Список k-равномерных мозаик
 1-униформа (обычная) |  1-равномерный (полуправильный) |
 2-равномерная мозаика |  3-равномерная мозаика |
k , -равномерное замощение — это замощение разбиений плоскости выпуклыми правильными многоугольниками соединенными ребро в ребро, с k типами вершин. 1-однородная мозаика включает 3 правильных мозаики и 8 полуправильных мозаики. 1-однородная мозаика может быть определена конфигурацией ее вершин . Высшие k -однородные мозаики перечислены по фигурам их вершин, но обычно не идентифицируются таким образом однозначно.
Полные списки k -однородных мозаик пронумерованы до k =6 . Существует 20 2-однородных мозаик, 61 3-однородных мозаики, 151 4-однородных мозаики, 332 5-однородных мозаики и 673 6-однородных мозаики. В этой статье перечислены все решения до k = 5.
Другие мозаики правильных многоугольников, которые не являются смежными, допускают многоугольники разного размера и постоянное смещение положений контакта.
Классификация
[ редактировать ] сторонами, желтыми треугольниками, красными квадратами (многоугольниками) |  по 4-изоэдральным позициям, 3 заштрихованным цветам треугольников (по орбитам) |
Такие периодические мозаики выпуклых многоугольников можно классифицировать по количеству орбит вершин, ребер и плиток. Если существует k орбит вершин, мозаика называется k -равномерной или k - изогональной ; если существует t орбит плиток, т.к. t - изоэдральная ; если существуют e орбиты ребер, то e — изотоксал .
k -однородные мозаики с одинаковыми фигурами вершин можно дополнительно идентифицировать по симметрии группы обоев .
Перечисление
[ редактировать ]К 1-однородным мозаикам относятся 3 правильных мозаики и 8 полуправильных мозаик с 2 и более типами граней правильных многоугольников. Существует 20 2-однородных мозаик, 61 3-однородных мозаики, 151 4-однородных мозаики, 332 5-однородных мозаики и 673 6-однородных мозаики. Каждый из них может быть сгруппирован по числу m различных фигур вершин, которые также называются m -архимедовыми мозаиками . [1]
Наконец, если количество типов вершин такое же, как и однородность ( m = k ниже), то мозаика называется Кротенхердтом . В общем, однородность больше или равна количеству типов вершин ( m ≥ k ), поскольку разные типы вершин обязательно имеют разные орбиты, но не наоборот. Полагая m = n = k , существует 11 таких мозаик для n = 1; 20 таких мозаик для n = 2; 39 таких разбиений для n = 3; 33 таких мозаики для n = 4; 15 таких мозаик для n = 5; 10 таких мозаик для n = 6; и 7 таких мозаик для n = 7.
| м -Архимедова | |||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Общий | |||||||||||
| к -равномерный | 1 | 11 | 0 | 11 | |||||||||||||
| 2 | 0 | 20 | 0 | 20 | |||||||||||||
| 3 | 0 | 22 | 39 | 0 | 61 | ||||||||||||
| 4 | 0 | 33 | 85 | 33 | 0 | 151 | |||||||||||
| 5 | 0 | 74 | 149 | 94 | 15 | 0 | 332 | ||||||||||
| 6 | 0 | 100 | 284 | 187 | 92 | 10 | 673 | ||||||||||
| Общий | 11 | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ||||||||||
1-однородные мозаики (регулярные)
[ редактировать ]Замощение называется регулярным , если группа симметрии замощения действует транзитивно на флаги замощения, где флаг представляет собой тройку, состоящую из взаимно инцидентной вершины , ребра и плитки замощения. Это означает, что для каждой пары флагов существует операция симметрии, отображающая первый флаг на второй. Это эквивалентно мозаике, представляющей собой мозаику от края до края равными правильными многоугольниками. Должно быть шесть равносторонних треугольников , четыре квадрата или три правильных шестиугольника в вершине, что дает три правильных мозаики.
| п6м, *632 | п4м, *442 | |
|---|---|---|
 |  |  |
 3 6 (т=1, е=1) |  6 3 (т=1, е=1) |  4 4 (т=1, е=1) |
m-архимедовы и k-равномерные замощения
[ редактировать ]Вершинная транзитивность означает, что для каждой пары вершин существует операция симметрии, переводящая первую вершину во вторую. [3]
Если требование транзитивности флагов ослабляется до требования транзитивности вершин, при этом сохраняется условие, что мозаика является сквозной, возможны восемь дополнительных мозаик, известных как архимедовы , равномерные или полурегулярные мозаики. Обратите внимание, что существуют две зеркальные формы (энантиоморфные или киральные ) формы 3. 4 .6 (взносая шестиугольная) черепица, только одна из которых показана в следующей таблице. Все остальные правильные и полуправильные замощения ахиральны.
Грюнбаум и Шепард различают описание этих мозаик как архимедово , поскольку оно относится только к локальному свойству одинакового расположения плиток вокруг каждой вершины, и как единообразное , поскольку относится к глобальному свойству вершинной транзитивности. Хотя они дают один и тот же набор мозаик на плоскости, в других пространствах существуют архимедовы мозаики, которые не являются однородными.
