Форма волны Маасса

В математике формы Мааса или волновые формы Мааса изучаются в теории автоморфных форм . Формы Маасса представляют собой комплекснозначные гладкие функции верхней полуплоскости, преобразующиеся аналогичным образом под действием дискретной подгруппы $\Gamma$ из $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ как модульные формы. Они являются собственными формами гиперболического оператора Лапласа. $\Delta$ определено на $\mathbb {H}$ и удовлетворять определенным условиям роста на порогах фундаментальной области $\Gamma$. В отличие от модулярных форм, формы Мааса не обязательно должны быть голоморфными. Впервые их изучил Ганс Маасс в 1949 году.

Общие замечания

Группа

$G:=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {R} ):ad-bc=1\right\}$

действует в верхней полуплоскости

$\mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}$

дробно-линейными преобразованиями:

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z:={\frac {az+b}{cz+d}}.$

Его можно распространить на операцию над $\mathbb {H} \cup \{\infty \}\cup \mathbb {\mathbb {R} }$ определив:

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z:={\begin{cases}{\frac {az+b}{cz+d}}&{\text{if }}cz+d\neq 0,\\\infty &{\text{if }}cz+d=0,\end{cases}}$

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot \infty :=\lim _{\operatorname {Im} (z)\to \infty }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z={\begin{cases}{\frac {a}{c}}&{\text{if }}c\neq 0\\\infty &{\text{if }}c=0\end{cases}}$

Радоновая мера

$d\mu (z):={\frac {dxdy}{y^{2}}}$

определено на $\mathbb {H}$ инвариантен относительно действия $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$.

Позволять $\Gamma$ быть дискретной подгруппой $G$. Фундаментальная область для $\Gamma$ это открытый набор $F\subset \mathbb {H}$, так что существует система представителей $R$ из $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ с

$F\subset R\subset {\overline {F}}{\text{ and }}\mu ({\overline {F}}\setminus F)=0.$

Фундаментальная область модульной группы $\Gamma (1):=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ дается

$F:=\left\{z\in \mathbb {H} \mid \left|\operatorname {Re} (z)\right|<{\frac {1}{2}},|z|>1\right\}$

(см. Модульная форма ).

Функция $f:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ называется $\Gamma$-инвариант, если $f(\gamma z)=f(z)$ держится для всех $\gamma \in \Gamma$ и все $z\in \mathbb {H}$.

Для каждого измеримого $\Gamma$-инвариантная функция $f:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ уравнение

$\int _{F}f(z)\,d\mu (z)=\int _{\Gamma \backslash \mathbb {H} }f(z)\,d\mu (z),$

держит. Здесь мера $d\mu$ в правой части уравнения – индуцированная мера на факторе $\Gamma \backslash \mathbb {H} .$

Классические формы Маасса

Определение гиперболического оператора Лапласа

Гиперболический оператор Лапласа на $\mathbb {H}$ определяется как

$\Delta :C^{\infty }(\mathbb {H} )\to C^{\infty }(\mathbb {H} ),$

$\Delta =-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)$

Определение формы Мааса

Форма Маасса для группы $\Gamma (1):=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ представляет собой комплексную гладкую функцию $f$ на $\mathbb {H}$ удовлетворяющий

1. $f(\gamma z)=f(z){\text{ for all }}\gamma \in \Gamma (1),\qquad z\in \mathbb {H}$
2. ${\text{there exists }}\lambda \in \mathbb {C} {\text{ with }}\Delta (f)=\lambda f$
3. ${\text{there exists }}N\in \mathbb {N} {\text{ with }}f(x+iy)={\mathcal {O}}(y^{N}){\text{ for }}y\geq 1$

Если

$\int _{0}^{1}f(z+t)dt=0{\text{ for all }}z\in \mathbb {H}$

мы звоним $f$ Форма острия Мааса.

Связь между формами Мааса и рядом Дирихле

Позволять $f$ быть формой Мааса. С

$\gamma :={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)$

у нас есть:

$\forall z\in \mathbb {H} :\qquad f(z)=f(\gamma z)=f(z+1).$

Поэтому $f$ имеет разложение Фурье вида

$f(x+iy)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y)e^{2\pi inx},$

с коэффициентными функциями $a_{n},n\in \mathbb {Z} .$

Легко показать, что $f$ является формой возврата Мааса тогда и только тогда, когда $a_{0}(y)=0\;\;\forall y>0$.

Мы можем точно рассчитать функции коэффициентов. Для этого нам понадобится функция Бесселя $K_{v}$.

Определение: функция Бесселя. $K_{v}$ определяется как

$K_{s}(y):={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {y(t+t^{-1})}{2}}}t^{s}{\frac {dt}{t}},\qquad s\in \mathbb {C} ,y>0.$

Интеграл сходится локально равномерно абсолютно при $y>0$ в $s\in \mathbb {C}$ и неравенство

$K_{s}(y)\leq e^{-{\frac {y}{2}}}K_{\operatorname {Re} (s)}(2)$

держится для всех $y>4$.

