Алгебраическое уравнение в частных производных

В математике набор дифференциальных алгебраических уравнений в частных производных (PDAE) представляет собой неполную систему уравнений в частных производных , замкнутую набором алгебраических уравнений .

Определение

Общий PDAE определяется как:

0=\mathbf {F} \left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,{\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{j}}},{\frac {\partial ^{2}y_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{k}}},\ldots ,\mathbf {z} \right),

где:

F — набор произвольных функций;
x — набор независимых переменных;
y — набор зависимых переменных, для которых определены частные производные; и
z — набор зависимых переменных, для которых не определены частные производные.

Связь между PDAE и уравнением в частных производных (PDE) аналогична взаимосвязи между обыкновенным дифференциальным уравнением (ODE) и дифференциально-алгебраическим уравнением (DAE).

PDAE этой общей формы решить сложно. Более подробно упрощенные формы изучены в литературе. ^[1]^[2]^[3] Даже совсем недавно, в 2000 году, термин «PDAE» считался незнакомым специалистам в смежных областях. ^[4]

Методы решения

Полудискретизация — это распространенный метод решения PDAE, независимыми переменными которого являются время и пространство , и он использовался десятилетиями. ^[5]^[6] Этот метод включает в себя удаление пространственных переменных с использованием метода дискретизации , такого как метод конечного объема , и включение полученных линейных уравнений как часть алгебраических соотношений. Это сводит систему к DAE , для которой можно использовать традиционные методы решения.

Ссылки

^ Вагнер, Ю. 2000. «Дальнейшая концепция индекса для линейных ФДАУ гиперболического типа», Математика и компьютеры в моделировании, т. 53, стр. 287–291.
^ WS Мартинсон, П.И. Бартон. (2002) «Индексный и характеристический анализ линейных систем PDAE», SIAM Journal on Scientific Computing, т. 24, н. 3, стр. 905–923.
^ Лухт, В.; Штремель, К.. 1998. «Индексы на основе дискретизации для полулинейных дифференциальных алгебраических уравнений в частных производных», Прикладная численная математика, т. 28, стр. 371–386.
^ Симеон, Б.; Арнольд, М.. 2000. «Соединение DAE и PDE для моделирования взаимодействия пантографа и контактной сети», Математическое и компьютерное моделирование динамических систем, т. 6, стр. 129–144.
^ Джейкоб, Дж.; Ле Ланн, Дж; Пингвад, Х.; Капдевиль, Б.. 1996. «Обобщенный подход к динамическому моделированию». и моделирование биофильтров: применение к денитрификации сточных вод», журнал Chemical Engineering Journal, т. 65, стр. 133–143.
^ де Дьевлеве, К.; Эрхель, Дж.; Керн, М.. 2009. «Глобальная стратегия решения уравнений реактивного переноса», Журнал вычислительной физики, т. 228, стр. 6395–6410.

[1] Вагнер, Ю. 2000. «Дальнейшая концепция индекса для линейных ФДАУ гиперболического типа», Математика и компьютеры в моделировании, т. 53, стр. 287–291.

[2] WS Мартинсон, П.И. Бартон. (2002) «Индексный и характеристический анализ линейных систем PDAE», SIAM Journal on Scientific Computing, т. 24, н. 3, стр. 905–923.

[3] Лухт, В.; Штремель, К.. 1998. «Индексы на основе дискретизации для полулинейных дифференциальных алгебраических уравнений в частных производных», Прикладная численная математика, т. 28, стр. 371–386.

[4] Симеон, Б.; Арнольд, М.. 2000. «Соединение DAE и PDE для моделирования взаимодействия пантографа и контактной сети», Математическое и компьютерное моделирование динамических систем, т. 6, стр. 129–144.

[5] Джейкоб, Дж.; Ле Ланн, Дж; Пингвад, Х.; Капдевиль, Б.. 1996. «Обобщенный подход к динамическому моделированию». и моделирование биофильтров: применение к денитрификации сточных вод», журнал Chemical Engineering Journal, т. 65, стр. 133–143.

[6] де Дьевлеве, К.; Эрхель, Дж.; Керн, М.. 2009. «Глобальная стратегия решения уравнений реактивного переноса», Журнал вычислительной физики, т. 228, стр. 6395–6410.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]