Полуэллиптический оператор

В математике , в частности, в теории уравнений в частных производных , полуэллиптический оператор — это оператор в частных производных, удовлетворяющий условию положительности, несколько более слабому, чем условие положительности эллиптического оператора . Каждый эллиптический оператор также является полуэллиптическим, а полуэллиптические операторы разделяют многие хорошие свойства эллиптических операторов: например, применима большая часть той же теории существования и единственности, а полуэллиптические задачи Дирихле могут быть решены с использованием методов стохастического анализа .

Определение

второго порядка Оператор частного дифференциала P, определенный на открытом подмножестве Ω n - мерного евклидова пространства R. ^н , действуя на подходящие функции f выражением

$Pf(x)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x)+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+c(x)f(x),$

называется полуэллиптическим, все собственные значения λ _i ( x ), 1 ≤ i ≤ n , матрицы если a ( x ) = ( a _ij ( x )) неотрицательны. (Напротив, P называется эллиптическим, если λ _i ( x ) > 0 для всех x ∈ Ω и 1 ≤ i ≤ n , и равномерно эллиптическим, если собственные значения равномерно отделены от нуля, равномерно по i и x .) Эквивалентно, P полуэллиптичен, если матрица a ( x ) положительно полуопределена для каждого x ∈ Ω.

Ссылки

• Оксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-04758-1 . (См. раздел 9)