Гармоничный комплект

В математике — гармоничное множество это подмножество локально компактной абелевой группы , на котором каждый слабый характер может быть равномерно аппроксимирован сильными характерами. Эквивалентно, правильно определенное двойственное множество относительно плотно в двойственной по Понтрягину группе, . Это понятие было введено Ивом Мейером в 1970 году и впоследствии сыграло важную роль в математической теории квазикристаллов . Некоторыми связанными понятиями являются наборы моделей , множества Мейера и множества вырезаний и проекций .

Определение

Пусть Λ — подмножество локально компактной абелевой группы G , а Λ _d — подгруппа G, порожденная Λ , с дискретной топологией . Слабый характер — это ограничение на Λ алгебраического гомоморфизма из Λ _d в группу окружностей :

$\chi :\Lambda _{d}\to \mathbf {T} ,\quad \chi \in \operatorname {Hom} (\Lambda _{d},\mathbf {T} ).$

Сильный характер — это ограничение на Λ непрерывного гомоморфизма из G в T , который является элементом двойственного к G Понтрягину .

Множество Λ является гармоничным , если каждый слабый характер можно аппроксимировать сильные характеры равномерно на Λ . Таким образом, для любого ε > 0 и любого слабого характера χ существует сильный характер ξ такой, что

$\sup _{\Lambda }|\chi (\lambda )-\xi (\lambda )|\leq \epsilon ,\quad \chi \in \operatorname {Hom} (\Lambda _{d},\mathbf {T} ),\xi \in {\hat {G}}.$

Если локально компактная абелева группа G сепарабельна . и метризуема (ее топология может быть определена трансляционно-инвариантной метрикой), то гармоничные множества допускают другое, связанное с ней описание подмножество Λ группы G и положительное ε , пусть Mε _{Учитывая} — подмножество двойственного к G Понтрягину, состоящее из всех характеров, которые почти тривиальны на Λ :

$\sup _{\Lambda }|\chi (\lambda )-1|\leq \epsilon ,\quad \chi \in {\hat {G}}.$

Тогда Λ гармонично, если множества Mε _ε относительно плотны в смысле Безиковича : для любого > 0 существует компактное подмножество Kε _что двойственного по Понтрягину подмножества такое,

$M_{\epsilon }+K_{\epsilon }={\hat {G}}.$

Характеристики

• Подмножество гармоничного набора является гармоничным.
• Если Λ — гармоничное множество, а F — конечное множество, то множество Λ + F также является гармоничным.

Следующие два свойства показывают, что понятие гармоничного множества нетривиально только тогда, когда объемлющая группа не является ни компактной, ни дискретной.

• Конечное множество Λ всегда гармонично. Если группа G компактна, то, наоборот, всякое гармоничное множество конечно.
• Если G — дискретная группа , то каждое множество гармонично.

Примеры

Интересные примеры мультипликативно замкнутых гармонических множеств действительных чисел возникают в теории диофантовой аппроксимации .

• Пусть G — аддитивная группа действительных чисел , θ >1, а множество Λ состоит из всех конечных сумм различных степеней θ . Тогда Λ гармонична тогда и только тогда, когда θ — число Писо . В частности, гармонична последовательность степеней числа Писо.
• Пусть K — поле действительных алгебраических чисел степени n над Q и множество Λ всех чисел Пизо или Салема степени n из K. состоит из Тогда Λ содержится в открытом интервале (1,∞), замкнутом относительно умножения и гармоническом. И наоборот, любой набор действительных чисел с этими тремя свойствами состоит из всех чисел Писо или Салема степени n в некотором поле действительных алгебраических чисел K степени n .

См. также

• Почти периодическая функция

Ссылки

• Ив Мейер , Алгебраические числа и гармонический анализ , Математическая библиотека Северной Голландии, том 2, Северная Голландия, 1972 г.