Замена переменных (PDE)

О замене переменных для интегрирования см. Интегрирование подстановкой .

Часто уравнение в частных производных можно привести к более простой форме с известным решением путем подходящей замены переменных .

В статье обсуждается изменение переменной для PDE ниже двумя способами:

1. своим примером;
2. изложив теорию метода.

Объяснение на примере

Например, следующая упрощенная форма УЧП – Шоулза Блэка

${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+S{\frac {\partial V}{\partial S}}-V=0.$

сводится к уравнению теплопроводности

${\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

заменой переменных:

$V(S,t)=v(x(S),\tau (t))$

$x(S)=\ln(S)$

$\tau (t)={\frac {1}{2}}(T-t)$

$v(x,\tau )=\exp(-(1/2)x-(9/4)\tau )u(x,\tau )$

в этих шагах:

• Заменять $V(S,t)$ к $v(x(S),\tau (t))$ и примените правило цепочки , чтобы получить

${\frac {1}{2}}\left(-2v(x(S),\tau )+2{\frac {\partial \tau }{\partial t}}{\frac {\partial v}{\partial \tau }}+S\left(\left(2{\frac {\partial x}{\partial S}}+S{\frac {\partial ^{2}x}{\partial S^{2}}}\right){\frac {\partial v}{\partial x}}+S\left({\frac {\partial x}{\partial S}}\right)^{2}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}\right)\right)=0.$

• Заменять $x(S)$ и $\tau (t)$ к $\ln(S)$ и ${\frac {1}{2}}(T-t)$ получить

${\frac {1}{2}}\left(-2v(\ln(S),{\frac {1}{2}}(T-t))-{\frac {\partial v(\ln(S),{\frac {1}{2}}(T-t))}{\partial \tau }}+{\frac {\partial v(\ln(S),{\frac {1}{2}}(T-t))}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}v(\ln(S),{\frac {1}{2}}(T-t))}{\partial x^{2}}}\right)=0.$

• Заменять $\ln(S)$ и ${\frac {1}{2}}(T-t)$ к $x(S)$ и $\tau (t)$ и разделим обе части на ${\frac {1}{2}}$ получить

$-2v-{\frac {\partial v}{\partial \tau }}+{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}=0.$

• Заменять $v(x,\tau )$ к $\exp(-(1/2)x-(9/4)\tau )u(x,\tau )$ и разделить на $-\exp(-(1/2)x-(9/4)\tau )$ чтобы получить уравнение теплопроводности.

Советы по применению замены переменных в PDE дает математик Дж. Майкл Стил :

«Нет ничего особенно сложного в изменении переменных и преобразовании одного уравнения в другое, но есть элемент утомления и сложности, который нас замедляет. Не существует универсального средства от этого эффекта патоки, но вычисления, похоже, идут быстрее, если человек следует четко определенному плану. Если мы это знаем. $V(S,t)$ удовлетворяет уравнению (например, уравнению Блэка–Шоулза), мы гарантируем, что сможем эффективно использовать это уравнение при выводе уравнения для новой функции $v(x,t)$ определяется в терминах старого, если мы напишем старое V как функцию нового v и напишем новое $\tau$ и x как функции старых t и S . Такой порядок вещей ставит все под прямой прицел цепного правила; частные производные ${\frac {\partial V}{\partial t}}$, ${\frac {\partial V}{\partial S}}$ и ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}$легко вычислить, и в конце концов исходное уравнение готово к немедленному использованию».