Поэтому, $|K_{s}|$ экспоненциально уменьшается для $y\to \infty$. Кроме того, у нас есть $K_{-s}(y)=K_{s}(y)$ для всех $s\in \mathbb {C} ,y>0$.

Теорема (коэффициенты Фурье форм Мааса) — Пусть $\lambda \in \mathbb {C}$ быть собственным значением формы Мааса $f$ соответствующий $\Delta .$ Существуют $\nu \in \mathbb {C}$, уникальный с точностью до знака, такой, что ${\textstyle \lambda ={\frac {1}{4}}-\nu ^{2}}$. Тогда коэффициенты Фурье $f$ являются $${\begin{aligned}a_{n}(y)&=c_{n}{\sqrt {y}}K_{\nu }(2\pi |n|y)\quad c_{n}\in \mathbb {C} &&n\neq 0\\a_{0}(y)&=c_{0}y^{{\frac {1}{2}}-\nu }+d_{0}y^{{\frac {1}{2}}+\nu }\quad c_{0},d_{0}\in \mathbb {C} &&n=0\end{aligned}}$$

Доказательство: у нас есть

$\Delta (f)=\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)f.$

По определению коэффициентов Фурье получаем

$a_{n}(y)=\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx$

для $n\in \mathbb {Z} .$

В совокупности следует, что

${\begin{aligned}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)a_{n}(y)&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=\int _{0}^{1}(\Delta f)(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=-y^{2}\left(\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx+\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\right)\\[4pt]&{\overset {(1)}{=}}-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\\[4pt]&=4\pi ^{2}n^{2}y^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\end{aligned}}$

для $n\in \mathbb {Z} .$

В (1) мы использовали, что n- й коэффициент Фурье ${\textstyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}}$ является $(2\pi in)^{2}a_{n}(y)$ для первого члена суммирования. Во втором члене мы изменили порядок интегрирования и дифференцирования, что разрешено, поскольку f является гладким по y. Получаем линейное дифференциальное уравнение второй степени:

$y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)+\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}-4\pi n^{2}y^{2}\right)a_{n}(y)=0$

Для $n=0$ можно показать, что для любого решения $f$ существуют уникальные коэффициенты $c_{0},d_{0}\in \mathbb {C}$ с имуществом $a_{0}(y)=c_{0}y^{{\frac {1}{2}}-\nu }+d_{0}y^{{\frac {1}{2}}+\nu }.$

Для $n\neq 0$ каждое решение $f$ имеет коэффициенты вида

$a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)+d_{n}{\sqrt {y}}I_{v}(2\pi |n|y)$

для уникальных $c_{n},d_{n}\in \mathbb {C}$. Здесь $K_{v}(s)$ и $I_{v}(s)$ являются функциями Бесселя.

Функции Бесселя $I_{v}$ растут экспоненциально, а функции Бесселя $K_{v}$ уменьшаться экспоненциально. Вместе с условием полиномиального роста 3) получаем $f:a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)$ (также $d_{n}=0$) для уникального $c_{n}\in \mathbb {C}$. КЭД

Четная и нечетная формы Мааса: Пусть $i(z):=-{\overline {z}}$. Затем я действую на все функции $f:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ к $i(f):=f(i(z))$ и коммутирует с гиперболическим лапласианом. Форма Маасса $f$ называется четным, если $i(f)=f$ и странно, если $i(f)=-f$. Если f — форма Мааса, то ${\tfrac {1}{2}}(f+i(f))$ является четной формой Мааса и ${\tfrac {1}{2}}(f-i(f))$ нечетная форма Мааса, и она утверждает, что $f={\tfrac {1}{2}}(f+i(f))+{\tfrac {1}{2}}(f-i(f))$.

Теорема: L-функция формы Мааса

Позволять

$f(x+iy)=\sum _{n\neq 0}c_{n}{\sqrt {y}}K_{\nu }(2\pi |n|y)e^{2\pi inx}$

быть формой возврата Мааса. Определим L-функцию $f$ как

$L(s,f)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}n^{-s}.$

Тогда сериал $L(s,f)$ сходится для ${\textstyle \Re (s)>{\frac {3}{2}}}$ и мы можем продолжить его до целой функции на $\mathbb {C}$.

