3 ₃₁ соты

3 ₃₁ соты
(нет изображения)
Тип	Равномерная тесселяция
Символ Шлефли	{3,3,3,3 ^3,1}
Символ Коксетера	3 ₃₁
Диаграмма Кокстера-Динкина
7-гранные типы	3 ₂₁ {3 ⁶}
6-гранные типы	2 ₂₁ {3 ⁵}
5-гранные типы	2 ₁₁ {3 ⁴}
4-гранный тип	{3 ³}
Тип ячейки	{3 ²}
Тип лица	{3}
Фигура лица	0 ₃₁
Краевая фигура	1 ₃₁
Вершинная фигура	2 ₃₁
Группа Коксетера	${\tilde {E}}_{7}$ , [3 ^3,3,1]
Характеристики	вершинно-транзитивный

В 7-мерной геометрии соты 3 ₃₁ представляют собой однородные соты, также обозначаемые символом Шлефли {3,3,3,3 ^3,1} и состоит из 3 _21- и 7-симплексных граней , по 56 и 576 из них соответственно вокруг каждой вершины.

Строительство

Он создан с помощью конструкции Витхоффа на основе набора из 8 гиперплоских зеркал в 7-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Динкина .

Удаление узла на короткой ветви оставляет 6-симплексную фасет:

Удаление узла на конце ветви длиной 3 оставляет фасет 3 ₂₁ :

Фигура вершины определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это составляет 2 ₃₁ многогранник.

Фигура ребра определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Получается 6-демикуб ( 1 ₃₁ ).

Фигура грани определяется удалением окольцованного узла и окольцовыванием соседнего узла. Это делает исправленный 5-симплекс ( 0 ₃₁ ).

Фигура ячейки определяется удалением окольцованного узла фигуры грани и окольцовыванием соседних узлов. Получается тетраэдрическая призма {}×{3,3}.

Поцелуйный номер

Каждая вершина этой мозаики является центром шестимерной сферы в самой плотной известной упаковке семимерной ; его число поцелуев — 126, представленное вершинами его вершинной фигуры 2 ₃₁ .

Решетка Е7

3 ₃₁ сот Расположение вершин называется E ₇ решеткой . ^[1]

${\tilde {E}}_{7}$ содержит ${\tilde {A}}_{7}$ как подгруппа индекса 144. ^[2] Оба ${\tilde {E}}_{7}$ и ${\tilde {A}}_{7}$ можно рассматривать как аффинное расширение от $A_{7}$ из разных узлов:

Решетку E7 _{можно также} выразить как объединение вершин двух решеток A7 _, также называемых A7 _.²:

=

∪

Е  ₇^* решетка (также называемая E ₇²) ^[3] имеет двойную симметрию, представленную [[3,3 ^3,3]]. Ячейка Вороного Е ₇^* решетка — это многогранник 1 ₃₂ , а мозаика Вороного соты 1 ₃₃ — . ^[4] Е  ₇^* Решетка состоит из двух копий вершин решетки E ₇ , по одной из каждой длинной ветви диаграммы Кокстера, и может быть построена как объединение четырех A ₇^* решетки, также называемые А ₇⁴:

∪

=

∪

= двойственное

.

Связанные соты

Это размерная серия однородных многогранников и сот, выраженная Коксетером как 3 _k1 серия . Вырожденный 4-мерный случай существует как 3-сферная мозаика, тетраэдрический осоэдр .

3 _k1 размерные фигурки
Космос	Конечный				евклидов	гиперболический
н	4	5	6	7	8	9
Коксетер группа	А ₃ А ₁	A_А5	Д ₆	E ₇	${\tilde {E}}_{7}$ =E ₇⁺	${\bar {T}}_{8}$ =E ₇⁺⁺
Коксетер диаграмма
Симметрия	[3 ^−1,3,1]	[3 ^0,3,1]	[[3 ^1,3,1]] = [4,3,3,3,3]	[3 ^2,3,1]	[3 ^3,3,1]	[3 ^4,3,1]
Заказ	48	720	46,080	2,903,040	∞
График					-	-
Имя	3 _1,-1	3 ₁₀	3 ₁₁	3 ₂₁	3 ₃₁	3 ₄₁

См. также

Ссылки

^ «Решетка Е7» .
^ Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 12: Евклидовы группы симметрии, стр. 177
^ «Решетка Е7» .
^ Ячейки Вороного решеток E6 * и E7 *. Архивировано 30 января 2016 г. в Wayback Machine , Эдвард Первин.

HSM Coxeter , Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
Коксетер Красота геометрии: двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников)
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] GoogleBook
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3–45]
RT Worley , Район Вороного E7* . SIAM J. Дискретная математика, 1.1 (1988), 134–141.
Конвей, Джон Х .; Слоан, Нил Дж. А. (1998). Сферические упаковки, решетки и группы ((3-е изд.) Изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9 . с124-125, 8.2 7-мерные решетки: E7 и E7*
Клитцинг, Ричард. «7D гептакомбы x3o3o3o3o3o3o *d3o - naquoh» .

v т и Основные выпуклые правильные и однородные соты размеров 2–9.
Космос	Семья	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
И ²	Равномерная укладка плитки	{3 ^[3]}	д ₃	HD ₃	квартал ₃	Шестиугольный
И ³	Равномерные выпуклые соты	{3 ^[4]}	д ₄	HD ₄	4 _{квартала}
И ⁴	Униформа 4-сотовая	{3 ^[5]}	д ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-ячеистые соты
И ⁵	Униформа 5-сотовая	{3 ^[6]}	д ₆	HD ₆	qδ ₆
И ⁶	Униформа 6-сотовая	{3 ^[7]}	д ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
И ⁷	Униформа 7-сотовая	{3 ^[8]}	д ₈	hδ ₈	8 _{кварталов}	1 ₃₃ • 3 ₃₁
И ⁸	Униформа 8-сотовая	{3 ^[9]}	д ₉	HD ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
И ⁹	Униформа 9-сотовая	{3 ^[10]}	д ₁₀	HD ₁₀	10 _{кварталов}
И ¹⁰	Униформа 10-сотовая	{3 ^[11]}	д ₁₁	HD ₁₁	qδ ₁₁
И ^{п -1}	Равномерный ( n -1)- сотовый	{3 ^[н]}	δ _н	hδ _н	qδ _н	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁

[1] «Решетка Е7» .

[2] Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 12: Евклидовы группы симметрии, стр. 177

[3] «Решетка Е7» .

[4] Ячейки Вороного решеток E6 * и E7 *. Архивировано 30 января 2016 г. в Wayback Machine , Эдвард Первин.

[1]

[2]

[3]

[4]