sqrt {2}}}\\A_{-}&=\left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {e} _{-}\right\rangle =+{\frac {A_{x}}{\sqrt {2}}}+{\frac {iA_{y}}{\sqrt {2}}}\\\end{aligned}}\quad \rightleftharpoons \quad A_{\pm }=\left\langle \mathbf {e} _{\pm },\mathbf {A} \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\mp A_{x}+iA_{y}\right)$ ( 4А )

$A_{0}=\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {A} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{z},\mathbf {A} \right\rangle =A_{z}$

с обратными соотношениями:

${\begin{aligned}A_{x}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}A_{+}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}A_{-}\\A_{y}&=-{\frac {i}{\sqrt {2}}}A_{+}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}A_{-}\\A_{z}&=A_{0}\end{aligned}}$ ( 4Б )

В общем, для двух векторов с комплексными коэффициентами в одном вещественном ортонормированном базисе e _i со свойством e _i · e _j = δ _ij внутренний продукт равен:

$\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\star }=\sum _{j}a_{j}b_{j}^{\star }$ ( 5 )

где · — обычное скалярное произведение , а комплексно-сопряженное число * необходимо использовать, чтобы сохранить величину (или «норму») вектора положительно определенной .

Свойства (трехмерные)

Ортонормальность

Сферический базис является ортонормированным базисом , поскольку скалярное произведение ⟨, ⟩ ( 5 ) каждой пары обращается в нуль, что означает, что все базисные векторы взаимно ортогональны :

$\left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =0$

и каждый базисный вектор является единичным вектором :

$\left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =1$

следовательно, необходимы нормирующие коэффициенты $1/\!{\sqrt {2}}$.

Изменение базовой матрицы

См. также: изменение основы

Определяющие соотношения ( 3А ) можно суммировать с помощью матрицы преобразования U :

${\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,$

с обратным:

${\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{-1}{\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.$

Видно, что U — унитарная матрица , другими словами, ее эрмитово сопряженное U ^† ( комплексно-сопряженная и транспонированная матрица ) также является обратной матрицей U ⁻¹ .

По координатам:

${\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{\mathrm {*} }{\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{\mathrm {*} }={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,$

и обратное:

${\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}=(\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}{\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}\,,\quad (\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.$

Перекрестные произведения

Взяв векторные произведения сферических базисных векторов, мы находим очевидное соотношение:

$\mathbf {e} _{q}\times \mathbf {e} _{q}={\boldsymbol {0}}$

где q — заполнитель для +, −, 0 и двух менее очевидных отношений:

$\mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{\mp }=\pm i\mathbf {e} _{0}$

$\mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{0}=\pm i\mathbf {e} _{\pm }$

Внутренний продукт в сферическом базисе

Внутренний продукт между двумя векторами A и B в сферическом базисе следует из приведенного выше определения внутреннего продукта:

$\left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \right\rangle =A_{+}B_{+}^{\star }+A_{-}B_{-}^{\star }+A_{0}B_{0}^{\star }$

См. также

• Теорема Вигнера – Эккарта
• Матрица Вигнера D
• Группа 3D-вращения

Ссылки

Общие

• ССМ Вонг (2008). Вводная ядерная физика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-35-276-179-13 .