Случайные процессы и краевые задачи

В математике некоторые краевые задачи можно решать методами стохастического анализа . Возможно, самым знаменитым примером является Сидзуо Какутани решение в 1944 году задачи Дирихле для оператора Лапласа с использованием броуновского движения . Однако оказывается, что для большого класса полуэллиптических второго порядка уравнений в частных производных соответствующая краевая задача Дирихле может быть решена с использованием процесса Ито , который решает связанное стохастическое дифференциальное уравнение .

Введение: решение Какутани классической задачи Дирихле.

Позволять $D$ быть доменом ( открытым и связным множеством ) в ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Позволять $\Delta$ , — оператор Лапласа пусть $g$ — ограниченная функция на границе $\partial D$ и рассмотрим задачу:

{\begin{cases}-\Delta u(x)=0,&x\in D\\\displaystyle {\lim _{y\to x}u(y)}=g(x),&x\in \partial D\end{cases}}

Можно показать, что если решение $u$ существует, то $u(x)$ значение ожидаемое $g(x)$ в (случайной) первой точке выхода из $D$ для канонического броуновского движения, начинающегося с $x$ . См. теорему 3 в Какутани, 1944, с. 710.

Задача Дирихле–Пуассона

Позволять $D$ быть доменом в ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ и пусть $L$ — полуэллиптический дифференциальный оператор на ${\textstyle C^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$ формы:

L=\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}

где коэффициенты $b_{i}$ и $a_{ij}$ являются непрерывными функциями и все собственные матрицы значения $\alpha (x)=a_{ij}(x)$ неотрицательны. Позволять ${\textstyle f\in C(D;\mathbb {R} )}$ и ${\textstyle g\in C(\partial D;\mathbb {R} )}$ . Рассмотрим задачу Пуассона :

{\begin{cases}-Lu(x)=f(x),&x\in D\\\displaystyle {\lim _{y\to x}u(y)}=g(x),&x\in \partial D\end{cases}}\quad {\mbox{(P1)}}

Идея стохастического метода решения этой задачи заключается в следующем. Сначала обнаруживается диффузия Ито $X$ чей бесконечно малый генератор $A$ совпадает с $L$ на компактной основе $C^{2}$ функции $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ . Например, $X$ можно принять за решение стохастического дифференциального уравнения:

\mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}

где $B$ — n -мерное броуновское движение, $b$ имеет компоненты $b_{i}$ как указано выше, и матричное поле $\sigma$ выбирается так, что:

{\frac {1}{2}}\sigma (x)\sigma (x)^{\top }=a(x),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}

Для точки $x\in \mathbb {R} ^{n}$ , позволять $\mathbb {P} ^{x}$ обозначим закон $X$ заданная начальная дата $X_{0}=x$ , и пусть $\mathbb {E} ^{x}$ обозначают ожидание относительно $\mathbb {P} ^{x}$ . Позволять $\tau _{D}$ обозначают время первого выхода из $X$ от $D$ .

В этих обозначениях возможным решением для (P1) является:

u(x)=\mathbb {E} ^{x}\left[g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}\cdot \chi _{\{\tau _{D}<+\infty \}}\right]+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{t})\,\mathrm {d} t\right]

при условии, что $g$ является ограниченной функцией и что:

\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}{\big |}f(X_{t}){\big |}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty

Оказывается, требуется еще одно условие:

\mathbb {P} ^{x}{\big (}\tau _{D}<\infty {\big )}=1,\quad \forall x\in D

Для всех $x$ , процесс $X$ начиная с $x$ почти наверняка уйдет $D$ в конечное время. При этом предположении приведенное выше возможное решение сводится к следующему:

u(x)=\mathbb {E} ^{x}\left[g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}\right]+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{t})\,\mathrm {d} t\right]

и решает (P1) в том смысле, что если ${\mathcal {A}}$ обозначает характеристический оператор для $X$ (что согласуется с $A$ на $C^{2}$ функции), тогда: