Апериодическое замощение

Апериодическое замощение — это непериодическое замощение , обладающее дополнительным свойством: оно не содержит сколь угодно больших периодических областей или участков. Набор типов плиток (или прототипов ) является апериодическим , если копии этих плиток могут образовывать только непериодические мозаики .

Разбиения Пенроуза являются хорошо известным примером апериодических разбиений. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

В марте 2023 года четверо исследователей, Дэвид Смит , Джозеф Сэмюэл Майерс, Крейг С. Каплан и Хаим Гудман-Штраус , объявили о доказательстве того, что плитка, открытая Дэвидом Смитом, является апериодическим монотилем , т. е. решением проблемы Эйнштейна , задача, которая ищет существование апериодической плитки какой-либо одной формы. ^{[ 3 ]} В мае 2023 года те же авторы опубликовали хиральный апериодический монотиль с аналогичными, но более сильными ограничениями. ^{[ 4 ]}

Апериодические мозаики служат математическими моделями квазикристаллов — физических тел, открытых в 1982 году Дэном Шехтманом. ^{[ 5 ]} впоследствии получивший Нобелевскую премию в 2011 году. ^{[ 6 ]} Однако специфическая локальная структура этих материалов до сих пор мало изучена.

Известно несколько методов построения апериодических мозаик.

Определение и иллюстрация

Рассмотрим периодическое замощение единичными квадратами (оно похоже на бесконечную миллиметровку ). Теперь разрежьте один квадрат на два прямоугольника. Полученное таким образом замощение является непериодическим: не существует ненулевого сдвига, который оставил бы это замощение фиксированным. Но очевидно, что этот пример гораздо менее интересен, чем мозаика Пенроуза. Чтобы исключить такие скучные примеры, апериодическим замощением называют такое замощение, которое не содержит сколь угодно больших периодических частей.

Разбиение называется апериодическим, если его оболочка содержит только непериодические разбиения. Корпус черепицы $T\subset \mathbb {R} ^{d}$ содержит все сдвиги T + x из T вместе со всеми мозаиками, которые могут быть аппроксимированы сдвигами T . Формально это замыкание множества $\{T+x\,:\,x\in \mathbb {R} ^{d}\}$ в локальной топологии. ^{[ 7 ]} В локальной топологии (соответственно соответствующей метрике) есть два мозаики. $\varepsilon$ -закрыть, если они совпадают в шаре радиуса $1/\varepsilon$ вокруг начала координат (возможно, после сдвига одного из тайлингов на величину, меньшую, чем $\varepsilon$ ).

Чтобы дать еще более простой пример, чем приведенный выше, рассмотрим одномерную мозаику T линии, которая выглядит как... аааааабааааа ... где a представляет интервал длины один, b представляет интервал длины два. Таким образом, тайлинг T состоит из бесконечного числа копий a и одной копии b (скажем, с центром 0). Теперь все переводы T представляют собой мозаики с одним b где-то и где-то с s. Последовательность мозаик, где b центрирован в $1,2,4,\ldots ,2^{n},\ldots$ сходится – в локальной топологии – к периодическому разбиению, состоящему только из s . Таким образом, T не является апериодическим замощением, поскольку его оболочка содержит периодическое замощение... аааааа ...

Для мозаик с хорошим поведением (например, мозаики подстановки с конечным числом локальных шаблонов) справедливо: если мозаика непериодична и повторяется (т. е. каждый участок встречается равномерно плотно по всей мозаике), то она апериодична. ^{[ 7 ]}

