Число Писо – Виджаярагавана

В математике число Писо–Виджаярагхавана , также называемое просто числом Писо или числом ПВ , представляет собой действительное алгебраическое целое число, большее 1, все сопряженные которого по Галуа меньше 1 по абсолютной величине . Эти числа были открыты Акселем Туэ в 1912 году и заново открыты Г.Х. Харди в 1919 году в контексте диофантовой аппроксимации . Они стали широко известны после публикации диссертации Шарля Писо в 1938 году. Они также встречаются в проблеме единственности рядов Фурье . Тирукканнапурам Виджаярагаван и Рафаэль Салем продолжили свое обучение в 1940-х годах. Числа Салема представляют собой тесно связанный набор чисел.

Характерным свойством чисел PV является то, что их степени приближаются к целым числам с экспоненциальной скоростью. Писо доказал замечательное обратное : если α > 1 — такое действительное число, что последовательность

$\|\alpha ^{n}\|$

измерение расстояния от его последовательных степеней до ближайшего целого числа суммируется с квадратом или ℓ ² , то α — число Писо (и, в частности, алгебраическое). Опираясь на эту характеристику чисел PV, Салем показал, что множество S всех чисел PV замкнуто . Его минимальным элементом является кубическая иррациональность, известная как коэффициент пластичности . Многое известно о накопления S . точках Наименьшее из них – золотое сечение .

Определение и свойства

Целое число степени n — это корень α неприводимого ( монического многочлена P алгебраическое x ) степени n с целыми коэффициентами, его минимальный многочлен . Остальные корни P ( x ) называются сопряженными к α . Если α > 1, но все остальные корни P ( x ) являются действительными или комплексными числами с абсолютным значением меньше 1, так что они лежат строго внутри единичного круга в комплексной плоскости , то α называется числом Писо , Писо – Виджаярагхавана. номер или просто номер PV . Например, золотое сечение , φ ≈ 1,618, представляет собой вещественное квадратичное целое число , превышающее 1, а абсолютное значение его сопряженного числа, − φ ⁻¹ ≈ −0,618 меньше 1. Следовательно, φ является числом Писо. Его минимальный полином равен x ² − х − 1.

Элементарные свойства

• Каждое целое число больше 1 является номером PV. И наоборот, каждое рациональное число PV представляет собой целое число, большее 1.
• Если α — иррациональное число PV, минимальный многочлен которого заканчивается на k , то α больше | к |.
• Если α является числом PV, то такими же являются и его степени α ^к , для всех положительных целых показателей k .
• Каждое поле действительных алгебраических чисел K степени n содержит число PV степени n . Это число является генератором поля. Множество всех чисел ПВ степени n из K замкнуто относительно умножения.
• Учитывая верхнюю границу M и степень n , существует только конечное число чисел PV степени n, меньше M. которые
• Каждое число PV является числом Перрона (действительным алгебраическим числом больше единицы, все сопряженные которого имеют меньшее абсолютное значение).

Диофантовые свойства

Основной интерес к числам PV обусловлен тем, что их степени имеют весьма «предвзятое» распределение (mod 1). Если α — число PV, а λ — любое целое алгебраическое число в поле $\mathbb {Q} (\alpha )$ тогда последовательность

$\|\lambda \alpha ^{n}\|,$

где || х || обозначает расстояние от действительного числа x до ближайшего целого числа, приближается к 0 с экспоненциальной скоростью. В частности, это суммируемая с квадратом последовательностьи его члены сходятся к 0.

Известны два обратных утверждения: они характеризуют числа PV среди всех действительных чисел и среди алгебраических чисел (но при более слабом диофантовом предположении).

• Предположим, что α — действительное число, большее 1, а λ — ненулевое действительное число такое, что

$\sum _{n=1}^{\infty }\|\lambda \alpha ^{n}\|^{2}<\infty .$

Тогда α — число Писо, а λ — алгебраическое число из поля $\mathbb {Q} (\alpha )$ ( теорема Писо ).

• Предположим, что α — алгебраическое число, большее 1, а λ — ненулевое действительное число такое, что

$\|\lambda \alpha ^{n}\|\to 0,\quad n\to \infty .$

Тогда α — число Писо, а λ — алгебраическое число из поля $\mathbb {Q} (\alpha )$.

Давняя проблема Писо – Виджаярагавана предположение о том, что α спрашивает , можно ли исключить из последнего утверждения является алгебраическим. Если ответ утвердительный, числа Писо будут характеризоваться среди всех действительных чисел простой сходимостью || λα ^н || до 0 для некоторого вспомогательного вещественного числа λ . Известно, что , обладающих этим свойством, лишь счётное число чисел α . Проблема состоит в том, чтобы решить, является ли какое-либо из них трансцендентным .