Техника в целом

Предположим, что у нас есть функция $u(x,t)$ и замена переменных $x_{1},x_{2}$ такие, что существуют функции $a(x,t),b(x,t)$ такой, что

$x_{1}=a(x,t)$

$x_{2}=b(x,t)$

и функции $e(x_{1},x_{2}),f(x_{1},x_{2})$ такой, что

$x=e(x_{1},x_{2})$

$t=f(x_{1},x_{2})$

и, кроме того, такой, что

$x_{1}=a(e(x_{1},x_{2}),f(x_{1},x_{2}))$

$x_{2}=b(e(x_{1},x_{2}),f(x_{1},x_{2}))$

и

$x=e(a(x,t),b(x,t))$

$t=f(a(x,t),b(x,t))$

Другими словами, полезно иметь биекцию между старым набором переменных и новым, иначе придется

• Ограничить область применимости соответствия предметом реальной плоскости, достаточной для решения рассматриваемой практической задачи (где оно снова должно быть биекцией), и
• Перечислите (нулевой или более конечный список) исключений (полюсов), в которых биекция в противном случае не выполняется (и скажите, почему эти исключения не ограничивают применимость решения сокращенного уравнения к исходному уравнению).

Если биекция не существует, то решение уравнения в приведенной форме, как правило, не будет решением исходного уравнения.

Мы обсуждаем замену переменной для PDE. УЧП можно выразить как дифференциальный оператор, примененный к функции. Предполагать ${\mathcal {L}}$ является дифференциальным оператором таким, что

${\mathcal {L}}u(x,t)=0$

Тогда это также тот случай, когда

${\mathcal {L}}v(x_{1},x_{2})=0$

где

$v(x_{1},x_{2})=u(e(x_{1},x_{2}),f(x_{1},x_{2}))$

и мы действуем следующим образом, чтобы перейти от ${\mathcal {L}}u(x,t)=0$ к ${\mathcal {L}}v(x_{1},x_{2})=0:$

• Примените правило цепочки к ${\mathcal {L}}v(x_{1}(x,t),x_{2}(x,t))=0$ и разложим уравнение $e_{1}$.
• Заменять $a(x,t)$ для $x_{1}(x,t)$ и $b(x,t)$ для $x_{2}(x,t)$ в $e_{1}$ и разложим уравнение $e_{2}$.
• Заменить вхождения $x$ к $e(x_{1},x_{2})$ и $t$ к $f(x_{1},x_{2})$ уступать ${\mathcal {L}}v(x_{1},x_{2})=0$, который будет свободен от $x$ и $t$.

В контексте PDE Вэйчжан Хуан и Роберт Д. Рассел подробно определяют и объясняют различные возможные преобразования, зависящие от времени.

Координаты действия-угла

Часто теория может установить существование замены переменных, хотя саму формулу нельзя сформулировать явно. Для интегрируемой гамильтоновой системы размерности $n$, с ${\dot {x}}_{i}=\partial H/\partial p_{j}$ и ${\dot {p}}_{j}=-\partial H/\partial x_{j}$, существуют $n$ интегралы $I_{i}$. Существует замена переменных из координат $\{x_{1},\dots ,x_{n},p_{1},\dots ,p_{n}\}$ к набору переменных $\{I_{1},\dots I_{n},\varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}\}$, в котором уравнения движения принимают вид ${\dot {I}}_{i}=0$, ${\dot {\varphi }}_{i}=\omega _{i}(I_{1},\dots ,I_{n})$, где функции $\omega _{1},\dots ,\omega _{n}$ неизвестны, но зависят только от $I_{1},\dots ,I_{n}$. Переменные $I_{1},\dots ,I_{n}$ координаты действия, переменные $\varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}$ являются угловыми координатами. Таким образом, движение системы можно представить как вращение на ториях. В качестве конкретного примера рассмотрим простой гармонический генератор с ${\dot {x}}=2p$ и ${\dot {p}}=-2x$, с гамильтонианом $H(x,p)=x^{2}+p^{2}$. Эту систему можно переписать как ${\dot {I}}=0$, ${\dot {\varphi }}=1$, где $I$ и $\varphi$ – канонические полярные координаты: $I=p^{2}+q^{2}$ и $\tan(\varphi )=p/x$. см. В. И. Арнольд , «Математические методы классической механики». Подробнее