История

Первое конкретное появление апериодических мозаик возникло в 1961 году, когда логик Хао Ван попытался определить, разрешима ли проблема домино , то есть существует ли алгоритм для определения того, допускает ли данный конечный набор прототипов мозаику плоскости. Ван нашел алгоритмы для подсчета наборов тайлов, которые не могут замостить плоскость, и наборов тайлов, которые периодически замостили ее; этим он показал, что такой алгоритм принятия решений существует, если каждый конечный набор прототайлов, допускающий замощение плоскости, также допускает периодическое замощение. В 1964 году Роберт Бергер нашел апериодический набор прототипов, на основе которого продемонстрировал, что проблема замощения на самом деле неразрешима. ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} Для этого первого такого набора, использованного Бергером в доказательстве неразрешимости, потребовалось 20 426 плиток Ванга. Позже Бергер сократил свой набор до 104, а Ганс Лойхли впоследствии нашел апериодический набор, требующий всего 40 плиток Ванга. ^{[ 10 ]} Меньший набор из шести апериодических плиток (на основе плиток Ванга) был обнаружен Рафаэлем М. Робинсоном в 1971 году. ^{[ 11 ]} Роджер Пенроуз обнаружил еще три набора в 1973 и 1974 годах, сократив количество необходимых плиток до двух, а Роберт Амманн обнаружил несколько новых наборов в 1977 году. ^{[ 12 ]} Количество требуемых плиток было сокращено до одной в 2023 году Дэвидом Смитом, Джозефом Сэмюэлем Майерсом, Крейгом С. Капланом и Хаимом Гудман-Штраусом . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 13 ]}

Апериодические мозаики Пенроуза могут быть созданы не только с помощью апериодического набора протоплиток, но также с помощью замены и метода разрезания и проецирования . После открытия квазикристаллов апериодические разбиения стали интенсивно изучаться физиками и математиками. Метод разрезания и проецирования Н.Г. де Брейна для мозаик Пенроуза в конечном итоге оказался примером теории множеств Мейера . ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} Сегодня имеется большое количество литературы по апериодическим разбиениям. ^{[ 7 ]}

Эйнштейн нем ( . , один камень) — это апериодическая ein Stein мозаика, в которой используется только одна форма. Первая такая плитка была обнаружена в 2010 году — плитка Соколара–Тейлора , однако не соединенная в одно целое. В 2023 году была обнаружена соединенная плитка, имеющая форму, получившую название «шляпа». ^{[ 16 ]}

Конструкции

Известно несколько конструкций апериодических мозаик. Некоторые конструкции основаны на бесконечных семействах апериодических наборов плиток. ^{[ 17 ]}^{[ 18 ]} Тайлинги, которые были обнаружены до сих пор, в основном построены несколькими способами, в первую очередь путем создания некой непериодической иерархической структуры. Несмотря на это, неразрешимость гарантирует проблемы домино , что должно быть бесконечно много различных принципов построения и что фактически существуют апериодические наборы плиток, для которых не может быть доказательства их апериодичности.

Однако есть три принципа построения, которые до 2023 года преимущественно использовались для конечных наборов прототипов: ^{[ 19 ]}

правила соответствия,
правила замены и расширения и
метод вырезания и проекта.

Известно, что для некоторых замощений только одна из конструкций дает это замощение. Другие могут быть построены всеми тремя классическими методами, например мозаика Пенроуза . ^{[ 19 ]}

Гудман-Страус доказал, что все мозаики, порожденные правилами замены и удовлетворяющие техническим условиям, могут быть созданы с помощью правил сопоставления. Техническое состояние среднее и на практике обычно удовлетворительное. Плитки должны допускать набор наследственных ребер, таких, чтобы мозаика замены была однородной от края до края . ^{[ 17 ]}

Апериодические иерархические мозаики посредством сопоставления

Для замощения конгруэнтных копий прототипов необходимо проложить всю евклидову плоскость без перекрытий (кроме границ) и не оставляя непокрытых участков. Поэтому границы плиток, образующих мозаику, должны совпадать геометрически. В целом это справедливо для всех замощений, как апериодических, так и периодических. Иногда этого условия геометрического соответствия достаточно, чтобы сделать набор плиток апериодическим, как, например, в случае с мозаиками Робинсиона, обсуждаемыми ниже.

дополнительные правила сопоставления Иногда для выполнения требуются . Обычно это цвета или маркировка, которые должны совпадать на нескольких плитках через границы. Плитки Вана обычно требуют таких дополнительных правил.

В некоторых случаях можно было полностью заменить правила сопоставления условиями геометрического сопоставления, изменив прототипы на их границах. Плитка Пенроуза (P1) изначально состоит из четырех прототипов вместе с некоторыми правилами сопоставления. Одна из четырех плиток представляет собой пятиугольник. Можно заменить этот прототип пятиугольника тремя отдельными пятиугольными формами, которые имеют дополнительные выступы и углубления на границе, образуя три отдельные плитки. Вместе с тремя другими прототипами с соответствующим образом адаптированными границами получается набор из шести прототипов, которые по существу создают те же апериодические мозаики, что и исходные четыре плитки, но для шести плиток не требуются дополнительные правила сопоставления, достаточно условия геометрического сопоставления.