Если $f$ четное или нечетное, мы получаем

$\Lambda (s,f):=\pi ^{-s}\Gamma \left({\frac {s+\varepsilon +\nu }{2}}\right)\Gamma \left({\frac {s+\varepsilon -\nu }{2}}\right)L(s,f).$

Здесь $\varepsilon =0$ если $f$ четный и $\varepsilon =-1$ если $f$ странно. Затем $\Lambda$ удовлетворяет функциональному уравнению

$\Lambda (s,f)=(-1)^{\varepsilon }\Lambda (1-s,f).$

Пример: неголоморфный ряд Эйзенштейна E

Неголоморфный ряд Эйзенштейна определен для $z=x+iy\in \mathbb {H}$ и $s\in \mathbb {C}$ как

$E(z,s):=\pi ^{-s}\Gamma (s){\frac {1}{2}}\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}}$

где $\Gamma (s)$ это гамма-функция .

Ряд сходится абсолютно в $z\in \mathbb {H}$ для $\Re (s)>1$ и локально равномерно в $\mathbb {H} \times \{\Re (s)>1\}$, поскольку можно показать, что ряд

$S(z,s):=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{|mz+n|^{s}}}$

сходится абсолютно в $z\in \mathbb {H}$, если $\Re (s)>2$. Точнее, оно сходится равномерно на каждом множестве $K\times \{\Re (s)\geq \alpha \}$, для каждого компакта $K\subset \mathbb {H}$ и каждый $\alpha >2$.

E - форма Мааса

Мы показываем только $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$-инвариантность и дифференциальное уравнение. Доказательство гладкости можно найти у Deitmar или Bump. Условие роста следует из разложения Фурье ряда Эйзенштейна.

Сначала мы покажем $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$-инвариантность. Позволять

$\Gamma _{\infty }:=\pm {\begin{pmatrix}1&\mathbb {Z} \\0&1\\\end{pmatrix}}$

быть группой стабилизатора $\infty$ соответствующий операции $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ на $\mathbb {H} \cup \{\infty \}$.

Предложение. Е это $\Gamma (1)$-инвариант.

Доказательство. Определять:

${\tilde {E}}(z,s):=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}.$

(а) ${\tilde {E}}$ сходится абсолютно в $z\in \mathbb {H}$ для $\Re (s)>1$ и $E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s).$

С

$\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)\Longrightarrow \Im (\gamma z)={\frac {\Im (z)}{|cz+d|^{2}}},$

мы получаем

${\tilde {E}}(z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}=\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}.$

Это доказывает абсолютную сходимость $z\in \mathbb {H}$ для $\operatorname {Re} (s)>1.$

Кроме того, отсюда следует, что

$\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|ncz+nd|^{2s}}}=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}},$

поскольку карта

${\begin{cases}\mathbb {N} \times \{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}:(x,y)=1\}\to \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}\\(n,(x,y))\mapsto (nx,ny)\end{cases}}$

является биекцией. (а) следует.

(б) У нас есть $E(\gamma z,s)=E(z,s)$ для всех $\gamma \in \Gamma (1)$.

Для ${\tilde {\gamma }}\in \Gamma (1)$ мы получаем

${\tilde {E}}({\tilde {\gamma }}z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im ({\tilde {\gamma }}\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}={\tilde {E}}(\gamma z,s).$

Вместе с (а), $E$ также инвариантен относительно $\Gamma (1)$. КЭД

Предложение. E — собственная форма гиперболического оператора Лапласа.

Нам понадобится следующая лемма:

Лемма: $\Delta$ ездит с работой $G$ на $C^{\infty }(\mathbb {H} )$. Точнее для всех $g\in G$ у нас есть: $L_{g}\Delta =\Delta L_{g}.$

Доказательство: Группа $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ генерируется элементами формы

${\begin{pmatrix}a&0\\0&{\frac {1}{a}}\\\end{pmatrix}},a\in \mathbb {R} ^{\times };\quad {\begin{pmatrix}1&x\\0&1\\\end{pmatrix}},x\in \mathbb {R} ;\quad S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}.$

Вычисляется иск для этих генераторов и получается иск для всех $g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$. КЭД

С $E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)$ достаточно показать дифференциальное уравнение для ${\tilde {E}}$. У нас есть:

$\Delta {\tilde {E}}(z,s):=\Delta \sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Delta \left(\Im (\gamma z)^{s}\right)$

Кроме того, у человека есть

$\Delta \left(\Im (z)^{s}\right)=\Delta (y^{s})=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}y^{s}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}y^{s}}{\partial y^{2}}}\right)=s(1-s)y^{s}.$

Поскольку оператор Лапласа коммутирует с операцией $\Gamma (1)$, мы получаем

$\forall \gamma \in \Gamma (1):\quad \Delta \left(\Im (\gamma z)^{s}\right)=s(1-s)\Im (\gamma z)^{s}$

и так

$\Delta {\tilde {E}}(z,s)=s(1-s){\tilde {E}}(z,s).$

Следовательно, дифференциальное уравнение справедливо для E в $\Re (s)>3$. Чтобы получить иск по всем $s\in \mathbb {C}$, рассмотрим функцию $\Delta E(z,s)-s(1-s)E(z,s)$. Вычислив явно разложение Фурье этой функции, получим, что она мероморфна. Поскольку оно исчезает за $\Re (s)>3$, это должна быть нулевая функция по теореме о тождестве .