1-однородные мозаики (полуправильные)
[ редактировать ]| п6м, *632 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
  [ 3.12 2 ] (т=2, е=2) |   [ 3.4.6.4 ] (т=3, е=2) |   [ 4.6.12 ] (т=3, е=3) |   [ (3.6) 2 ] (т=2, е=1) | ||
  [ 4.8 2 ] (т=2, е=2) |   [ 3 2 .4.3.4 ] (т=2, е=2) |   [ 3 3 .4 2 ] (т=2, е=3) |   [ 3 4 .6 ] (т=3, е=3) | ||
2-однородные мозаики
[ редактировать ]Существует двадцать (20) 2-однородных мозаик евклидовой плоскости. (также называемые 2- изогональными мозаиками или полуправильными мозаиками ) [4] [5] [6] Типы вершин указаны для каждой. Если два мозаики имеют одинаковые два типа вершин, им присваиваются индексы 1,2.
| п6м, *632 | п4м, *442 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
 [3 6 ; 3 2 .4.3.4 (т=3, е=3) |  [3.4.6.4; 3 2 .4.3.4 (т=4, е=4) |  [3.4.6.4; 3 3 .4 2 ] (т=4, е=4) |  [3.4.6.4; 3.4 2 .6] (т=5, е=5) |  [4.6.12; 3.4.6.4] (т=4, е=4) |  [3 6 ; 3 2 .4.12] (т=4, е=4) |  [3.12.12; 3.4.3.12] (т=3, е=3) |
| п6м, *632 | стр6, 632 | стр6, 632 | см, 2*22 | пмм, *2222 | см, 2*22 | пмм, *2222 |
 [3 6 ; 3 2 .6 2 ] (т=2, е=3) |  [3 6 ; 3 4 .6] 1 (т=3, е=3) |  [3 6 ; 3 4 .6] 2 (т=5, е=7) |  [3 2 .6 2 ; 3 4 .6] (т=2, е=4) |  [3.6.3.6; 3 2 .6 2 ] (т=2, е=3) |  [3.4 2 .6; 3.6.3.6] 2 (т=3, е=4) |  [3.4 2 .6; 3.6.3.6] 1 (т=4, е=4) |
| п4г, 4*2 | пгг, 22× | см, 2*22 | см, 2*22 | пмм, *2222 | см, 2*22 | |
 [3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 1 (т=4, е=5) |  [3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 2 (т=3, е=6) |  [4 4 ; 3 3 .4 2 ] 1 (т=2, е=4) |  [4 4 ; 3 3 .4 2 ] 2 (т=3, е=5) |  [3 6 ; 3 3 .4 2 ] 1 (т=3, е=4) |  [3 6 ; 3 3 .4 2 ] 2 (т=4, е=5) | |
3-однородные мозаики
[ редактировать ]Существует 61 3-однородная мозаика евклидовой плоскости. 39 являются 3-архимедовыми с 3 различными типами вершин, а 22 имеют 2 идентичных типа вершин на разных орбитах симметрии. Чави (1989)
3-однородные мозаики, 3 типа вершин
[ редактировать ][3.4 2 6; 3.6.3.6; 4.6.12] (т=6, е=7) |  [3 6 ; 3 2 4.12; 4.6.12] (т=5, е=6) |  [3 2 4.12; 3.4.6.4; 3.12 2 ] (т=5, е=6) |  [3.4.3.12; 3.4.6.4; 3.12 2 ] (т=5, е=6) |  [3 3 4 2 ; 3 2 4.12; 3.4.6.4] (т=6, е=8) |
 [3 6 ; 3 3 4 2 ; 3 2 4.12] (т=6, е=7) |  [3 6 ; 3 2 4.3.4; 3 2 4.12] (т=5, е=6) |  [3 4 6; 3 3 4 2 ; 3 2 4.3.4] (т=5, е=6) |  [3 6 ; 3 2 4.3.4; 3.4 2 6] (т=5, е=6) |  [3 6 ; 3 2 4.3.4; 3.4.6.4] (т=5, е=6) |
 [3 6 ; 3 3 4 2 ; 3.4.6.4] (т=6, е=6) |  [3 6 ; 3 2 4.3.4; 3.4.6.4] (т=6, е=6) |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; 3 2 4.3.4] (т=4, е=5) |  [3 2 4.12; 3.4.3.12; 3.12 2 ] (т=4, е=7) |  [3.4.6.4; 3.4 2 6; 4 4 ] (т=3, е=4) |
 [3 2 4.3.4; 3.4.6.4; 3.4 2 6] (т=4, е=6) |  [3 3 4 2 ; 3 2 4.3.4; 4 4 ] (т=4, е=6) |  [3.4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (т=5, е=7) |  [3.4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (т=6, е=7) |  [3.4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (т=4, е=5) |
 [3.4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (т=5, е=6) |  [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3.4 2 6] (т=5, е=8) |  [3 2 6 2 ; 3.4 2 6; 3.6.3.6] (т=4, е=7) |  [3 2 6 2 ; 3.4 2 6; 3.6.3.6] (т=5, е=7) |  [3 4 6; 3 3 4 2 ; 3.4 2 6] (т=5, е=7) |
 [3 2 6 2 ; 3.6.3.6; 6 3 ] (т=4, е=5) |  [3 2 6 2 ; 3.6.3.6; 6 3 ] (т=2, е=4) |  [3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] (т=2, е=5) |  [3 6 ; 3 2 6 2 ; 6 3 ] (т=2, е=3) |  [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ] (т=5, е=8) |