Также обратите внимание, что приведенные ниже профили Robinsion оснащены маркировкой, облегчающей визуальное распознавание структуры, но эта маркировка не накладывает на плитки больше правил соответствия, которые уже установлены через геометрические границы.

На сегодняшний день не существует формального определения, описывающего, когда тайлинг имеет иерархическую структуру; тем не менее, ясно, что они есть в мозаиках подстановки, как и в мозаиках Бергера, Кнута , Лойхли , Робинсона и Аммана . Как и сам термин «апериодическая мозаика», термин «апериодическая иерархическая мозаика» является удобным сокращением, означающим что-то вроде «набора плиток, допускающих только непериодические мозаики с иерархической структурой».

Для апериодических мозаик, независимо от того, задействованы дополнительные правила сопоставления или нет, условия сопоставления навязывают некоторую иерархическую структуру мозаики, которая, в свою очередь, делает невозможными периодические структуры.

Каждый из этих наборов плиток, в любом разрешенном ими разбиении, создает определенную иерархическую структуру. (Во многих более поздних примерах эту структуру можно описать как систему мозаики замены; это описано ниже). Никакое замощение, допускаемое таким набором плиток, не может быть периодическим просто потому, что ни один перевод не может оставить всю иерархическую структуру неизменной. Рассмотрим плитки Робинсона 1971 года:

Любое замощение этими плитками может демонстрировать только иерархию квадратных решеток: центр любого оранжевого квадрата также является углом большего оранжевого квадрата, до бесконечности. Любой сдвиг должен быть меньше некоторого размера квадрата и поэтому не может оставить такое разбиение инвариантным.

Робинсон доказывает, что эти плитки должны индуктивно образовывать эту структуру; по сути, плитки должны образовывать блоки, которые сами по себе складываются в более крупные версии исходных плиток и так далее. Эта идея – поиска наборов плиток, которые могут допускать только иерархические структуры – на сегодняшний день использовалась при построении большинства известных апериодических наборов плиток.

Однако мозаика, полученная таким способом, не уникальна, даже с точки зрения изометрий евклидовой группы , например, сдвигов и вращений . Полное замощение плоскости, построенное из плиток Робинсиона, может иметь или не иметь разломы (также называемые коридорами ), уходящие в бесконечность в четырех рукавах , и есть дополнительные варианты, которые позволяют кодировать бесконечные слова из Σ. ^ой для алфавита Σ до четырех букв. ^{[ 12 ]} Таким образом, бесчисленное из плиток Робинсиона может возникнуть множество различных мозаик, не связанных евклидовыми изометриями, причем все они обязательно непериодические.

Замены

Системы мозаики подстановки представляют собой богатый источник апериодических мозаик. Говорят, что набор плиток, который вызывает появление структуры замещения, обеспечивает соблюдение структуры замещения. Например, показанные ниже плитки стульев допускают замену, а часть плитки замены показана справа внизу. Эти мозаики замены обязательно непериодичны, точно так же, как описано выше, но сама плитка стула не является апериодической - периодические мозаики легко найти по немаркированным плиткам стульев, которые удовлетворяют условиям геометрического соответствия.

Однако показанные ниже плитки вызывают появление структуры замены стула, поэтому сами по себе они апериодичны. ^{[ 20 ]}

Плитки Пенроуза, а вскоре после этого и Аммана . несколько различных наборов плиток ^{[ 21 ]} были первым примером, основанным на явном создании структуры мозаики замещения. Джошуа Соколар , ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]} Роджер Пенроуз , ^{[ 24 ]} Людвиг Данцер , ^{[ 25 ]} и Хаим Гудман-Штраус ^{[ 20 ]} нашли несколько последующих наборов. Шахар Мозес предложил первую общую конструкцию, показав, что каждый продукт одномерных систем замещения может быть реализован с помощью правил сопоставления. ^{[ 18 ]} Чарльз Радин нашел правила, обеспечивающие соблюдение системы мозаики замены Конвея-вертушки . ^{[ 26 ]} В 1998 году Гудман-Штраус показал, что можно найти локальные правила сопоставления, позволяющие создать любую структуру мозаики замены при соблюдении некоторых мягких условий. ^{[ 17 ]}