Топологические свойства

Множество всех чисел Писо обозначается S . Поскольку числа Писо алгебраичны, множество S счетно. Рафаэль Салем доказал, что это множество замкнуто : оно содержит все свои предельные точки . Его доказательство использует конструктивную версию основного диофантового свойства чисел Писо: учитывая число Писо α , действительное число λ можно выбрать так, что 0 < λ ≤ α и

$\sum _{n=1}^{\infty }\|\lambda \alpha ^{n}\|^{2}\leq 9.$

Таким образом, ℓ ² норма последовательности || λα ^н || может быть ограничено равномерной константой, не зависящей от α . На последнем этапе доказательства используется характеристика Писо, чтобы прийти к выводу, что предел последовательности чисел Писо сам по себе является числом Писо.

Замкнутость S означает, что он имеет минимальный элемент . Карл Сигел доказал, что это положительный корень уравнения x ³ − x − 1 знак равно 0 ( пластическая константа и изолирован в S. ) Он построил две последовательности чисел Писо, сходящиеся к золотому сечению φ, снизу является ли φ наименьшей предельной точкой S. и спросил , Позднее это было доказано Дюфреснуа и Писо, которые также определили все элементы S , меньшие φ ; не все из них принадлежат двум последовательностям Сигела. Виджаярагаван доказал, что S имеет бесконечно много предельных точек; на самом деле, последовательность производных множеств

$S,S',S'',\ldots$

не прекращается. С другой стороны, пересечение $S^{(\omega )}$ из этих множеств пусто , а это означает, что Кантора–Бендиксона равен S ω ранг . Еще точнее тип заказа S. определен

Набор Салема , обозначаемый T , тесно связан с S. чисел Доказано, что S содержится в множестве ' предельных точек Т. Т Была гипотеза , что объединение S высказана и T замкнуто.

Квадратичные иррациональные числа

Если $\alpha \,$ является квадратичным иррациональным , существует только одно сопряженное, $\alpha '$, полученный изменением знака квадратного корня в $\alpha$ от

$\alpha =a+{\sqrt {D}}{\text{ to }}\alpha '=a-{\sqrt {D}}\,$

или из

$\alpha ={\frac {a+{\sqrt {D}}}{2}}{\text{ to }}\alpha '={\frac {a-{\sqrt {D}}}{2}}.\,$

Здесь a и D — целые числа, во втором случае a нечетно . а D конгруэнтно , 1 по модулю 4

Требуемые условия: α > 1 и −1 < α' < 1.В первом случае они выполняются именно тогда, когда а > 0 и либо $(a-1)^{2}<D<a^{2}$ или $a^{2}<D<(a+1)^{2}$, и выполняются во втором случае именно тогда, когда $a>0$ и либо $(a-2)^{2}<D<a^{2}$ или $a^{2}<D<(a+2)^{2}$.

Таким образом, первые несколько квадратичных иррациональных чисел, которые являются числами PV, таковы:

Ценить	Корень...	Числовое значение
${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	$x^{2}-x-1$	1,618033... OEIS : A001622 ( золотое сечение )
$1+{\sqrt {2}}\,$	$x^{2}-2x-1$	2,414213... OEIS : A014176 ( соотношение серебра )
${\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}$	$x^{2}-3x+1$	2,618033... OEIS : A104457 (квадрат золотого сечения)
$1+{\sqrt {3}}\,$	$x^{2}-2x-2$	2.732050... OEIS : A090388
${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$	$x^{2}-3x-1$	3.302775... OEIS : A098316 (третье металлическое значение )
$2+{\sqrt {2}}\,$	$x^{2}-4x+2$	3.414213...
${\frac {3+{\sqrt {17}}}{2}}$	$x^{2}-3x-2$	3.561552..OEIS A178255 : .
$2+{\sqrt {3}}\,$	$x^{2}-4x+1$	3.732050... OEIS : A019973
${\frac {3+{\sqrt {21}}}{2}}$	$x^{2}-3x-3$	3.791287... OEIS : A090458
$2+{\sqrt {5}}\,$	$x^{2}-4x-1$	4.236067... OEIS : A098317 (четвертое металлическое значение)

Степени PV-числа

Числа Писо – Виджаярагхавана можно использовать для генерации почти целых чисел : n- я степень числа Писо приближается к целым числам по мере роста n . Например,

$(3+{\sqrt {10}})^{6}=27379+8658{\sqrt {10}}=54757.9999817\dots \approx 54758-{\frac {1}{54758}}.$

С $27379\,$ и $8658{\sqrt {10}}\,$ отличаются только $0.0000182\dots ,\,$

${\frac {27379}{8658}}=3.162277662\dots$

чрезвычайно близок к

${\sqrt {10}}=3.162277660\dots .$

Действительно

$\left({\frac {27379}{8658}}\right)^{2}=10+{\frac {1}{8658^{2}}}.$

Более высокие степени дают соответственно лучшие рациональные приближения.

