Формула Вороного

В математике формула Вороного — это равенство, включающее коэффициенты Фурье автоморфных форм , с коэффициентами, скрученными аддитивными символами с обеих сторон. Ее можно рассматривать как формулу суммирования Пуассона для неабелевых групп . Формула Вороного (суммирование) для GL(2) уже давно является стандартным инструментом для изучения аналитических свойств автоморфных форм и их L -функций. Было получено множество результатов, вытекающих из формулы Вороного для GL(2). Концепция названа в честь Георгия Вороного .

Классическое приложение

Вороному и его современникам эта формула казалась специально разработанной для вычисления определенных конечных сумм. Это казалось важным, поскольку несколько важных вопросов теории чисел связаны с конечными суммами арифметических величин. В этой связи упомянем два классических примера: проблему делителей Дирихле и проблему окружности Гаусса. Первый оценивает размер d ( n ),количество положительных делителей целого числа n . Дирихле доказал

$D(X)=\sum _{n=1}^{X}d(n)-X\log X-(2\gamma -1)X=O(X^{1/2})$

где $\gamma$ — постоянная Эйлера ≈ 0,57721566. Проблема круга Гаусса касается среднего размера

$r_{2}(n)=\#\{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=n\},$

для которого Гаусс дал оценку

$\Delta (X)=\sum _{n=1}^{X}r_{2}(n)-\pi X=O(X^{1/2}).$

Каждая задача имеет геометрическую интерпретацию с D ( X решеткой счета )точки в регионе $\{x,y>0,xy\leq X\}$, и $\Delta (X)$ точки решетки вдиск $\{x^{2}+y^{2}\leq X\}$. Эти две границы, как мы увидим, связаны между собой и приходятиз достаточно элементарных соображений.В серии статей Вороной разработал геометрические и аналитические методы, позволяющие улучшить оценку Дирихле и Гаусса. Самое главное вОглядываясь назад, он обобщил формулу, разрешив взвешенные суммы, за счет введения более общих интегральных операций над f, чем преобразование Фурье.

Современная формулировка

Пусть ƒ — форма возврата Мааса для модулярной группы PSL (2, Z ) и a ( n ) — ее коэффициенты Фурье. Пусть a , c — целые числа с ( a , c ) = 1. Пусть ω — тестовая функция с хорошим поведением. Формула Вороного для ƒ состояний

$\sum _{n}a(n)e(an/c)\omega (n)=\sum _{n}a(n)e(-{\bar {a}}n/c)\Omega (n),$

где ${\bar {a}}$ является мультипликативным обратным к и c Ω является некоторым целым преобразованием Ганкеля ω . модулю (см. Гуд (1984) ).

Ссылки

• Гуд, Антон (1984), «Каспические формы и собственные функции лапласиана», Mathematische Annalen , 255 (4): 523–548, doi : 10.1007/bf01451932
• Миллер С.Д. и Шмид В. (2006). Автоморфные распределения, L-функции и суммирование Вороного для GL(3). Анналы математики, 423–488.
• Вороной, Г. (1904). О трансцендентной функции и ее приложениях к суммированию некоторых рядов. В Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure (том 21, стр. 207–267).