Метод вырезания и проецирования

Непериодические мозаики также могут быть получены путем проецирования структур более высокой размерности в пространства с более низкой размерностью, и при некоторых обстоятельствах могут существовать плитки, которые обеспечивают эту непериодическую структуру и поэтому являются апериодическими. Плитки Пенроуза — первый и самый известный пример этого, как впервые было отмечено в новаторской работе де Брейна . ^{[ 27 ]} Пока еще не существует полной (алгебраической) характеристики мозаики разреза и проекта, которую можно было бы обеспечить с помощью правил сопоставления, хотя известны многочисленные необходимые или достаточные условия. ^{[ 28 ]}

Другие методы

Было обнаружено всего несколько различных типов конструкций. Примечательно, что Яркко Кари дал апериодический набор плиток Ванга, основанный на умножении на 2 или 2/3 действительных чисел, закодированных строками плиток (кодирование связано с последовательностями Штурма, составленными как разности последовательных элементов последовательностей Битти ), с апериодичность, главным образом, основанная на том, что 2 ^н/3 ^м никогда не равен 1 ни для каких положительных целых чисел n и m . ^{[ 29 ]} Позже этот метод был адаптирован Гудманом-Штраусом для получения сильно апериодического набора плиток в гиперболической плоскости. ^{[ 30 ]} Шахар Мозес нашел множество альтернативных конструкций апериодических наборов плиток, некоторые в более экзотических условиях; например, в полупростых группах Ли . ^{[ 31 ]} Блок и Вайнбергер использовали гомологические методы для построения апериодических наборов плиток для всех неаменабельных многообразий . ^{[ 32 ]} Джошуа Соколар также предложил еще один способ обеспечения апериодичности — чередование условий . ^{[ 33 ]} Обычно это приводит к получению гораздо меньших наборов плиток, чем тот, который получается в результате замен.

Физика

Апериодические мозаики считались математическими артефактами до 1984 года, когда физик Дэн Шехтман объявил об открытии фазы алюминиево-марганцевого сплава, которая давала четкую дифрактограмму с однозначной пятикратной симметрией. ^{[ 5 ]} – значит, это должно было быть кристаллическое вещество с икосаэдрической симметрией. В 1975 году Роберт Амманн уже расширил конструкцию Пенроуза до трехмерного икосаэдрического эквивалента. В таких случаях термин «тайлинг» означает «заполнение пространства». Фотонные устройства в настоящее время представляют собой апериодические последовательности разных слоев, которые, таким образом, являются апериодическими в одном направлении и периодическими в двух других. Квазикристаллические структуры Cd–Te, по-видимому, состоят из атомных слоев, в которых атомы расположены плоскостно апериодически. Иногда для таких апериодических структур наблюдается энергетический минимум или максимум энтропии. Стейнхардт показал, что перекрывающиеся декагоны Гаммельта позволяют применить экстремальный принцип и, таким образом, обеспечивают связь между математикой апериодических мозаик и структурой квазикристаллов. ^{[ 34 ]} волны Фарадея образуют большие участки апериодических узоров. Было замечено, что ^{[ 35 ]} Физика этого открытия возродила интерес к несоизмеримым структурам и частотам, предполагая связать апериодические мозаики с интерференционными явлениями. ^{[ 36 ]}

Путаница в терминологии

Термин апериодический использовался по-разному в математической литературе по мозаикам (а также в других математических областях, таких как динамические системы или теория графов, в совершенно разных значениях). В отношении мозаик термин апериодический иногда использовался как синоним термина непериодический. Непериодический тайлинг — это просто мозаика, которая не фиксируется каким - либо нетривиальным сдвигом. Иногда этот термин описывает – неявно или явно – мозаику, созданную апериодическим набором прототипов. Часто термин «апериодический» использовался лишь неопределенно для описания рассматриваемых структур, имея в виду физические апериодические твердые тела, а именно квазикристаллы, или что-то непериодическое с каким-то глобальным порядком. ^{[ 37 ]}

Использование слова «плитка» также проблематично, несмотря на его простое определение. не существует единственного разбиения Пенроуза Например, : ромбы Пенроуза допускают бесконечное множество разбиений (которые нельзя различить локально). Обычное решение — стараться осторожно использовать эти термины в технических текстах, но признавать широкое использование неформальных терминов.