 [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ] (т=3, е=5) |  [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ] (т=3, е=6) |  [3 6 ; 3 4 6; 3.6.3.6] (т=5, е=6) |  [3 6 ; 3 4 6; 3.6.3.6] (т=4, е=4) |  [3 6 ; 3 4 6; 3.6.3.6] (т=3, е=3) |
 [3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (т=4, е=6) |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (т=5, е=7) |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (т=3, е=5) |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (т=4, е=6) |
3-однородные мозаики, 2 типа вершин (2:1)
[ редактировать ] [(3.4.6.4)2; 3.4 2 6] (т=6, е=6) |  [(3 6 )2; 3 4 6] (т=3, е=4) |  [(3 6 )2; 3 4 6] (т=5, е=5) |  [(3 6 )2; 3 4 6] (т=7, е=9) |  [3 6 ; (3 4 6)2] (т=4, е=6) |
[3 6 ; (3 2 4.3.4)2] (т=4, е=5) |  [(3.4 2 6)2; 3.6.3.6] (т=6, е=8) |  [3.4 2 6; (3.6.3.6)2] (т=4, е=6) |  [3.4 2 6; (3.6.3.6)2] (т=5, е=6) |  [3 2 6 2 ; (3.6.3.6)2] (т=3, е=5) |
 [(3 4 6)2; 3.6.3.6] (т=4, е=7) |  [(3 4 6)2; 3.6.3.6] (т=4, е=7) |  [3 3 4 2 ; (4 4 )2] (т=4, е=7) |  [(3 3 4 2 )2; 4 4 ] (т=5, е=7) |  [3 3 4 2 ; (4 4 )2] (т=3, е=6) |
 [(3 3 4 2 )2; 4 4 ] (т=4, е=6) |  [(3 3 4 2 )2; 3 2 4.3.4] (т=5, е=8) |  [3 3 4 2 ; (3 2 4.3.4)2] (т=6, е=9) |  [3 6 ; (3 3 4 2 )2] (т=5, е=7) |  [3 6 ; (3 3 4 2 )2] (т=4, е=6) |
 [(3 6 )2; 3 3 4 2 ] (т=6, е=7) |  [(3 6 )2; 3 3 4 2 ] (т=5, е=6) |
4-однородные мозаики
[ редактировать ]Существует 151 4-однородная мозаика евклидовой плоскости. Поиск Брайана Галебаха воспроизвел список Кротенхердта из 33 4-однородных мозаик с 4 различными типами вершин, а также обнаружил 85 из них с 3 типами вершин и 33 с 2 типами вершин.
4-однородные мозаики, 4 типа вершин
[ редактировать ]Их 33 с 4 типами вершин.
 [33434; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ] |  [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 46.12] |  [33434; 3 2 6 2 ; 3446; 46.12] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 334.12] |  [3 6 ; 33434; 334.12; 3.12 2 ] |
 [3 6 ; 33434; 343.12; 3.12 2 ] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 3464] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 3464] |  [3 6 ; 33434; 3464; 3446] |  [3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ] |
 [3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ] |  [334.12; 343.12; 3464; 46.12] |  [3 3 4 2 ; 334.12; 343.12; 3.12 2 ] |  [3 3 4 2 ; 334.12; 343.12; 4 4 ] |  [3 3 4 2 ; 334.12; 343.12; 3.12 2 ] |
 [3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 4 4 ] |  [33434; 3 2 6 2 ; 3464; 3446] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; 3636] |  [3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636] |  [3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636] |
 [3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446] |  [3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446] |  [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] |  [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] |  [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] |
 [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] |  [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636] |  [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ] |  [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ] |  [3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ] |
 [3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ] |  [3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ] |  [3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ] |
4-однородные мозаики, 3 типа вершин (2:1:1)
[ редактировать ]Всего их 85 с 3 типами вершин.