Фурье-разложение E

Онголоморфный ряд Эйзенштейна имеет разложение Фурье

$E(z,s)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y,s)e^{2\pi inx}$

где

${\begin{aligned}a_{0}(y,s)&=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)y^{s}+\pi ^{s-1}\Gamma (1-s)\zeta (2(1-s))y^{1-s}\\a_{n}(y,s)&=2|n|^{s-{\frac {1}{2}}}\sigma _{1-2s}(|n|){\sqrt {y}}K_{s-{\frac {1}{2}}}(2\pi |n|y)&&n\neq 0\end{aligned}}$

Если $z\in \mathbb {H}$, $E(z,s)$ имеет мероморфное продолжение на $\mathbb {C}$. Он голоморфен, за исключением простых полюсов при $s=0,1.$

Ряд Эйзенштейна удовлетворяет функциональному уравнению

$E(z,s)=E(z,1-s)$

для всех $z\in \mathbb {H}$.

Локально равномерно в $x\in \mathbb {R}$ условие роста

$E(x+iy,s)={\mathcal {0}}(y^{\sigma })$

держится, где $\sigma =\max(\operatorname {Re} (s),1-\operatorname {Re} (s)).$

Мероморфное продолжение E очень важно в спектральной теории гиперболического оператора Лапласа.

Формы Мааса веса k

Подгруппы конгруэнтности

Для $N\in \mathbb {N}$ позволять $\Gamma (N)$ быть ядром канонической проекции

$\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ).$

Мы звоним $\Gamma (N)$ главная конгруэнтная подгруппа уровня $N$. Подгруппа $\Gamma \subseteq \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ называется конгруэнтной подгруппой, если существует $N\in \mathbb {N}$, так что $\Gamma (N)\subseteq \Gamma$. Все конгруэнтные подгруппы дискретны.

Позволять

${\overline {\Gamma (1)}}:=\Gamma (1)/\{\pm 1\}.$

Для конгруэнтной подгруппы $\Gamma ,$ позволять ${\overline {\Gamma }}$ быть образом $\Gamma$ в ${\overline {\Gamma (1)}}$. Если S — система представителей ${\overline {\Gamma }}\backslash {\overline {\Gamma (1)}}$, затем

$SD=\bigcup _{\gamma \in S}\gamma D$

является фундаментальной областью для $\Gamma$. Набор $S$ однозначно определяется фундаментальной областью $SD$. Более того, $S$ конечно.

Очки $\gamma \infty$ для $\gamma \in S$ называются точками возврата фундаментальной области $SD$. Они являются подмножеством $\mathbb {Q} \cup \{\infty \}$.

Для каждого порога $c$ существует $\sigma \in \Gamma (1)$ с $\sigma \infty =c$.

Формы Мааса веса k

Позволять $\Gamma$ быть конгруэнтной подгруппой и $k\in \mathbb {Z} .$

Определим гиперболический оператор Лапласа $\Delta _{k}$ веса $k$ как

$\Delta _{k}:C^{\infty }(\mathbb {H} )\to C^{\infty }(\mathbb {H} ),$

$\Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial }{\partial x}}.$

Это обобщение гиперболического оператора Лапласа. $\Delta _{0}=\Delta$.

Определим операцию $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ на $C^{\infty }(\mathbb {H} )$ к

$f_{||k}g(z):=\left({\frac {cz+d}{|cz+d|}}\right)^{-k}f(gz)$

где

$z\in \mathbb {H} ,g={\begin{pmatrix}\ast &\ast \\c&d\\\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),f\in C^{\infty }(\mathbb {H} ).$

Можно показать, что

$(\Delta _{k}f)_{||k}g=\Delta _{k}(f_{||k}g)$

держится для всех $f\in C^{\infty }(\mathbb {H} ),k\in \mathbb {Z}$ и каждый $g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$.

Поэтому, $\Delta _{k}$ работает в векторном пространстве

$C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k):=\{f\in C^{\infty }(\mathbb {H} ):f_{||k}\gamma =f\forall \gamma \in \Gamma \}$.

Определение. Мааса Форма веса $k\in \mathbb {Z}$ для $\Gamma$ это функция $f\in C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ это собственная функция $\Delta _{k}$ и имеет умеренный рост на вершинах.

