Набор Мейера
В математике множество Мейера или почти решетка — это относительно плотное множество X точек на евклидовой плоскости более высокой размерности, или евклидовом пространстве такое, что его разность Минковского сама с собой равномерно дискретна . Множества Мейера имеют несколько эквивалентных характеристик; они названы в честь Ива Мейера , который представил и изучил их в контексте диофантовой аппроксимации. В настоящее время множества Мейера наиболее известны как математическая модель квазикристаллов . Однако работа Мейера более чем на десять лет предшествовала открытию квазикристаллов и была полностью мотивирована вопросами теории чисел. [1] [2]
Определение и характеристики
[ редактировать ]Подмножество X метрического пространства является относительно плотным, если существует число r такое, что все точки X находятся на расстоянии r от X , и равномерно дискретным, если существует число ε такое, что никакие две точки от X. X не находятся на расстоянии r ε друг друга. Множество, которое является одновременно относительно плотным и равномерно дискретным, называется множеством Делоне . Когда X является подмножеством векторного пространства , его разность Минковского X − X представляет собой множество { x − y | x , y в X разностей пар элементов X. } [3]
С помощью этих определений множество Мейера можно определить как относительно плотное множество X, для которого X - X равномерно дискретно. Эквивалентно, это множество Делоне, для которого X - X является Делоне, [1] или множество Делоне X, для которого существует конечное множество F такое, что X − X ⊂ X + F [4]
Некоторые дополнительные эквивалентные характеристики включают множество
определенное для данных X и ε и аппроксимирующее (по мере того, как приближается к нулю) определение обратной решетки решетки ε . Относительно плотное множество X является множеством Мейера тогда и только тогда, когда
- Для всех ε > 0 X е является относительно плотным или, что эквивалентно,
- Существует ε с 0 < ε < 1/2, для которого X е является относительно плотным. [1]
Характер комплексных аддитивно замкнутого подмножества векторного пространства — это функция, которая отображает набор в единичный круг на плоскости чисел , так что сумма любых двух элементов отображается в произведение их изображений. Множество X называется гармоничным множеством , если для каждого характера χ на аддитивном замыкании X и каждого ε > 0 существует непрерывный характер на всем пространстве, который ε -аппроксимирует χ . Тогда относительно плотное множество X является множеством Мейера тогда и только тогда, когда оно гармонично. [1]
Примеры
[ редактировать ]В наборы Мейера входят
- Точки любой решетки
- Вершины любого ромбического мозаики Пенроуза. [5]
- Сумма Минковского другого множества Мейера с любым непустым конечным множеством [4]
- Любое относительно плотное подмножество другого множества Мейера. [6]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б с д Муди, Роберт В. (1997), «Множества Мейера и их двойники», Математика дальнего апериодического порядка (Ватерлоо, Онтарио, 1995) , Серия C Институтов передовых научных исследований НАТО: Математические и физические науки, том. 489, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, стр. 403–441, MR 1460032 .
- ^ Лагариас, Дж. К. (1996), «Концепция Мейера о квазикристаллах и квазирегулярных множествах» , Communications in Mathematical Physics , 179 (2): 365–376, doi : 10.1007/bf02102593 , MR 1400744 .
- ^ Муди дает разные определения относительной плотности и равномерной дискретности, специализирующиеся на локально компактных группах, но отмечает, что эти определения совпадают с обычными для вещественных векторных пространств.
- ^ Перейти обратно: а б Муди (1997) , Раздел 7.
- ^ Муди (1997) , Раздел 3.2.
- ^ Муди (1997) , Следствие 6.7.