 [3464; (3446) 2 ; 46.12] |  [3464; 3446; (46.12) 2 ] |  [334.12; 3464; (3.12 2 ) 2 ] |  [343.12; 3464; (3.12 2 ) 2 ] |  [33434; 343.12; (3464) 2 ] |
 [(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 334.12] |  [(3464) 2 ; 3446; 3636] |  [3464; 3446; (3636) 2 ] |  [3464; (3446) 2 ; 3636] |  [(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 33434] |
 [(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 33434] |  [3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ] |  [3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ] |  [3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 6 3 ] |  [3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 6 3 ] |
 [3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ] |  [3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ] |  [3 6 ; (3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ] |  [3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 3636] |  [(3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ; 6 3 ] |
 [(3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ; 6 3 ] |  [3 4 6; 3 2 6 2 ; (3636) 2 ] |  [3 4 6; 3 2 6 2 ; (3636) 2 ] |  [3 3 4 2 ; 33434; (3464) 2 ] |  [3 6 ; 33434; (3464) 2 ] |
 [3 6 ; (33434) 2 ; 3464] |  [3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 3464] |  [(3464) 2 ; 3446; 3636] |  [3 4 6; (33434) 2 ; 3446] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434) 2 ] |
 [3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434) 2 ] |  [(3 3 4 2 ) 2 ; 33434; 4 4 ] |  [(3 3 4 2 ) 2 ; 33434; 4 4 ] |  [3464; (3446) 2 ; 4 4 ] |  [33434; (334.12) 2 ; 343.12] |
 [3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 6 3 ] |  [3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 6 3 ] |  [3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 ) 2 ] |  [(3 6 ) 2 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ] |  [(3 6 ) 2 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ] |
 [(3 6 ) 2 ; 3 4 6; 3636] |  [3 4 6; (3 2 6 2 ) 2 ; 3636] |  [3 4 6; (3 2 6 2 ) 2 ; 3636] |  [(3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ; 3636] |  [(3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ; 3636] |
 [3 6 ; 3 4 6; (3636) 2 ] |  [3 2 6 2 ; (3636) 2 ; 6 3 ] |  [3 2 6 2 ; (3636) 2 ; 6 3 ] |  [(3 2 6 2 ) 2 ; 3636; 6 3 ] |  [3 2 6 2 ; 3636; (6 3 ) 2 ] |
 [3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ] |  [3 4 6; (3 2 6 2 ) 2 ; 3636] |  [3 2 6 2 ; 3446; (3636) 2 ] |  [3 2 6 2 ; 3446; (3636) 2 ] |  [3 4 6; (3 3 4 2 ) 2 ; 3636] |
 [3 4 6; (3 3 4 2 ) 2 ; 3636] |  [3 4 6; 3 3 4 2 ; (3446) 2 ] |  [3446; 3636; (4 4 ) 2 ] |  [3446; 3636; (4 4 ) 2 ] |  [3446; 3636; (4 4 ) 2 ] |
 [3446; 3636; (4 4 ) 2 ] |  [(3446) 2 ; 3636; 4 4 ] |  [(3446) 2 ; 3636; 4 4 ] |  [(3446) 2 ; 3636; 4 4 ] |  [(3446) 2 ; 3636; 4 4 ] |
 [(3446) 2 ; 3636; 4 4 ] |  [(3446) 2 ; 3636; 4 4 ] |  [(3446) 2 ; 3636; 4 4 ] |  [(3446) 2 ; 3636; 4 4 ] |  [3446; (3636) 2 ; 4 4 ] |
 [3446; (3636) 2 ; 4 4 ] |  [3446; (3636) 2 ; 4 4 ] |  [3446; (3636) 2 ; 4 4 ] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2 ] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2 ] |
 [3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 4 4 ] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2 ] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2 ] |  [3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 4 4 ] |  [3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 4 4 ] |
 [3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 4 4 ] |  [(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] |  [(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] |  [(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] |  [(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] |
4-однородные мозаики, 2 типа вершин (2:2) и (3:1)
[ редактировать ]Всего их 33 с двумя типами вершин, 12 с двумя парами типов и 21 с соотношением типов 3:1.
 [(3464) 2 ; (46.12) 2 ] |  [(33434) 2 ; (3464) 2 ] |  [(33434) 2 ; (3464) 2 ] |  [(3 4 6) 2 ; (3636) 2 ] |  [(3 6 ) 2 ; (3 4 6) 2 ] |
 [(3 3 4 2 ) 2 ; (33434) 2 ] |  [(3 3 4 2 ) 2 ; (4 4 ) 2 ] |  [(3 3 4 2 ) 2 ; (4 4 ) 2 ] |  [(3 3 4 2 ) 2 ; (4 4 ) 2 ] |  [(3 6 ) 2 ; (3 3 4 2 ) 2 ] |
 [(3 6 ) 2 ; (3 3 4 2 ) 2 ] |  [(3 6 ) 2 ; (3 3 4 2 ) 2 ] |
 [343.12; (3.12 2 ) 3 ] |  [(3 4 6) 3 ; 3636] |  [3 6 ; (3 4 6) 3 ] |  [(3 6 ) 3 ; 3 4 6] |  [(3 6 ) 3 ; 3 4 6] |
 [(3 3 4 2 ) 3 ; 33434] |  [3 3 4 2 ; (33434) 3 ] |  [3446; (3636) 3 ] |  [3446; (3636) 3 ] |  [3 2 6 2 ; (3636) 3 ] |
 [3 2 6 2 ; (3636) 3 ] |  [3 3 4 2 ; (4 4 ) 3 ] |  [3 3 4 2 ; (4 4 ) 3 ] |  [(3 3 4 2 ) 3 ; 4 4 ] |  [(3 3 4 2 ) 3 ; 4 4 ] |
 [(3 3 4 2 ) 3 ; 4 4 ] |  [3 6 ; (3 3 4 2 ) 3 ] |  [3 6 ; (3 3 4 2 ) 3 ] |  [3 6 ; (3 3 4 2 ) 3 ] |  [(3 6 ) 3 ; 3 3 4 2 ] |
 [(3 6 ) 3 ; 3 3 4 2 ] |
5-однородные мозаики
[ редактировать ]Существует 332 5-однородных мозаики евклидовой плоскости. Поиск Брайана Галебаха выявил 332 5-однородных мозаик с 2–5 типами вершин. Существует 74 с 2 типами вершин, 149 с 3 типами вершин, 94 с 4 типами вершин и 15 с 5 типами вершин.