Термин «умеренный рост на пороге» нуждается в разъяснении. Бесконечность – это вершина $\Gamma ,$ функция $f\in C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ имеет умеренный рост при $\infty$ если $f(x+iy)$ ограничен полиномом по y как $y\to \infty$. Позволять $c\in \mathbb {Q}$ быть еще одним острием. Тогда существует $\theta \in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ с $\theta (\infty )=c$. Позволять $f':=f_{||k}\theta$. Затем $f'\in C^{\infty }(\Gamma '\backslash \mathbb {H} ,k)$, где $\Gamma '$ является конгруэнтной подгруппой $\theta ^{-1}\Gamma \theta$. Мы говорим $f$ имеет умеренный рост на вершине $c$, если $f'$ имеет умеренный рост при $\infty$.

Определение. Если $\Gamma$ содержит главную конгруэнтную подгруппу уровня $N$, мы говорим, что $f$ является каспидальным на бесконечности, если

$\forall z\in \mathbb {H} :\quad \int _{0}^{N}f(z+u)du=0.$

Мы говорим, что $f$ находится на куспиде $c$ если $f'$ является каспидальным на бесконечности. Если $f$ является каспидальным на каждом каспиде, мы называем $f$ остроконечная форма .

Приведем простой пример формы веса по Маасу. $k>1$ для модульной группы:

Пример. Позволять $g:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ быть модульной формой четного веса $k$ для $\Gamma (1).$ Затем $f(z):=y^{\frac {k}{2}}g(z)$ это форма веса Мааса $k$ для группы $\Gamma (1)$.

Спектральная проблема

Позволять $\Gamma$ быть конгруэнтной подгруппой $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ и пусть $L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ быть векторным пространством всех измеримых функций $f:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ с $f_{||k}\gamma =f$ для всех $\gamma \in \Gamma$ удовлетворяющий

$\|f\|^{2}:=\int _{\Gamma \backslash \mathbb {H} }|f(z)|^{2}d\mu (z)<\infty$

функции по модулю с $\|f\|=0.$ Интеграл корректно определен, поскольку функция $|f(z)|^{2}$ является $\Gamma$-инвариант. Это гильбертово пространство со внутренним произведением

$\langle f,g\rangle =\int _{\Gamma \backslash \mathbb {H} }f(z){\overline {g(z)}}d\mu (z).$

Оператор $\Delta _{k}$ может быть определен в векторном пространстве $B\subset L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\cap C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ который плотен в $L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$. Там $\Delta _{k}$ — положительный полуопределенный симметрический оператор. Можно показать, что существует единственное самосопряженное продолжение на $L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k).$

Определять $C(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ как пространство всех возвратных форм $L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\cap C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k).$ Затем $\Delta _{k}$ действует на $C(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ и имеет дискретный спектр. Спектр, принадлежащий ортогональному дополнению, имеет непрерывную часть и может быть описан с помощью (модифицированных) неголоморфных рядов Эйзенштейна, их мероморфных продолжений и их вычетов. (См. Бамп или Иванец ).

Если $\Gamma$ является дискретной (без кручения) подгруппой группы $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$, так что частное $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ компактен, то спектральная задача упрощается. Это связано с тем, что дискретная кокомпактная подгруппа не имеет точек возврата. Здесь все пространство $L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ представляет собой сумму собственных пространств.

Вложение в пространство L ² (ГАРАНТИРОВАННАЯ ПОБЕДА )

$G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ — локально компактная унимодулярная группа с топологией $\mathbb {R} ^{4}.$ Позволять $\Gamma$ быть конгруэнтной подгруппой. С $\Gamma$ дискретен в $G$, он закрыт в $G$ также. Группа $G$ унимодулярна и поскольку считающая мера является мерой Хаара на дискретной группе $\Gamma$, $\Gamma$ также унимодулярна. По формуле факторного интеграла существует $G$-правоинвариантная мера Радона $dx$ на локально компактном пространстве $\Gamma \backslash G$. Позволять $L^{2}(\Gamma \backslash G)$ быть соответствующим $L^{2}$-космос. Это пространство разлагается в прямую сумму гильбертова пространства:

$L^{2}(\Gamma \backslash G)=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }L^{2}(\Gamma \backslash G,k)$

где

$L^{2}(\Gamma \backslash G,k):=\left\{\phi \in L^{2}(\Gamma \backslash G)\mid \phi (xk_{\theta })=e^{ik\theta }F(x)\forall x\in \Gamma \backslash G\forall \theta \in \mathbb {R} \right\}$

и

$k_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\\\end{pmatrix}}\in SO(2),\theta \in \mathbb {R} .$

Гильбертово пространство $L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ можно изометрически вложить в гильбертово пространство $L^{2}(\Gamma \backslash G,k)$. Изометрия задается картой

${\begin{cases}\psi _{k}:L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\to L^{2}(\Gamma \backslash G,k)\\\psi _{k}(f)(g):=f_{||k}\gamma (i)\end{cases}}$

Следовательно, все формы возврата Мааса для конгруэнтной группы $\Gamma$ можно рассматривать как элементы $L^{2}(\Gamma \backslash G)$.