См. также

Плитки Гириха - пять плиток, используемых в исламском декоративном искусстве.
Список апериодических наборов плиток
Квазикристалл – Химическая структура
Zellige – оформление мозаикой.

Ссылки

^ Гарднер, Мартин (январь 1977 г.). «Математические игры». Научный американец . 236 (1): 111–119. Бибкод : 1977SciAm.236a.110G . doi : 10.1038/scientificamerican0177-110 .
^ Гарднер, Мартин (1988). Плитки Пенроуза к шифрам с люками . WH Freeman & Co. ISBN 978-0-7167-1987-8 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Смит, Дэвид; Майерс, Джозеф Сэмюэл; Каплан, Крейг С.; Гудман-Штраусс, Хаим (19 марта 2023 г.). «Апериодический монотиль». arXiv : 2303.10798 [ math.CO ].
^ Перейти обратно: ^а ^б Смит, Дэвид; Майерс, Джозеф Сэмюэл; Каплан, Крейг С.; Гудман-Штраус, Хаим (28 мая 2023 г.). «Хиральный апериодический монотиль». arXiv : 2305.17743 [ math.CO ].
^ Перейти обратно: ^а ^б Шехтман, Д.; Блех, И.; Гратиас, Д.; Кан, JW (1984). «Металлическая фаза с дальним ориентационным порядком и отсутствием трансляционной симметрии» . Письма о физических отзывах . 53 (20): 1951–1953. Бибкод : 1984PhRvL..53.1951S . doi : 10.1103/PhysRevLett.53.1951 .
^ «Нобелевская премия по химии 2011» . Нобелевская премия . Проверено 6 октября 2011 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Бааке, М.; Гримм, Уве (2013). Апериодический порядок. Том 1: Математическое приглашение . Издательство Кембриджского университета.
^ Роберт Бергер в проекте «Математическая генеалогия» .
^ Бергер, Роберт (1966). «Неразрешимость проблемы домино». Мемуары Американского математического общества (66): 1–72.
^ Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри Колин (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman. п. 584ф. ISBN 0-7167-1193-1 .
^ Робинсон, Рафаэль М. (1971). «Неразрешимость и непериодичность разбиений плоскости». Математические изобретения . 12 (3): 177–209. Бибкод : 1971InMat..12..177R . дои : 10.1007/BF01418780 . S2CID 14259496 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри Колин (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman. п. 528ф. ISBN 0-7167-1193-1 .
^ «Бромли Тайлерс» . Проверено 26 июля 2023 г.
^ Лагариас, Дж. К. (1996). «Концепция Мейера о квазикристалле и квазирегулярных множествах» . Связь в математической физике . 179 (2): 356–376. Бибкод : 1996CMaPh.179..365L . дои : 10.1007/BF02102593 . S2CID 122753893 .
^ Муди, Р.В. (1997). «Множества Мейера и их двойники». В Moody, RV (ред.). Математика дальнего апериодического порядка . НАТО ASI Series C. стр. 403–441. дои : 10.1007/978-94-015-8784-6_16 . ISBN 978-90-481-4832-5 .
^ Коновер, Эмили (24 марта 2023 г.). «Математики наконец-то обнаружили неуловимую плитку Эйнштейна» . Новости науки . Проверено 25 марта 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Гудман-Штраус, Хаим (1998). «Правила сопоставления и мозаики замены» . Анналы математики . 147 (1): 181–223. CiteSeerX 10.1.1.173.8436 . дои : 10.2307/120988 . JSTOR 120988 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Мозес, Шахар (1989). «Мозаики, системы подстановки и порожденные ими динамические системы». Журнал Математического Анализа . 53 (1): 139–186. дои : 10.1007/BF02793412 . S2CID 121775031 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Тревиньо, Родриго (2023). «Апериодические мозаики, порядок и случайность» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 70 (8): 1183. doi : 10.1090/noti2759 . S2CID 260818304 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Гудман-Штраус, Хаим (1999). «Небольшой апериодический набор плоских плиток» . Европейский журнал комбинаторики . 20 (5): 375–384. дои : 10.1006/eujc.1998.0281 .