5-однородные мозаики, 5 типов вершин
[ редактировать ]Существует 15 5-однородных мозаик с 5 уникальными типами фигур вершин.
 [33434; 3 2 6 2 ; 3464; 3446; 6 3 ] |  [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ] |  [3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; 46.12] |  [3 4 6; 3 3 4 2 ; 33434; 3446; 4 4 ] |  [3 6 ; 33434; 3464; 3446; 3636] |
 [3 6 ; 3 4 6; 3464; 3446; 3636] |  [33434; 334.12; 3464; 3.12.12; 46.12] |  [3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ] |  [3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ] |  [3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ] |
 [3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; 3636; 4 4 ] |  [3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; 4 4 ] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 3636] |  [3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446] |
5-однородные мозаики, 4 типа вершин (2:1:1:1)
[ редактировать ]Существует 94 5-однородных мозаик с 4 типами вершин.
 [3 6 ; 33434; (3446)2; 46.12] |  [3 6 ; 33434; 3446; (46.12)2] |  [3 6 ; 33434; 3464; (46.12)2] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; (334.12)2; 3464] |  [3 6 ; (3 3 4 2 )2; 334.12; 3464] |
 [3 6 ; 33434; (334.12)2; 3464] |  [3 6 ; 33434; 334.12; (3.12.12)2] |  [3 6 ; 3 4 6; (3 3 4 2 )2; 334.12] |  [3 6 ; 33434; 343.12; (3.12.12)2] |  [(3 3 4 2 )2; 334.12; 343.12; 3.12.12] |
 [(3 3 4 2 )2; 334.12; 343.12; 3.12.12] |  [(3 3 4 2 )2; 334.12; 343.12; 4 4 ] |  [33434; 3 2 6 2 ; (3446)2; 4 4 ] |  [3 6 ; (3 3 4 2 )2; 33434; 4 4 ] |  [3 4 6; (3 3 4 2 )2; 33434; 4 4 ] |
 [3 6 ; 3 3 4 2 ; (3464)2; 3446] |  [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3464; (3446)2] |  [33434; 3 2 6 2 ; 3464; (3446)2] |  [3 6 ; 33434; (3446)2; 3636] |  [3 3 4 2 ; 33434; 3464; (3446)2] |
 [3 6 ; 33434; (3 2 6 2 )2; 3446] |  [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; (3464)2; 3446] |  [33434; 3 2 6 2 ; (3464)2; 3446] |  [3 4 6; 3 3 4 2 ; (3464)2; 3446] |  [3 6 ; (3 3 4 2 )2; 33434; 3464] |
 [3 6 ; (3 3 4 2 )2; 33434; 3464] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434)2; 3464] |  [(3 6 )2; 3 3 4 2 ; 33434; 3464] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434)2; 3464] |  [(3 6 )2; 3 3 4 2 ; 33434; 334.12] |
 [3 6 ; 33434; (334.12)2; 343.12] |  [(3 6 )2; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 33434] |  [(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] |  [3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 6 3 ] |  [(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636] |
 [3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636] |  [3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636] |  [(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636] |  [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (3636)2] |  [3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636] |
 [3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636] |  [3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636] |  [3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636] |  [3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636] |  [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2] |
 [3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 6 3 ] |  [3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ] |  [(3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ] |  [(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] |  [(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] |
 [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2] |  [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2] |  [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2] |  [3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 6 3 ] |  [3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ] |
 [3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ] |  [3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ] |  [3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; (6 3 )2] |  [3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ] |  [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (6 3 )2] |
 [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (6 3 )2] |  [3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 )2] |  [3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 )2] |  [3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ] |  [3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ] |
 [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (4 4 )2] |  [3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; (4 4 )2] |  [3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 )2] |  [3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 )2] |  [3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ] |
 [3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ] |  [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (4 4 )2] |  [3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; (4 4 )2] |  [3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3636; 4 4 ] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; (3446)2; 3636] |
 [3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636] |  [3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636] |  [(3 6 )2; 3 4 6; 3446; 3636] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; (3446)2; 3636] |  [3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636] |
 [3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636] |  [(3 6 )2; 3 4 6; 3446; 3636] |  [(3 6 )2; 3 3 4 2 ; 3446; 3636] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; (3636)2] |  [3 4 6; 3 3 4 2 ; (3446)2; 3636] |
 [3 6 ; 3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446] |  [3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3 2 6 2 ; 3636] |  [3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3 2 6 2 ; 3636] |  [3 6 ; (3 4 6)2; 3 3 4 2 ; 3446] |  [3 6 ; (3 4 6)2; 3 3 4 2 ; 3446] |
 [3 6 ; (3 4 6)2; 3 3 4 2 ; 3446] |  [3 6 ; 3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3 2 6 2 ] |  [(3 6 )2; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3636] |  [(3 6 )2; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3636] |
5-однородные мозаики, 3 типа вершин (3:1:1) и (2:2:1)
[ редактировать ]Существует 149 5-однородных мозаик, из которых 60 имеют копии 3:1:1, а 89 — копии 2:2:1.