$L^{2}(\Gamma \backslash G)$ является гильбертовым пространством, содержащим операцию группы $G$, так называемое правое регулярное представление:

$R_{g}\phi :=\phi (xg),{\text{ where }}x\in \Gamma \backslash G{\text{ and }}\phi \in L^{2}(\Gamma \backslash G).$

Легко можно показать, что $R$ является унитарным представлением $G$ в гильбертовом пространстве $L^{2}(\Gamma \backslash G)$. Нас интересует разложение на неприводимые подпредставления. Это возможно только в том случае, если $\Gamma$ является кокомпактным. В противном случае существует также непрерывная гильбертово-целая часть. Интересно то, что решение этой проблемы решает также спектральную проблему форм Маасса. (см. Бамп , C. 2.3)

Форма острия Мааса

Форма возврата Мааса , подмножество форм Мааса, — это функция в верхней полуплоскости , которая преобразуется как модулярная форма , но не обязательно должна быть голоморфной . Впервые они были изучены Гансом Маассом в работе «Маас» (1949) .

Определение

Пусть k целое число, комплексное число и Γ дискретная подгруппа SL ( ₂ s R ) . Маассова форма веса k для Γ с собственным значением Лапласа s — это гладкая функция от верхней полуплоскости до комплексных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:

• Для всех $\gamma =\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma$ и все $z\in \mathbb {H}$, у нас есть $f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\left({\frac {cz+d}{|cz+d|}}\right)^{k}f(z).$
• У нас есть $\Delta _{k}f=sf$, где $\Delta _{k}$ – гиперболический лапласиан веса k, определяемый как $$\Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial }{\partial x}}.$$
• Функция $f$ имеет не более чем полиномиальный рост на точках возврата .

Слабая форма Маасса определяется аналогично, но с заменой третьего условия на «Функция $f$ имеет не более чем линейный экспоненциальный рост на точках возврата». Более того, $f$ называется гармоническим, если он аннулируется оператором Лапласа.

Основные результаты

Позволять $f$ иметь форму возврата Мааса с весом 0. Его нормированный коэффициент Фурье в простом числе p ограничен p ^7/64 + р ^−7/64 . Эта теорема принадлежит Генри Киму и Питеру Сарнаку . Это приближение к гипотезе Рамануджана-Петерссона .

Высшие измерения

Формы возврата Мааса можно рассматривать как автоморфные формы на GL(2). Естественно определить формы возврата Мааса на GL( n ) как сферические автоморфные формы на GL( n ) над полем рациональных чисел. Их существование доказано Миллером, Мюллером и др.

Автоморфные представления группы аделей

Группа ГЛ ₂ (А)

Позволять $R$ — коммутативное кольцо с единицей и пусть $G_{R}:=\mathrm {GL} _{2}(R)$ быть группой $2\times 2$ матрицы с записями в $R$ и обратимый определитель. Позволять $\mathbb {A} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ быть кольцом рациональных аделей, $\mathbb {A} _{\text{fin}}$ кольцо конечных (рациональных) аделей и для простого числа $p\in \mathbb {N}$ позволять $\mathbb {Q} _{p}$ — поле p -адических чисел. Кроме того, пусть $\mathbb {Z} _{p}$ — кольцо целых p-адических чисел (см. Кольцо Адели ). Определять $G_{p}:=G_{\mathbb {Q} _{p}}$. Оба $G_{p}$ и $G_{\mathbb {R} }$ являются локально компактными унимодулярными группами, если снабдить их топологией подпространства $\mathbb {Q} _{p}^{4}$ соответственно $\mathbb {R} ^{4}$. Затем:

$G_{\text{fin}}:=G_{\mathbb {A} _{\text{fin}}}\cong {\widehat {\prod _{p<\infty }^{K_{p}}}}G_{p}.$

Правая часть — ограниченное произведение относительно компактных открытых подгрупп. $K_{p}:=G_{\mathbb {Z} _{p}}$ из $G_{p}$. Затем $G_{\text{fin}}$ локально компактная группа, если снабдить ее топологией ограниченного произведения.

Группа $G_{\mathbb {A} }$ изоморфен

$G_{\text{fin}}\times G_{\mathbb {R} }$

и является локально компактной группой с топологией произведения, поскольку $G_{\text{fin}}$ и $G_{\mathbb {R} }$ оба локально компактны.

Позволять

${\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p<\infty }\mathbb {Z} _{p}.$

Подгруппа

$G_{\widehat {\mathbb {Z} }}:=\prod _{p<\infty }K_{p}$

— максимальная компактная открытая подгруппа группы $G_{\text{fin}}$ и может рассматриваться как подгруппа $G_{\mathbb {A} }$, когда мы рассматриваем вложение $x_{\text{fin}}\mapsto (x_{\text{fin}},1_{\infty })$.

