Орбитальный угловой момент свободных электронов

Фаза (цвет) и амплитуда (яркость) волновых функций электронов с несколькими значениями орбитального углового момента квантового числа $m$ и профиль амплитуды Лагерра-Гаусса . $\ell =+1$ (вверху слева), $\ell =-1$ (вверху справа), $\ell =0$ (внизу слева) — все собственные состояния оператора орбитального углового момента , а суперпозиция $\ell =+1$ и $\ell =-1$ (внизу справа) нет. Обе верхние волновые функции имеют $\langle L_{z}\rangle \neq 0$, а нижние волновые функции имеют $\langle L_{z}\rangle =0$.

Электроны в свободном пространстве могут нести квантованный орбитальный угловой момент (ОУМ), спроецированный вдоль направления распространения. Этот орбитальный угловой момент соответствует винтовым волновым фронтам или, что то же самое, фазе , пропорциональной азимутальному углу. Электронные пучки с квантованным орбитальным угловым моментом также называют электронными вихревыми пучками .

Теория

Электрон в свободном пространстве, движущийся с нерелятивистской скоростью , подчиняется уравнению Шредингера для свободной частицы , то есть $$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t),$$ где ${\textstyle \hbar }$ – приведенная постоянная Планка , ${\textstyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$ – одноэлектронная волновая функция , ${\textstyle m}$ его масса, ${\textstyle \mathbf {r} }$ вектор положения и ${\textstyle t}$ это время. Это уравнение представляет собой тип волнового уравнения и, если оно записано в декартовой системе координат ( ${\textstyle x}$, ${\textstyle y}$, ${\textstyle z}$), решения даются линейной комбинацией плоских волн в виде $$\Psi _{\mathbf {p} }(\mathbf {r} ,t)\propto e^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -E(\mathbf {p} )t)/\hbar }$$ где ${\textstyle \mathbf {p} }$ - линейный импульс и ${\textstyle E(\mathbf {p} )}$ - энергия электрона, определяемая обычным дисперсионным уравнением ${\textstyle E(\mathbf {p} )={\frac {p^{2}}{2m}}}$. Измерив импульс электрона, его волновая функция должна схлопнуться и дать определенное значение. Если энергия электронного пучка выбрана заранее, то полный импульс (а не его направленные составляющие) электронов фиксируется с определенной степенью точности. Если уравнение Шредингера записано в цилиндрической системе координат ( ${\textstyle \rho }$, ${\textstyle \theta }$, ${\textstyle z}$), решения больше не являются плоскими волнами, а даются лучами Бесселя , решения, представляющие собой линейную комбинацию $$\Psi _{p_{\rho },\,p_{z},\,\ell }(\rho ,\theta ,z)\propto J_{|\ell |}\left({\frac {p_{\rho }\rho }{\hbar }}\right)e^{i(p_{z}z-Et)/\hbar }e^{i\ell \theta },$$ то есть произведение трех типов функций: плоская волна с импульсом ${\textstyle p_{z}}$ в ${\textstyle z}$-направление — радиальная составляющая, записанная как функция Бесселя первого рода. ${\textstyle J_{|\ell |}}$, где ${\textstyle p_{\rho }}$ - линейный импульс в радиальном направлении и, наконец, азимутальная составляющая, записанная как ${\textstyle e^{i\ell \theta }}$ где ${\textstyle \ell }$ (иногда пишется ${\textstyle m_{z}}$) — магнитное квантовое число, связанное с угловым моментом ${\textstyle L_{z}}$ в ${\textstyle z}$-направление. Таким образом, дисперсионное соотношение имеет вид ${\textstyle E=(p_{z}^{2}+p_{\rho }^{2})/2m}$. Согласно азимутальной симметрии волновая функция обладает свойством, что ${\textstyle \ell =0,\pm 1,\pm 2,\cdots }$ обязательно является целым числом , поэтому ${\textstyle L_{z}=\hbar \ell }$ квантовано. Если измерение ${\textstyle L_{z}}$ осуществляется на электроне с выбранной энергией, так как ${\textstyle E}$ не зависит от ${\textstyle \ell }$, он может дать любое целочисленное значение. Можно экспериментально подготовить состояния с ненулевыми ${\textstyle \ell }$ путем добавления азимутальной фазы к исходному состоянию с ${\textstyle \ell =0}$; Экспериментальные методы, предназначенные для измерения орбитального углового момента одиночного электрона, находятся в стадии разработки. Одновременное измерение энергии электрона и орбитального углового момента допускается, поскольку гамильтониан коммутирует с оператором углового момента, связанным с ${\textstyle L_{z}}$.

Обратите внимание, что приведенные выше уравнения следуют для любой свободной квантовой частицы с массой, не обязательно для электронов. Квантование $L_{z}$ можно также показать в сферической системе координат , где волновая функция сводится к произведению сферических функций Бесселя и сферических гармоник .

Подготовка

Существует множество методов подготовки электрона в состоянии орбитального углового момента. Все методы предполагают взаимодействие с оптическим элементом , при котором электрон приобретает азимутальную фазу. Оптический элемент может быть материальным, магнитостатический, или электростатический. Можно либо напрямую отпечатать азимутальную фазу, либо отпечатать азимутальную фазу с помощью голографической дифракционной решетки, где рисунок решетки определяется интерференцией азимутальной фазы и плоской или сферический несущая волна.

Приложения

Электронные вихревые пучки имеют множество предлагаемых и продемонстрированных применений, в том числе для картирования намагниченности . изучение хиральных молекул и хиральных плазмонных резонансов, и идентификация кристаллической хиральности.

Измерение

Интерферометрические методы, заимствованные из световой оптики, позволяют также определять орбитальный момент свободных электронов в чистых состояниях. Интерференция с плоской опорной волной, дифракционная фильтрация и самоинтерференция может служить для характеристики подготовленного состояния орбитального момента электрона. Для измерения орбитального углового момента суперпозиции или смешанного состояния, возникающего в результате взаимодействия с атомом или материалом, необходим неинтерферометрический метод. Сглаживание волнового фронта, преобразование состояния орбитального углового момента в плоскую волну, или цилиндрически-симметричное измерение типа Штерна-Герлаха необходимо для измерения орбитального углового момента в смешанном или суперпозиционном состоянии.

См. также

• Волна материи