 [3 6 ; 334.12; (46.12)3] |  [3464; 3446; (46.12)3] |  [3 6 ; (334.12)3; 46.12] |  [334.12; 343.12; (3.12.12)3] |  [3 6 ; (33434)3; 343.12] |
 [3 2 6 2 ; 3636; (6 3 )3] |  [3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )3] |  [3 6 ; (3 2 6 2 )3; 6 3 ] |  [3 6 ; (3 2 6 2 )3; 6 3 ] |  [3 2 6 2 ; (3636)3; 6 3 ] |
 [3446; 3636; (4 4 )3] |  [3446; 3636; (4 4 )3] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )3] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )3] |  [3446; (3636)3; 4 4 ] |
 [3446; (3636)3; 4 4 ] |  [3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ] |  [3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ] |  [3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ] |  [(3 6 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ] |
 [(3 6 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ] |  [3446; 3636; (4 4 )3] |  [3446; 3636; (4 4 )3] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )3] |  [3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )3] |
 [(3 3 4 2 )3; 3 2 6 2 ; 3446] |  [3 2 6 2 ; 3446; (3636)3] |  [3 2 6 2 ; 3446; (3636)3] |  [3 2 6 2 ; 3446; (3636)3] |  [3 2 6 2 ; 3446; (3636)3] |
 [3446; (3636)3; 4 4 ] |  [3446; (3636)3; 4 4 ] |  [3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ] |  [3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ] |  [3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ] |
 [(3 6 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ] |  [(3 6 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ] |  [3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ] |  [3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ] |  [3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ] |
 [(3 3 4 2 )3; 3446; 3636] |  [(3 3 4 2 )3; 3446; 3636] |  [3 4 6; (3 3 4 2 )3; 3446] |  [(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ] |  [(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ] |
 [(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ] |  [3 4 6; (3 2 6 2 )3; 3636] |  [3 4 6; (3 2 6 2 )3; 3636] |  [(3 4 6)3; 3 2 6 2 ; 3636] |  [(3 4 6)3; 3 2 6 2 ; 3636] |
 [(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ] |  [(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ] |  [(3 4 6)3; 3 2 6 2 ; 3636] |  [3 6 ; 3 4 6; (3636)3] |  [3 6 ; 3 4 6; (3636)3] |
 [3 6 ; 3 4 6; (3636)3] |  [3 6 ; 3 4 6; (3636)3] |  [(3 6 )3; 3 4 6; 3636] |  [(3 6 )3; 3 4 6; 3636] |  [3 6 ; (3 4 6)3; 3636] |
 [(3446)2; (3636)2; 46.12] |  [(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 3464] |  [(3 3 4 2 )2; 334.12; (3464)2] |  [3 6 ; (33434)2; (3464)2] |  [3 3 4 2 ; (33434)2; (3464)2] |
 [3 3 4 2 ; (33434)2; (3464)2] |  [3 3 4 2 ; (33434)2; (3464)2] |  [(33434)2; 343.12; (3464)2] |  [3 6 ; (3 2 6 2 )2; (6 3 )2] |  [(3 2 6 2 )2; (3636)2; 6 3 ] |
 [(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 33434] |  [(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2] |  [3 4 6; (3 3 4 2 )2; (33434)2] |  [(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2] |  [(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2] |
 [(3 2 6 2 )2; 3636; (6 3 )2] |  [(3446)2; 3636; (4 4 )2] |  [(3446)2; 3636; (4 4 )2] |  [3446; (3636)2; (4 4 )2] |  [(3446)2; 3636; (4 4 )2] |
 [(3446)2; 3636; (4 4 )2] |  [3446; (3636)2; (4 4 )2] |  [3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2] |  [(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 )2] |  [(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 )2] |