Мы определяем $Z_{\mathbb {R} }$ как центр $G_{\infty }$, это значит $Z_{\mathbb {R} }$ представляет собой группу всех диагональных матриц вида ${\begin{pmatrix}\lambda &\\&\lambda \\\end{pmatrix}}$, где $\lambda \in \mathbb {R} ^{\times }$. Мы думаем о $Z_{\mathbb {R} }$ как подгруппа $G_{\mathbb {A} }$ так как мы можем встроить группу с помощью $z\mapsto (1_{G_{\text{fin}}},z)$.

Группа $G_{\mathbb {Q} }$ вложен по диагонали в $G_{\mathbb {A} }$, что возможно, поскольку все четыре записи $x\in G_{\mathbb {Q} }$ может иметь только конечное количество простых делителей и, следовательно, $x\in K_{p}$ для всех, кроме конечного числа простых чисел $p\in \mathbb {N}$.

Позволять $G_{\mathbb {A} }^{1}$ быть группой всех $x\in G_{\mathbb {A} }$ с $|\det(x)|=1$. (см. определение абсолютной ценности Идели в «Ринге Адель»). Легко подсчитать, что $G_{\mathbb {Q} }$ является подгруппой $G_{\mathbb {A} }^{1}$.

С картой один в один $G_{\mathbb {A} }^{1}\hookrightarrow G_{\mathbb {A} }$ мы можем определить группы $G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}$ и $G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }$ друг с другом.

Группа $G_{\mathbb {Q} }$ плотный в $G_{\text{fin}}$ и дискретный в $G_{\mathbb {A} }$. Частное $G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }=G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}$ не компактен, но имеет конечную меру Хаара.

Поэтому, $G_{\mathbb {Q} }$ представляет собой решетку $G_{\mathbb {A} }^{1},$ аналогично классическому случаю модулярной группы и $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$. С помощью гармонического анализа также получается, что $G_{\mathbb {A} }^{1}$ является унимодулярным.

Аделизация бугров

Теперь мы хотим встроить классические формы возврата Мааса веса 0 для модулярной группы в $Z_{\mathbb {R} }G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }$. Этого можно достичь с помощью «теоремы сильной аппроксимации», которая гласит, что отображение

$\psi :G_{\mathbb {Z} }x_{\infty }\mapsto G_{\mathbb {Q} }(1,x_{\infty })G_{\widehat {\mathbb {Z} }}$

это $G_{\mathbb {R} }$-эквивариантный гомеоморфизм. Итак, мы получаем

$G_{\mathbb {Z} }\backslash G_{\mathbb {R} }{\overset {\sim }{\to }}G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }}$

и более того

$G_{\mathbb {Z} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {R} }{\overset {\sim }{\to }}G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }}.$

Каспиформы Маасса веса 0 для модульной группы можно вложить в

$L^{2}(\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\backslash \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ))\cong L^{2}(\mathrm {GL} _{2}(\mathbb {Z} )Z_{\mathbb {R} }\backslash \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {R} )).$

По теореме о сильной аппроксимации это пространство унитарно изоморфно

$L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }})\cong L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })^{G_{\widehat {\mathbb {Z} }}}$

которое является подпространством $L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }).$

Точно так же можно вложить классические голоморфные возвратные формы. С помощью небольшого обобщения аппроксимационной теоремы можно вложить все параболические формы Мааса (а также голоморфные параболические формы) любого веса для любой конгруэнтной подгруппы. $\Gamma$ в $L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })$.

Мы звоним $L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })$ пространство автоморфных форм группы аделей.

Каспидные формы группы адели

Позволять $R$ будь Кольцом и позволь $N_{R}$ быть группой всех ${\begin{pmatrix}1&r\\&1\\\end{pmatrix}},$ где $r\in R$. Эта группа изоморфна аддитивной группе R .

Мы вызываем функцию $f\in L^{2}(G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1})$ форма возврата, если

$\int _{N_{\mathbb {Q} }\backslash N_{\mathbb {A} }}f(nx)dn=0$

подходит почти для всех $x\in G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}$. Позволять $L_{\text{cusp}}^{2}(G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1})$ (или просто $L_{\text{cusp}}^{2}$) — векторное пространство этих параболических форм. $L_{\text{cusp}}^{2}$ является замкнутым подпространством $L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })$ и он инвариантен относительно правильного регулярного представления $G_{\mathbb {A} }^{1}.$

Опять же интересует разложение $L_{\text{cusp}}^{2}$ на неприводимые замкнутые подпространства.

