Jump to content

Каталонский солид

(Перенаправлено с каталонских твердых тел )
Сплошные тела выше (темные) показаны вместе с их двойниками (светлыми). Видимые части каталонских тел представляют собой правильные пирамиды .
Ромбический додекаэдр с конфигурацией граней .

В математике , каталонское тело или двойственное к Архимеду тело , представляет собой многогранник, двойственный архимедову телу . Всего каталонских тел 13. Они названы в честь бельгийского математика Эжена Каталана , впервые описавшего их в 1865 году.

Все каталонские тела выпуклые . Они гране-транзитивны , но не вершинно-транзитивны . Это связано с тем, что двойственные архимедовы тела являются вершинно-транзитивными, а не гране-транзитивными. Обратите внимание, что в отличие от платоновых тел и тел Архимеда , грани каталонских тел не являются правильными многоугольниками . Однако вершинные фигуры каталонских тел правильные и имеют постоянные двугранные углы . Будучи транзитивными по граням, каталонские тела представляют собой изоэдры .

Кроме того, два каталонских тела являются транзитивными по ребрам : ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр . Это двойники двух квазирегулярных архимедовых тел.

Точно так же, как призмы и антипризмы обычно не считаются архимедовыми телами, бипирамиды и трапецоэдры обычно не считаются каталонскими телами, несмотря на то, что они транзитивны по граням.

Два из каталонских тел являются хиральными : пятиугольный икоситетраэдр и пятиугольный гексеконтаэдр , двойственный киральному курносому кубу и курносому додекаэдру . Каждый из них бывает двух энантиоморфов . Не считая энантиоморф, бипирамид и трапецоэдров, всего каталонских тел 13.

Одиннадцать из 13 каталонских тел обладают свойством Руперта : копию тела такой же или большей формы можно пропустить через отверстие в твердом теле. [1]

Список каталонских тел и их двойников

[ редактировать ]
Имя Конвея Архимедово двойственное Лицо
многоугольник
Ортогональный
каркасы
Картинки Углы грани (°) Двугранный угол (°) Мидрадиус [2] Лица Края Зеленый Сим.
триакис тетраэдр
"кТ"
усеченный тетраэдр Равнобедренный

Версия 3.6.6
Тетраэдр ТриакисаТетраэдр Триакиса112.885
33.557
33.557
129.521 1.0607 12 18 8 Т д
ромбический додекаэдр
"Джей Си"
кубооктаэдр Ромб

Версия 3.4.3.4
Ромбический додекаэдрРомбический додекаэдр70.529
109.471
70.529
109.471
120 0.8660 12 24 14 Ой
триакис октаэдр
"кО"
усеченный куб Равнобедренный

Версия 3.8.8
Октаэдр ТриакисаОктаэдр Триакиса117.201
31.400
31.400
147.350 1.7071 24 36 14 Ой
тетракис шестигранник
"кС"
усеченный октаэдр Равнобедренный

Версия 4.6.6
Тетракис шестигранникТетракис шестигранник83.621
48.190
48.190
143.130 1.5000 24 36 14 Ой
дельтовидный икоситетраэдр
"оС"
ромбокубооктаэдр Видеть

Версия 3.4.4.4
Дельтоидный икоситетраэдрДельтоидный икоситетраэдр81.579
81.579
81.579
115.263
138.118 1.3066 24 48 26 Ой
Додекаэдр Дисдякиса
"мС"
усеченный кубооктаэдр Неравносторонний

Версия 4.6.8
Додекаэдр ДисдякисаДодекаэдр Дисдякиса87.202
55.025
37.773
155.082 2.2630 48 72 26 Ой
пятиугольный икоситетраэдр
"ГК"
курносый куб Пентагон

В3.3.3.3.4
Пятиугольный икоситетраэдрПятиугольный икоситетраэдр (Ccw)114.812
114.812
114.812
114.812
80.752
136.309 1.2472 24 60 38 ТО
ромбический триаконтаэдр
"ДжД"
икосододекаэдр Ромб

В3.5.3.5
Ромбический триаконтаэдрРомбический триаконтаэдр63.435
116.565
63.435
116.565
144 1.5388 30 60 32 I h
триакис икосаэдр
"кИ"
усеченный додекаэдр Равнобедренный

В3.10.10
Триакис икосаэдрТриакис икосаэдр119.039
30.480
30.480
160.613 2.9271 60 90 32 I h
пентакис додекаэдр
"кД"
усеченный икосаэдр Равнобедренный

Версия 5.6.6
Додекаэдр ПентакисаДодекаэдр Пентакиса68.619
55.691
55.691
156.719 2.4271 60 90 32 I h
дельтовидный шестиконтаэдр
"ОД"
ромбикосидодекаэдр Видеть

Версия 3.4.5.4
Дельтоидный шестиконтаэдрДельтоидный шестиконтаэдр86.974
67.783
86.974
118.269
154.121 2.1763 60 120 62 I h
триаконтаэдр дисдиакиса
"мД"
усеченный икосододекаэдр Неравносторонний

Версия 4.6.10
Триаконтаэдр ДисдякисаТриаконтаэдр Дисдякиса88.992
58.238
32.770
164.888 3.7694 120 180 62 I h
пятиугольный шестиконтаэдр
"гД"
курносый додекаэдр Пентагон