^ Грюнбаум, Бранко ; Джеффри С. Шепард (1986). Плитки и узоры . WH Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-1194-0 .
^ Сенешаль, Марджори (1996) [1995]. Квазикристаллы и геометрия (исправленное издание в мягкой обложке). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-57541-6 .
^ Соколар, JES (1989). «Простые восьмиугольные и додекагональные квазикристаллы». Физ. Преподобный Б. 39 (15): 10519–51. Бибкод : 1989PhRvB..3910519S . дои : 10.1103/PhysRevB.39.10519 . ПМИД 9947860 .
^ Пенроуз, Р. (1997). «Замечания о тайлинге: детали 1 + ε + ε ²-апериодический набор». Апериодический порядок дальнего действия по математике, Институт передовых научных исследований НАТО, Серия C. Math. Phys. Sci . 489 : 467–497.
^ Нишке, К.-П.; Данцер, Л. (1996). «Построение правил инфляции на основе n -кратной симметрии» . Дискретная и вычислительная геометрия . 15 (2): 221–236. дои : 10.1007/BF02717732 .
^ Радин, Чарльз (1994). «Вертушка плоскости». Анналы математики . 139 (3): 661–702. дои : 10.2307/2118575 . JSTOR 2118575 .
^ Н.Г. де Брёйн, Недерль. акад. Научно. Нет. Математика. 43 , 39–52, 53–66 (1981). Алгебраическая теория непериодических разбиений Пенроуза плоскости , I, II
^ См., например, опрос Ле, TTQ (1997). «Локальные правила для квазипериодических мозаик». В Moody, RV (ред.). Математика дальнего апериодического порядка . НАТО Adv. наук. Инст. Сер. С. Математика. Физ. наук. Том. 489. стр. 331–366. дои : 10.1007/978-94-015-8784-6_13 . ISBN 978-90-481-4832-5 .
^ Кари, Яркко (1996). «Небольшой апериодический набор плиток Ванга». Дискретная математика . 160 (1–3): 259–264. дои : 10.1016/0012-365X(95)00120-L .
^ Гудман-Штраус, Хаим (2005). «Сильно апериодический набор плиток в гиперболической плоскости» . Математические изобретения . 159 (1): 119–132. Бибкод : 2004InMat.159..119G . CiteSeerX 10.1.1.477.1974 . дои : 10.1007/s00222-004-0384-1 . S2CID 5348203 .
^ Моисей, Шахар (1997). «Апериодические мозаики». Математические открытия . 128 (3): 603–611. Бибкод : 1997InMat.128..603M . дои : 10.1007/s002220050153 . S2CID 189819776 .
^ Блок, Дж.; Вайнбергер, С. (1992). «Апериодические разбиения, положительная скалярная кривизна и аменабельность пространств» . Журнал Американского математического общества . 5 (4): 907–918. doi : 10.1090/s0894-0347-1992-1145337-x .
^ Соколар, Джошуа (1990). «Слабые правила соответствия для квазикристаллов» . Связь в математической физике . 129 (3): 599–619. Бибкод : 1990CMaPh.129..599S . дои : 10.1007/BF02097107 . S2CID 123629334 .
^ Стейнхардт, Пол Дж. «Новая парадигма структуры квазикристаллов» . Архивировано из оригинала 23 февраля 2007 года . Проверено 26 марта 2007 г.
^ Эдвардс, В.; Фов, С. (1993). «Параметрически возбуждаемые квазикристаллические поверхностные волны». Физический обзор E . 47 (2): R788–R791. Бибкод : 1993PhRvE..47..788E . дои : 10.1103/PhysRevE.47.R788 . ПМИД 9960162 .
^ Леви, Дж. К. С.; Мерсье, Д. (2006). «Стабильные квазикристаллы». Акта Физ. Суперфициерум . 8 : 115.
^ Каплан, Крейг (2009). Вводная теория тайлинга для компьютерной графики . Издательство Морган и Клейпул. п. 55. ИСБН 9781608450183 .