Имеем следующую теорему :

Пространство $L_{\text{cusp}}^{2}$ разлагается в прямую сумму неприводимых гильбертовых пространств с конечными кратностями $N_{\text{cusp}}(\pi )\in \mathbb {N} _{0}$:

$L_{\text{cusp}}^{2}={\widehat {\bigoplus _{\pi \in {\widehat {G}}_{\mathbb {A} }}}}N_{\text{cusp}}(\pi )\pi$

Вычисление этих кратностей $N_{\text{cusp}}(\pi )$ — одна из важнейших и сложнейших проблем теории автоморфных форм.

Каспидальные представления группы аделей

Неприводимое представление $\pi$ группы $G_{\mathbb {A} }$ называется каспидальным, если оно изоморфно подпредставлению $L_{\text{cusp}}^{2}$.

Неприводимое представление $\pi$ группы $G_{\mathbb {A} }$ называется допустимой, если существует компактная подгруппа $K$ из $K\subset G_{\mathbb {A} }$, так что $\dim _{K}(V_{\pi },V_{\tau })<\infty$ для всех $\tau \in {\widehat {G}}_{\mathbb {A} }$.

Можно показать, что любое представление возврата допустимо.

Допустимость необходима для доказательства так называемой теоремы о тензорном произведении anzuwenden, которая гласит, что каждое неприводимое, унитарное и допустимое представление группы $G_{\mathbb {A} }$ изоморфно бесконечному тензорному произведению

$\bigotimes _{p\leq \infty }\pi _{p}.$

The $\pi _{p}$ являются неприводимыми представлениями группы $G_{p}$. Почти все они нуждаются в умрамификации.

(Представление $\pi _{p}$ группы $G_{p}$ $(p<\infty )$ называется неразветвленным, если векторное пространство

$V_{\pi _{p}}^{K_{p}}=\left\{v\in V_{\pi _{p}}\mid \pi _{p}(k)v=v\forall k\in K_{p}\right\}$

это не нулевое пространство.)

Конструкцию бесконечного тензорного произведения можно найти в Дейтмаре , C.7.

Автоморфные L-функции

Позволять $\pi$ быть неприводимым, допустимым унитарным представлением $G_{\mathbb {A} }$. По теореме о тензорном произведении $\pi$ имеет форму ${\textstyle \pi =\bigotimes _{p\leq \infty }\pi _{p}}$ (см. каспидальные представления группы аделей)

Позволять $S$ быть конечным множеством мест, содержащим $\infty$ и все разветвленные места. Определяется глобальная функция Хеке $\pi$ как

$L^{S}(s,\pi ):=\prod _{p\notin S}L(s,\pi _{p})$

где $L(s,\pi _{p})$ является так называемой локальной L-функцией локального представления $\pi _{p}$. Конструкцию локальных L-функций можно найти в Дейтмаре С. 8.2.

Если $\pi$ является каспидальным представлением, L-функция $L^{S}(s,\pi )$ имеет мероморфное продолжение на $\mathbb {C}$. Это возможно, поскольку $L^{S}(s,\pi )$, удовлетворяет некоторым функциональным уравнениям.

См. также

• Гармоническая форма Маасса
• Имитационная модульная форма
• Реальный аналитический ряд Эйзенштейна
• Автоморфная форма
• Модульная форма
• Формула Вороного

Ссылки

• Брингманн, Катрин ; Фолсом, Аманда (2014), «Почти гармонические формы Мааса и характеры Каца – Вакимото», Журнал чистой и прикладной математики , 2014 (694): 179–202, arXiv : 1112.4726 , doi : 10.1515/crell-2012-0102 , MR   3259042 , S2CID   54896147
• Бамп, Дэниел (1997), Автоморфные формы и представления , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 55, Издательство Кембриджского университета , номер документа : 10.1017/CBO9780511609572 , ISBN.  978-0-521-55098-7 , МР   1431508
• Антон Дейтмар : Автоморфные формы . Спрингер, Берлин/Гейдельберг и др. ISBN   978-3-642-12389-4 .
• Дьюк, В .; Фридлендер, JB ; Iwaniec, H. (2002), «Проблема субконъективности для Artin L -функции», Inventiones Mathamaticae , 149 (3): 489–577, Bibcode : 2002inmat.149..489d , doi : 10.1007/s00222020023 , Mr   1923476 , S2CID.   121720199
• Генрик Иванец : Спектральные методы автоморфных форм (аспирантура по математике) . Американское математическое общество ; Ауфлаж: 2. (ноябрь 2002 г.), ISBN   978-0821831601 .
• Маасс, Ганс (1949), «О новом типе неаналитических автоморфных функций и определении рядов Дирихле функциональными уравнениями», Mathematical Annals , 121 : 141–183, doi : 10.1007/BF01329622 , MR   0031519 , S2CID   119494842