 [(3446)2; 3636; (4 4 )2] |  [(3446)2; 3636; (4 4 )2] |  [(3446)2; 3636; (4 4 )2] |  [(3446)2; 3636; (4 4 )2] |  [(3446)2; 3636; (4 4 )2] |
 [3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2] |  [(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ] |  [(3446)2; 3636; (4 4 )2] |  [(3446)2; 3636; (4 4 )2] |  [3446; (3636)2; (4 4 )2] |
 [(3446)2; 3636; (4 4 )2] |  [(3446)2; 3636; (4 4 )2] |  [3446; (3636)2; (4 4 )2] |  [3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2] |  [(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 )2] |
 [(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 )2] |  [3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2] |  [3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2] |  [(3446)2; 3636; (4 4 )2] |  [(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ] |
 [(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ] |  [(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ] |  [(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ] |  [(33434)2; 3 2 6 2 ; (3446)2] |  [3 3 4 2 ; (3 2 6 2 )2; (3446)2] |
 [3 3 4 2 ; (3 2 6 2 )2; (3446)2] |  [3 2 6 2 ; (3446)2; (3636)2] |  [(3 2 6 2 )2; 3446; (3636)2] |  [(3 2 6 2 )2; 3446; (3636)2] |  [(3464)2; (3446)2; 3636] |
 [3 2 6 2 ; (3446)2; (3636)2] |  [3 2 6 2 ; (3446)2; (3636)2] |  [(3 4 6)2; (3446)2; 3636] |  [(3 4 6)2; (3446)2; 3636] |  [(3 4 6)2; (3446)2; 3636] |
 [(3 4 6)2; (3446)2; 3636] |  [(3 3 4 2 )2; (3446)2; 3636] |  [(3 3 4 2 )2; (3446)2; 3636] |  [(3 4 6)2; (3 3 4 2 )2; 3446] |  [(3 4 6)2; 3 3 4 2 ; (3446)2] |
 [(3 6 )2; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ] |  [3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2] |  [(3 6 )2; 3 4 6; (3 2 6 2 )2] |  [(3 4 6)2; (3 2 6 2 )2; 6 3 ] |  [3 6 ; (3 2 6 2 )2; (6 3 )2] |
 [3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2] |  [3 4 6; (3 2 6 2 )2; (3636)2] |  [(3 4 6)2; (3 2 6 2 )2; 3636] |  [3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2] |  [(3 4 6)2; 3 2 6 2 ; (3636)2] |
 [(3 4 6)2; (3 2 6 2 )2; 3636] |  [(3 6 )2; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ] |  [(3 6 )2; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ] |  [(3 6 )2; (3 4 6)2; 3636] |  [(3 6 )2; (3 4 6)2; 3636] |
 [3 6 ; (3 4 6)2; (3 3 4 2 )2] |  [(3 6 )2; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ] |  [3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2] |  [3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2] |  [3 4 6; (3 3 4 2 )2; (3636)2] |
 [3 4 6; (3 3 4 2 )2; (3636)2] |  [(3 6 )2; 3 4 6; (3636)2] |  [(3 6 )2; (3 4 6)2; 3636] |  [(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2] |
5-однородные мозаики, 2 типа вершин (4:1) и (3:2)
[ редактировать ]Существует 74 5-однородных мозаик с двумя типами вершин: 27 с копиями 4:1 и 47 с копиями 3:2.
 [(3464)4; 46.12] |  [343.12; (3.12.12)4] |  [3 6 ; (33434)4] |  [3 6 ; (33434)4] |  [(3 6 )4; 3 4 6] |
 [(3 6 )4; 3 4 6] |  [(3 6 )4; 3 4 6] |  [3 6 ; (3 4 6)4] |  [3 2 6 2 ; (3636)4] |  [(3 4 6)4; 3 2 6 2 ] |
 [(3 4 6)4; 3 2 6 2 ] |  [(3 4 6)4; 3636] |  [3 2 6 2 ; (3636)4] |  [3446; (3636)4] |  [3446; (3636)4] |
 [(3 3 4 2 )4; 33434] |  [3 3 4 2 ; (33434)4] | |||
 [3 3 4 2 ; (4 4 )4] |  [3 3 4 2 ; (4 4 )4] |  [(3 3 4 2 )4; 4 4 ] |  [(3 3 4 2 )4; 4 4 ] |  [(3 3 4 2 )4; 4 4 ] |
 [3 6 ; (3 3 4 2 )4] |  [3 6 ; (3 3 4 2 )4] |  [3 6 ; (3 3 4 2 )4] |  [(3 6 )4; 3 3 4 2 ] |  [(3 6 )4; 3 3 4 2 ] |
Существует 29 5-однородных мозаик с 3 и 2 уникальными типами вершин.