Внешние ссылки

[1] Гарднер, Мартин (январь 1977 г.). «Математические игры». Научный американец . 236 (1): 111–119. Бибкод : 1977SciAm.236a.110G . doi : 10.1038/scientificamerican0177-110 .

[2] Гарднер, Мартин (1988). Плитки Пенроуза к шифрам с люками . WH Freeman & Co. ISBN 978-0-7167-1987-8 .

[smith-3] Перейти обратно: ^а ^б Смит, Дэвид; Майерс, Джозеф Сэмюэл; Каплан, Крейг С.; Гудман-Штраусс, Хаим (19 марта 2023 г.). «Апериодический монотиль». arXiv : 2303.10798 [ math.CO ].

[Smith_Myers_Kaplan_Goodman-Strauss_2023_chiral-4] Перейти обратно: ^а ^б Смит, Дэвид; Майерс, Джозеф Сэмюэл; Каплан, Крейг С.; Гудман-Штраус, Хаим (28 мая 2023 г.). «Хиральный апериодический монотиль». arXiv : 2305.17743 [ math.CO ].

[schechtman-5] Перейти обратно: ^а ^б Шехтман, Д.; Блех, И.; Гратиас, Д.; Кан, JW (1984). «Металлическая фаза с дальним ориентационным порядком и отсутствием трансляционной симметрии» . Письма о физических отзывах . 53 (20): 1951–1953. Бибкод : 1984PhRvL..53.1951S . doi : 10.1103/PhysRevLett.53.1951 .

[nobel-6] «Нобелевская премия по химии 2011» . Нобелевская премия . Проверено 6 октября 2011 г.

[tao-7] Перейти обратно: ^а ^б ^с Бааке, М.; Гримм, Уве (2013). Апериодический порядок. Том 1: Математическое приглашение . Издательство Кембриджского университета.

[8] Роберт Бергер в проекте «Математическая генеалогия» .

[9] Бергер, Роберт (1966). «Неразрешимость проблемы домино». Мемуары Американского математического общества (66): 1–72.

[gs-10] Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри Колин (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman. п. 584ф. ISBN 0-7167-1193-1 .

[11] Робинсон, Рафаэль М. (1971). «Неразрешимость и непериодичность разбиений плоскости». Математические изобретения . 12 (3): 177–209. Бибкод : 1971InMat..12..177R . дои : 10.1007/BF01418780 . S2CID 14259496 .

[gs2-12] Перейти обратно: ^а ^б Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри Колин (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman. п. 528ф. ISBN 0-7167-1193-1 .

[13] «Бромли Тайлерс» . Проверено 26 июля 2023 г.

[14] Лагариас, Дж. К. (1996). «Концепция Мейера о квазикристалле и квазирегулярных множествах» . Связь в математической физике . 179 (2): 356–376. Бибкод : 1996CMaPh.179..365L . дои : 10.1007/BF02102593 . S2CID 122753893 .

[15] Муди, Р.В. (1997). «Множества Мейера и их двойники». В Moody, RV (ред.). Математика дальнего апериодического порядка . НАТО ASI Series C. стр. 403–441. дои : 10.1007/978-94-015-8784-6_16 . ISBN 978-90-481-4832-5 .

[16] Коновер, Эмили (24 марта 2023 г.). «Математики наконец-то обнаружили неуловимую плитку Эйнштейна» . Новости науки . Проверено 25 марта 2023 г.

[goodman-strauss_(1998)-17] Перейти обратно: ^а ^б ^с Гудман-Штраус, Хаим (1998). «Правила сопоставления и мозаики замены» . Анналы математики . 147 (1): 181–223. CiteSeerX 10.1.1.173.8436 . дои : 10.2307/120988 . JSTOR 120988 .

[Mozes_(1989)-18] Перейти обратно: ^а ^б Мозес, Шахар (1989). «Мозаики, системы подстановки и порожденные ими динамические системы». Журнал Математического Анализа . 53 (1): 139–186. дои : 10.1007/BF02793412 . S2CID 121775031 .

[notices2023-19] Перейти обратно: ^а ^б Тревиньо, Родриго (2023). «Апериодические мозаики, порядок и случайность» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 70 (8): 1183. doi : 10.1090/noti2759 . S2CID 260818304 .