В3.3.3.3.5
Пятиугольный шестиконтаэдрПятиугольный шестиконтаэдр (Ccw)118.137
118.137
118.137
118.137
67.454
153.179 2.0971 60 150 92 я

Симметрия

[ редактировать ]

Каталонские тела, наряду с их двойственными архимедовыми телами , можно сгруппировать в тела с тетраэдрической, октаэдрической и икосаэдрической симметрией.Как для октаэдрической, так и для икосаэдрической симметрии существует шесть форм. Единственное каталонское тело с подлинной тетраэдрической симметрией — это тетраэдр триакиса (двойственный усеченному тетраэдру ). Ромбдодекаэдр . и тетракисгексаэдр обладают октаэдрической симметрией, но их можно раскрасить так, чтобы они имели только тетраэдрическую симметрию Ректификация и курносость также существуют при тетраэдрической симметрии, но они являются платоническими, а не архимедовыми, поэтому их двойниками являются платонические, а не каталонские. (В таблице ниже они показаны на коричневом фоне.)

Тетраэдрическая симметрия
Архимед
(Платонический)
каталонский
(Платонический)
Октаэдрическая симметрия
Архимед
каталонский
Икосаэдрическая симметрия
Архимед
каталонский

Геометрия

[ редактировать ]

Все двугранные углы каталонского тела равны. Обозначая их значение через , и обозначая угол грани в вершинах, где лица встречаются , у нас есть

.

Это можно использовать для вычисления и , , ... , от , ... только.

Треугольные лица

[ редактировать ]

Из 13 каталонских тел 7 имеют треугольные грани. Они имеют вид Vp.qr, где p, q и r принимают значения между 3, 4, 5, 6, 8 и 10. Углы , и можно вычислить следующим образом. Помещать , , и положить

.

Затем

,
.

Для и выражения, конечно, похожи. Двугранный угол можно вычислить из

.

Применяя это, например, к триаконтаэдру Дисдиакиса ( , и , следовательно , и , где это золотое сечение ) дает и .

Четырехсторонние грани

[ редактировать ]

Из 13 каталонских тел 4 имеют четырехугольные грани. Они имеют вид Vp.qpr, где p, q и r принимают значения между 3, 4 и 5. Угол можно рассчитать по следующей формуле:

.

Из этого, , и двугранный угол можно легко вычислить. Альтернативно, поставьте , , . Затем и можно найти, применив формулы для треугольного случая. Угол конечно, можно вычислить аналогичным образом.Лица - коршуны , или, если , ромб .Применяя это, например, к дельтовидному икоситетраэдру ( , и ), мы получаем .

Пятиугольные грани

[ редактировать ]

Из 13 каталонских тел 2 имеют пятиугольные грани. Они имеют вид Vp.pppq, где p=3 и q=4 или 5. Угол можно вычислить, решив уравнение третьей степени:

.

Метрические свойства

[ редактировать ]

Для каталонского твердого тела позволять быть двойственным по отношению к средней сфере . Затем представляет собой архимедово тело с такой же средней сферой. Обозначим длину ребер к . Позволять быть радиусом граней , средний радиус и , радиус , и радиус окружности . Тогда эти величины можно выразить через и двугранный угол следующее:

,
,
,
.

Эти величины связаны соотношением , и .

В качестве примера позвольте быть кубооктаэдром с длиной ребра . Затем представляет собой ромбдодекаэдр. Применяя формулу для четырехугольных граней с и дает , следовательно , , , .

Все вершины типа лежат на сфере радиуса данный

,

и аналогично для .

Двойственно, существует сфера, которая касается всех граней которые являются регулярными -гонов (и аналогично для ) в их центре. Радиус этой сферы определяется

.

Эти два радиуса связаны соотношением . Продолжая приведенный выше пример: и , что дает , , и .

Если является вершиной типа , край начиная с , и точка, где находится край касается средней сферы , обозначим расстояние к . Затем края соединение вершин типа и введите иметь длину . Эти величины можно вычислить по формуле

,

и аналогично для . Продолжая приведенный выше пример: , , , , поэтому ребра ромбододекаэдра имеют длину .

Двугранные углы между -угольный и -угольные грани удовлетворить

.

Завершая пример ромбододекаэдра, двугранный угол кубооктаэдра определяется выражением .

Строительство

[ редактировать ]

Грань любого каталонского многогранника можно получить из вершинной фигуры двойственного архимедова тела с помощью конструкции Дормана-Люка . [3]

Применение к другим твердым телам

[ редактировать ]

Все формулы этого раздела также применимы к Платоновым телам , а также к бипирамидам и трапециям с равными двугранными углами, поскольку их можно вывести только из свойства постоянного двугранного угла. Для пятиугольного трапецоэдра , например, с гранями V3.3.5.3 получим , или . В этом нет ничего удивительного: можно срезать обе вершины так, чтобы получить правильный додекаэдр .

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Фредрикссон, Альбин (2024), «Оптимизация свойства Руперта», The American Mathematical Monthly , 131 (3): 255–261, arXiv : 2210.00601 , doi : 10.1080/00029890.2023.2285200
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Архимедово тело» . mathworld.wolfram.com . Проверено 2 июля 2022 г.
  3. ^ Канди и Роллетт (1961) , с. 117; Веннингер (1983) , с. 30.
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 66611c557b47b3445682656ebcccb7c4__1710669540
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/66/c4/66611c557b47b3445682656ebcccb7c4.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Catalan solid - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)