Это свойство вытекает из того факта, что для каждого n сумма n- х степеней целого алгебраического числа x и его сопряженных чисел является в точности целым числом; это следует из применения тождеств Ньютона . Когда x является числом Писо, n-ные степени других сопряженных чисел стремятся к 0, поскольку n стремится к бесконечности. Поскольку сумма является целым числом, расстояние от x ^н до ближайшего целого числа стремится к 0 с экспоненциальной скоростью.

Малые числа Писо

Все числа Писо, не превышающие золотого сечения φ, были определены Дюфренуа и Писо. В таблице ниже перечислены десять наименьших чисел Писо в порядке возрастания.

	Ценить	Корень...	Корень...
1	1.3247179572447460260 OEIS : A060006 ( коэффициент пластика )	$x(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)$	$x^{3}-x-1$
2	1.3802775690976141157 OEIS : A086106	$x^{2}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)$	$x^{4}-x^{3}-1$
3	1.4432687912703731076 OEIS : A228777	$x^{3}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)$	$x^{5}-x^{4}-x^{3}+x^{2}-1$
4	1.4655712318767680267 OEIS : A092526 ( суперзолотое сечение )	$x^{3}(x^{2}-x-1)+1$	$x^{3}-x^{2}-1$
5	1.5015948035390873664 OEIS : A293508	$x^{4}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)$	$x^{6}-x^{5}-x^{4}+x^{2}-1$
6	1.5341577449142669154 OEIS : A293509	$x^{4}(x^{2}-x-1)+1$	$x^{5}-x^{3}-x^{2}-x-1$
7	1.5452156497327552432 OEIS : A293557	$x^{5}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)$	$x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}-1$
8	1.5617520677202972947	$x^{3}(x^{3}-2x^{2}+x-1)+(x-1)(x^{2}+1)$	$x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1$
9	1.5701473121960543629 OEIS : A293506	$x^{5}(x^{2}-x-1)+1$	$x^{5}-x^{4}-x^{2}-1$
10	1.5736789683935169887	$x^{6}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)$	$x^{8}-x^{7}-x^{6}+x^{2}-1$

Поскольку эти числа PV меньше 2, все они являются единицами: их минимальные полиномы оканчиваются на 1 или -1.Полиномы в этой таблице, за исключением

$x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1,$

являются факторами того или иного

$x^{n}(x^{2}-x-1)+1$

или

$x^{n}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1).$

Первый многочлен делится на x ² − 1, когда n нечетно, и x − 1, n четно когда . У него есть еще один действительный ноль, который является номером PV. Разделив любой полином на x ^н дает выражения, приближающиеся к x ² − x − 1, поскольку n становится очень большим и имеет нули, сходящиеся к φ . Дополнительная пара полиномов,

$x^{n}(x^{2}-x-1)-1$

и

$x^{n}(x^{2}-x-1)-(x^{2}-1)\,$

дает числа Писо, приближающиеся к φ сверху.

Двумерное турбулентности моделирование с использованием логарифмических спиральных цепочек с самоподобием, определяемым постоянным масштабным коэффициентом, может быть воспроизведено с некоторыми небольшими числами Писо.

Ссылки

• М. Дж. Бертен; А. Декомп-Гийу; М. Гранде-Юго; г-н Патио-Делефосс; Дж. П. Шрайбер (1992). Числа Писо и Салема . Биркхаузер. ISBN  3-7643-2648-4 .
• Борвейн, Питер (2002). Вычислительные экскурсы по анализу и теории чисел . Книги CMS по математике. Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-95444-9 . Збл   1020.12001 . Глава. 3.
• Бойд, Дэвид В. (1978). «Числа Писо и Салема в интервалах действительной прямой» . Математика. Комп . 32 : 1244–1260. дои : 10.2307/2006349 . ISSN   0025-5718 . Збл   0395.12004 .
• Кассельс, JWS (1957). Введение в диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. Том. 45. Издательство Кембриджского университета . стр. 133–144.
• Харди, GH (1919). «Задача диофантовой аппроксимации». Дж. Индийская математика. Соц . 11 : 205–243.
• Э. Д. Гюркан; Шаокан Сюй; П. Морель (2019). «Спирально-цепные модели двумерной турбулентности». Физический обзор E . 100 . arXiv : 1903.09494 . дои : 10.1103/PhysRevE.100.043113 .
• Писо, Чарльз (1938). «Распределение по модулю 1 и алгебраические числа». Энн. Норм. Большой. Пиза II . Сер. 7 (на французском языке): 205–248. Збл   0019.15502 .
• Салем, Рафаэль (1963). Алгебраические числа и анализ Фурье . Математические монографии Хита. Бостон, Массачусетс: DC Heath and Company . Збл   0126.07802 .
• Туэ, Аксель (1912). «О свойстве, которое не может иметь трансцендентной величины». Христиания Виденск. сельск. Сценарист . 2 (20): 1-15. ЯФМ   44.0480.04 .

Внешние ссылки

• Число Писо , Энциклопедия математики
• Терр, Дэвид и Вайсштейн, Эрик В. «Число Писо» . Математический мир .