[goodman-strauss_(1999a)-20] Перейти обратно: ^а ^б Гудман-Штраус, Хаим (1999). «Небольшой апериодический набор плоских плиток» . Европейский журнал комбинаторики . 20 (5): 375–384. дои : 10.1006/eujc.1998.0281 .

[grunbaum_and_shephard-21] Грюнбаум, Бранко ; Джеффри С. Шепард (1986). Плитки и узоры . WH Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-1194-0 .

[senechal-22] Сенешаль, Марджори (1996) [1995]. Квазикристаллы и геометрия (исправленное издание в мягкой обложке). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-57541-6 .

[23] Соколар, JES (1989). «Простые восьмиугольные и додекагональные квазикристаллы». Физ. Преподобный Б. 39 (15): 10519–51. Бибкод : 1989PhRvB..3910519S . дои : 10.1103/PhysRevB.39.10519 . ПМИД 9947860 .

[24] Пенроуз, Р. (1997). «Замечания о тайлинге: детали 1 + ε + ε ²-апериодический набор». Апериодический порядок дальнего действия по математике, Институт передовых научных исследований НАТО, Серия C. Math. Phys. Sci . 489 : 467–497.

[25] Нишке, К.-П.; Данцер, Л. (1996). «Построение правил инфляции на основе n -кратной симметрии» . Дискретная и вычислительная геометрия . 15 (2): 221–236. дои : 10.1007/BF02717732 .

[26] Радин, Чарльз (1994). «Вертушка плоскости». Анналы математики . 139 (3): 661–702. дои : 10.2307/2118575 . JSTOR 2118575 .

[27] Н.Г. де Брёйн, Недерль. акад. Научно. Нет. Математика. 43 , 39–52, 53–66 (1981). Алгебраическая теория непериодических разбиений Пенроуза плоскости , I, II

[28] См., например, опрос Ле, TTQ (1997). «Локальные правила для квазипериодических мозаик». В Moody, RV (ред.). Математика дальнего апериодического порядка . НАТО Adv. наук. Инст. Сер. С. Математика. Физ. наук. Том. 489. стр. 331–366. дои : 10.1007/978-94-015-8784-6_13 . ISBN 978-90-481-4832-5 .

[29] Кари, Яркко (1996). «Небольшой апериодический набор плиток Ванга». Дискретная математика . 160 (1–3): 259–264. дои : 10.1016/0012-365X(95)00120-L .

[30] Гудман-Штраус, Хаим (2005). «Сильно апериодический набор плиток в гиперболической плоскости» . Математические изобретения . 159 (1): 119–132. Бибкод : 2004InMat.159..119G . CiteSeerX 10.1.1.477.1974 . дои : 10.1007/s00222-004-0384-1 . S2CID 5348203 .

[31] Моисей, Шахар (1997). «Апериодические мозаики». Математические открытия . 128 (3): 603–611. Бибкод : 1997InMat.128..603M . дои : 10.1007/s002220050153 . S2CID 189819776 .

[32] Блок, Дж.; Вайнбергер, С. (1992). «Апериодические разбиения, положительная скалярная кривизна и аменабельность пространств» . Журнал Американского математического общества . 5 (4): 907–918. doi : 10.1090/s0894-0347-1992-1145337-x .

[33] Соколар, Джошуа (1990). «Слабые правила соответствия для квазикристаллов» . Связь в математической физике . 129 (3): 599–619. Бибкод : 1990CMaPh.129..599S . дои : 10.1007/BF02097107 . S2CID 123629334 .

[34] Стейнхардт, Пол Дж. «Новая парадигма структуры квазикристаллов» . Архивировано из оригинала 23 февраля 2007 года . Проверено 26 марта 2007 г.

[35] Эдвардс, В.; Фов, С. (1993). «Параметрически возбуждаемые квазикристаллические поверхностные волны». Физический обзор E . 47 (2): R788–R791. Бибкод : 1993PhRvE..47..788E . дои : 10.1103/PhysRevE.47.R788 . ПМИД 9960162 .

[36] Леви, Дж. К. С.; Мерсье, Д. (2006). «Стабильные квазикристаллы». Акта Физ. Суперфициерум . 8 : 115.

[37] Каплан, Крейг (2009). Вводная теория тайлинга для компьютерной графики . Издательство Морган и Клейпул. п. 55. ИСБН 9781608450183 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]