 [(3464)2; (46.12)3] |  [(3464)2; (46.12)3] |  [(3464)3; (3446)2] |  [(33434)2; (3464)3] |  [(33434)3; (3464)2] |
 [(3 6 )2; (3 4 6)3] |  [(3 6 )2; (3 4 6)3] |  [(3 6 )3; (3 4 6)2] |  [(3 6 )3; (3 4 6)2] |  [(3 6 )3; (3 4 6)2] |
 [(3 6 )3; (3 4 6)2] |  [(3 6 )2; (3 4 6)3] |  [(3 6 )2; (3 4 6)3] |  [(3 6 )2; (3 4 6)3] | |
 [(3 2 6 2 )2; (3636)3] |  [(3 4 6)3; (3636)2] |  [(3 4 6)3; (3636)2] |  [(3 4 6)2; (3636)3] | |
 [(3446)3; (3636)2] |  [(3446)2; (3636)3] |  [(3446)3; (3636)2] |  [(3446)2; (3636)3] |  [(3446)2; (3636)3] |
 [(3 3 4 2 )3; (33434)2] |  [(3 3 4 2 )3; (33434)2] |  [(3 3 4 2 )2; (33434)3] |  [(3 3 4 2 )2; (33434)3] | |
 [(3 3 4 2 )2; (4 4 )3] |  [(3 3 4 2 )2; (4 4 )3] |  [(3 3 4 2 )2; (4 4 )3] |  [(3 3 4 2 )3; (4 4 )2] |  [(3 3 4 2 )2; (4 4 )3] |
 [(3 3 4 2 )3; (4 4 )2] |  [(3 3 4 2 )2; (4 4 )3] |  [(3 3 4 2 )2; (4 4 )3] |  [(3 3 4 2 )3; (4 4 )2] |  [(3 3 4 2 )3; (4 4 )2] |
 [(3 6 )2; (3 3 4 2 )3] |  [(3 6 )2; (3 3 4 2 )3] |  [(3 6 )2; (3 3 4 2 )3] |  [(3 6 )2; (3 3 4 2 )3] |  [(3 6 )3; (3 3 4 2 )2] |
 [(3 6 )3; (3 3 4 2 )2] |  [(3 6 )3; (3 3 4 2 )2] |  [(3 6 )3; (3 3 4 2 )2] |  [(3 6 )3; (3 3 4 2 )2] |  [(3 6 )3; (3 3 4 2 )2] |
Высшие k-однородные мозаики
[ редактировать ]k -однородные мозаики пронумерованы до 6. Существует 673 6-однородных мозаики евклидовой плоскости. Поиск Брайана Галебаха воспроизвел список Кротенхердта из 10 6-однородных мозаик с 6 различными типами вершин, а также обнаружил 92 из них с 5 типами вершин, 187 из них с 4 типами вершин, 284 из них с 3 типами вершин и 100 с 2 типами вершин. типы вершин.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ k-однородные мозаики из правильных многоугольников. Архивировано 30 июня 2015 г. в Wayback Machine, Нильс Леннгрен, 2009 г.
- ^ «n-равномерные мозаики» . Вероятностьспорт.com . Проверено 21 июня 2019 г.
- ^ Кричлоу, стр.60-61.
- ^ Кричлоу, стр.62-67.
- ^ Плитки и узоры, Грюнбаум и Шепард, 1986, стр. 65-67.
- ^ «В поисках полурегулярных мозаик» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 мая 2016 г. Проверено 4 июня 2015 г.
- Грюнбаум, Бранко; Шепард, Джеффри К. (1977). «Замощения правильными многоугольниками». Математика. Маг . 50 (5): 227–247. дои : 10.2307/2689529 . JSTOR 2689529 .
- Грюнбаум, Бранко; Шепард, GC (1978). «Девяносто один тип изогональных мозаик на плоскости» . Пер. Являюсь. Математика. Соц . 252 : 335–353. дои : 10.1090/S0002-9947-1978-0496813-3 . МР 0496813 .
- Деброй, И.; Ландуит, Ф. (1981). «Эквитранзитивные реберные мозаики». Геометрии Дедиката . 11 (1): 47–60. дои : 10.1007/BF00183189 . S2CID 122636363 .
- Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Фриман и компания. ISBN 0-7167-1193-1 .
- Рен, Дин; Рей, Джон Р. (1987). «Граничная характеристика и теорема Пика в архимедовых плоских мозаиках». Журнал комбинаторной теории . Серия А. 44 (1): 110–119. дои : 10.1016/0097-3165(87)90063-X .
- Чави, Д. (1989). «Замощения правильными многоугольниками - II: Каталог мозаик» . Компьютеры и математика с приложениями . 17 : 147–165. дои : 10.1016/0898-1221(89)90156-9 .
- Порядок в космосе: справочник по дизайну, Кейт Кричлоу, 1970 г. ISBN 978-0-670-52830-1
- Соммервилл, Дункан Макларен Янг (1958). Введение в геометрию n измерений . Дуврские публикации. Глава X: Правильные многогранники
- Преа, П. (1997). «Последовательности расстояний и пороги просачивания в архимедовых мозаиках». Матем. Вычислить. Моделирование . 26 (8–10): 317–320. дои : 10.1016/S0895-7177(97)00216-1 .
- Кович, Юрий (2011). «Графы типа симметрии платоновых и архимедовых тел» . Математика. Коммун . 16 (2): 491–507.
- Пеллисер, Дэниел; Уильямс, Гордон (2012). «Минимальные накрытия архимедовых мозаик, часть 1» . Электронный журнал комбинаторики . 19 (3): #P6. дои : 10.37236/2512 .
- Дейл Сеймур и Джилл Бриттон , «Введение в тесселяцию» , 1989 г., ISBN 978-0866514613 , стр. 50–57
Внешние ссылки
[ редактировать ]Евклидовы и общие связи мозаики:
- n-равномерные мозаики , Брайан Галебах
- Датч, Стив. «Единые плитки» . Архивировано из оригинала 9 сентября 2006 г. Проверено 9 сентября 2006 г.
- Митчелл, К. «Полуправильные плитки» . Проверено 9 сентября 2006 г.
- Вайсштейн, Эрик В. «Тесселяция» . Математический мир .
- Вайсштейн, Эрик В. «Полурегулярная мозаика» . Математический мир .
- Вайсштейн, Эрик В. «Демирегулярная мозаика» . Математический мир .
