Теорема единственности уравнения Пуассона

Теорема единственности уравнения Пуассона гласит, что для большого класса граничных условий уравнение может иметь много решений, но градиент каждого решения один и тот же. В случае электростатики это означает, что существует уникальное электрическое поле , полученное из потенциальной функции, удовлетворяющей уравнению Пуассона при граничных условиях.

Доказательство

Общее выражение уравнения Пуассона в электростатике имеет вид

\mathbf {\nabla } ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\epsilon _{0}}},

где $\varphi$ электрический потенциал и $\rho _{f}$ это распределение заряда по некоторой области $V$ с граничной поверхностью $S$ .

Единственность решения можно доказать для широкого класса граничных условий следующим образом.

Предположим, что мы утверждаем, что имеем два решения уравнения Пуассона. Назовем эти два решения $\varphi _{1}$ и $\varphi _{2}$ . Затем

\mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{1}=-{\frac {\rho _{f}}{\epsilon _{0}}},

и

\mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{2}=-{\frac {\rho _{f}}{\epsilon _{0}}}.

Отсюда следует, что $\varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}$ является решением уравнения Лапласа , которое является частным случаем уравнения Пуассона и равно $0$ . Вычитание двух приведенных выше решений дает

\mathbf {\nabla } ^{2}\varphi =\mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{1}-\mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{2}=0.

( 1 )

Применяя векторное дифференциальное тождество, мы знаем, что

\nabla \cdot (\varphi \,\nabla \varphi )=\,(\nabla \varphi )^{2}+\varphi \,\nabla ^{2}\varphi .

Однако из ( 1 ) мы также знаем, что во всей области $\nabla ^{2}\varphi =0.$ Следовательно, второе слагаемое обращается в ноль, и мы находим, что

\nabla \cdot (\varphi \,\nabla \varphi )=\,(\nabla \varphi )^{2}.

Взяв интеграл объема по области $V$ , мы находим это

\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot (\varphi \,\mathbf {\nabla } \varphi )\,\mathrm {d} V=\int _{V}(\mathbf {\nabla } \varphi )^{2}\,\mathrm {d} V.

Применяя теорему о дивергенции , перепишем приведенное выше выражение как

\int _{S}(\varphi \,\mathbf {\nabla } \varphi )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}(\mathbf {\nabla } \varphi )^{2}\,\mathrm {d} V.

( 2 )

Теперь мы последовательно рассмотрим три различных граничных условия: граничное условие Дирихле, граничное условие Неймана и смешанное граничное условие.

Сначала рассмотрим случай, когда граничные условия Дирихле задаются как $\varphi =0$ на границе области. Если краевое условие Дирихле выполнено на $S$ обоими решениями (т.е. если $\varphi =0$ на границе), то левая часть ( 2 ) равна нулю. Следовательно, мы находим, что

\int _{V}(\mathbf {\nabla } \varphi )^{2}\,\mathrm {d} V=0.

Поскольку это объемный интеграл положительной величины (из-за квадрата члена), мы должны иметь $\nabla \varphi =0$ во всех точках. Кроме того, поскольку градиент $\varphi$ везде равен нулю и $\varphi$ равен нулю на границе, $\varphi$ должно быть равно нулю во всей области. Наконец, поскольку $\varphi =0$ по всему региону, и поскольку $\varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}$ по всему региону, поэтому $\varphi _{1}=\varphi _{2}$ по всему региону. Этим завершается доказательство существования единственного решения уравнения Пуассона с граничным условием Дирихле.

Во-вторых, мы рассматриваем случай, когда граничные условия Неймана задаются как $\nabla \varphi =0$ на границе области. Если граничные условия Неймана выполняются на $S$ обоими решениями, то левая часть ( 2 ) снова равна нулю. Следовательно, как и раньше, мы находим, что

\int _{V}(\mathbf {\nabla } \varphi )^{2}\,\mathrm {d} V=0.

Как и раньше, поскольку это объемный интеграл от положительной величины, мы должны иметь $\nabla \varphi =0$ во всех точках. Кроме того, поскольку градиент $\varphi$ везде равен нулю в объеме $V$ , и поскольку градиент $\varphi$ всюду равен нулю на границе $S$ , поэтому $\varphi$ должен быть постоянным, но не обязательно нулевым, во всем регионе. Наконец, поскольку $\varphi =k$ по всему региону, и поскольку $\varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}$ по всему региону, поэтому $\varphi _{1}=\varphi _{2}-k$ по всему региону. Это завершает доказательство существования единственного с точностью до аддитивной константы решения уравнения Пуассона с граничным условием Неймана.

Могут быть заданы смешанные граничные условия , если либо градиент , либо в каждой точке границы задан потенциал. Граничные условия на бесконечности также выполняются. Это связано с тем, что поверхностный интеграл в ( 2 ) все равно обращается в нуль на больших расстояниях, поскольку подынтегральная функция затухает быстрее, чем растет площадь поверхности.

См. также

Ссылки

Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц (1975). Классическая теория полей . Том. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 978-0-7506-2768-9 .
Джей Ди Джексон (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-471-30932-1 .