Группа Валентина

В математике группа Валентинера представляет собой совершенное тройное накрытие знакопеременной группы в 6 точках и представляет собой группу порядка 1080. Она была найдена Германом Валентинером ( 1889 ) в виде действия А ₆ на комплексной проективной плоскости. и был дополнительно изучен Виманом (1896) .

Все совершенные чередующиеся группы имеют совершенные двойные покрытия. В большинстве случаев это универсальное центральное расширение . Двумя исключениями являются ( _A6 совершенное тройное накрытие которого — группа Валентайнера) и A7 _{, чьи} универсальные центральные расширения имеют центры порядка 6.

Представительства

Знакопеременная группа А6 _{показал ,} действует на комплексной проективной плоскости, и Гербальди (1898) что группа действует на 6 кониках теоремы Гербальди . Это дает гомоморфизм PGL ₃ ( C ), и его подъем до тройного накрытия GL ₃ ( C ) является группой Валентайнера. Это вложение можно определить по полю, порожденному корнями 15-й степени из единицы.
Произведением группы Валентинера с группой порядка 2 является трехмерная комплексная группа отражений порядка 2160, порожденная 45 комплексными отражениями порядка 2. Инварианты образуют полиномиальную алгебру с генераторами степеней 6, 12 и 30.
Группа Валентинера имеет комплексные неприводимые точные групповые представления размерности 3, 3, 3, 3, 6, 6, 9, 9, 15, 15.
Группу Валентинера можно представить как мономиальные симметрии гексакода , трехмерного подпространства F. ⁶
₄ , натянутой на (001111), (111100) и (0101ω ω ), где элементами конечного поля F ₄ являются 0, 1, ω, ω .
Группа PGL ₃ ( F ₄ ) действует на двумерной проективной плоскости над F ₄ и действует транзитивно на ее гиперовалах (наборах из 6 точек, из которых никакие три не лежат на прямой). Подгруппа, фиксирующая гиперовал, является копией знакопеременной группы A ₆ . Лифтом этого тройного покрытия GL ₃ ( F ₄ ) PGL ₃ ( F ₄ ) является группа Валентайнера.
Креспо и Хайто (2005) описали представления группы Валентинера как группы Галуа и дали дифференциальное уравнение третьего порядка с группой Валентинера в качестве дифференциальной группы Галуа .

Ссылки

Кобл, Артур Б. (1911), «Сведение секстического уравнения к проблеме формы Валентинера» , Mathematische Annalen , 70 (3): 337–350, doi : 10.1007/BF01564501 , ISSN 0025-5831 , S2CID 121661301
Красс, Скотт (1999), «Решение секстика путем итерации: исследование сложной геометрии и динамики» , Experimental Mathematics , 8 (3): 209–240, arXiv : math/9903111 , doi : 10.1080/10586458.1999.10504401 , ISSN 1058-6458 , МР 1724156 , С2КИД 13917656
Креспо, Тереза; Хайто, Збигнев (2005), «Группа Валентинера как группа Галуа», Труды Американского математического общества , 133 (1): 51–56, doi : 10.1090/S0002-9939-04-07539-2 , hdl : 2445/ 7742 , ISSN 0002-9939 , МР 2085152
Гербальди, Франческо (1898), «О простой группе из 360 плоских коллинеаций» , Mathematische Annalen , 50 (2–3): 473–476, doi : 10.1007/BF01448080 , ISSN 0025-5831 , S2CID 119623323
Валентинер, Х. (1889), «Теория групп конечных преобразований» , Videnkabernes Selskabs Skrifter (на датском языке), 6
Виман, А. (1896), «О простой группе из 360 плоских коллинеаций» , Mathematical Annals , 47 (4): 531–556, doi : 10.1007/BF01445800 , ISSN 0025-5831 , JFM 27.0103.03 , S2CID 121668720