Каталонский солид
В математике , каталонское тело или двойственное к Архимеду тело , представляет собой многогранник, двойственный архимедову телу . Всего каталонских тел 13. Они названы в честь бельгийского математика Эжена Каталана , впервые описавшего их в 1865 году.
Все каталонские тела выпуклые . Они гране-транзитивны , но не вершинно-транзитивны . Это связано с тем, что двойственные архимедовы тела являются вершинно-транзитивными, а не гране-транзитивными. Обратите внимание, что в отличие от платоновых тел и тел Архимеда , грани каталонских тел не являются правильными многоугольниками . Однако вершинные фигуры каталонских тел правильные и имеют постоянные двугранные углы . Будучи транзитивными по граням, каталонские тела представляют собой изоэдры .
Кроме того, два каталонских тела являются транзитивными по ребрам : ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр . Это двойники двух квазирегулярных архимедовых тел.
Точно так же, как призмы и антипризмы обычно не считаются архимедовыми телами, бипирамиды и трапецоэдры обычно не считаются каталонскими телами, несмотря на то, что они транзитивны по граням.
Два из каталонских тел являются хиральными : пятиугольный икоситетраэдр и пятиугольный гексеконтаэдр , двойственный киральному курносому кубу и курносому додекаэдру . Каждый из них бывает двух энантиоморфов . Не считая энантиоморф, бипирамид и трапецоэдров, всего каталонских тел 13.
Одиннадцать из 13 каталонских тел обладают свойством Руперта : копию тела такой же или большей формы можно пропустить через отверстие в твердом теле. [1]
Список каталонских тел и их двойников
[ редактировать ]Имя Конвея | Архимедово двойственное | Лицо многоугольник | Ортогональный каркасы | Картинки | Углы грани (°) | Двугранный угол (°) | Мидрадиус [2] | Лица | Края | Зеленый | Сим. |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
триакис тетраэдр "кТ" | усеченный тетраэдр | Равнобедренный Версия 3.6.6 | 112.885 33.557 33.557 | 129.521 | 1.0607 | 12 | 18 | 8 | Т д | ||
ромбический додекаэдр "Джей Си" | кубооктаэдр | Ромб Версия 3.4.3.4 | 70.529 109.471 70.529 109.471 | 120 | 0.8660 | 12 | 24 | 14 | Ой | ||
триакис октаэдр "кО" | усеченный куб | Равнобедренный Версия 3.8.8 | 117.201 31.400 31.400 | 147.350 | 1.7071 | 24 | 36 | 14 | Ой | ||
тетракис шестигранник "кС" | усеченный октаэдр | Равнобедренный Версия 4.6.6 | 83.621 48.190 48.190 | 143.130 | 1.5000 | 24 | 36 | 14 | Ой | ||
дельтовидный икоситетраэдр "оС" | ромбокубооктаэдр | Видеть Версия 3.4.4.4 | 81.579 81.579 81.579 115.263 | 138.118 | 1.3066 | 24 | 48 | 26 | Ой | ||
Додекаэдр Дисдякиса "мС" | усеченный кубооктаэдр | Неравносторонний Версия 4.6.8 | 87.202 55.025 37.773 | 155.082 | 2.2630 | 48 | 72 | 26 | Ой | ||
пятиугольный икоситетраэдр "ГК" | курносый куб | Пентагон В3.3.3.3.4 | 114.812 114.812 114.812 114.812 80.752 | 136.309 | 1.2472 | 24 | 60 | 38 | ТО | ||
ромбический триаконтаэдр "ДжД" | икосододекаэдр | Ромб В3.5.3.5 | 63.435 116.565 63.435 116.565 | 144 | 1.5388 | 30 | 60 | 32 | I h | ||
триакис икосаэдр "кИ" | усеченный додекаэдр | Равнобедренный В3.10.10 | 119.039 30.480 30.480 | 160.613 | 2.9271 | 60 | 90 | 32 | I h | ||
пентакис додекаэдр "кД" | усеченный икосаэдр | Равнобедренный Версия 5.6.6 | 68.619 55.691 55.691 | 156.719 | 2.4271 | 60 | 90 | 32 | I h | ||
дельтовидный шестиконтаэдр "ОД" | ромбикосидодекаэдр | Видеть Версия 3.4.5.4 | 86.974 67.783 86.974 118.269 | 154.121 | 2.1763 | 60 | 120 | 62 | I h | ||
триаконтаэдр дисдиакиса "мД" | усеченный икосододекаэдр | Неравносторонний Версия 4.6.10 | 88.992 58.238 32.770 | 164.888 | 3.7694 | 120 | 180 | 62 | I h | ||
пятиугольный шестиконтаэдр "гД" | курносый додекаэдр | Пентагон В3.3.3.3.5 | 118.137 118.137 118.137 118.137 67.454 | 153.179 | 2.0971 | 60 | 150 | 92 | я |
заказано по размеру |
---|
Симметрия
[ редактировать ]Каталонские тела, наряду с их двойственными архимедовыми телами , можно сгруппировать в тела с тетраэдрической, октаэдрической и икосаэдрической симметрией.Как для октаэдрической, так и для икосаэдрической симметрии существует шесть форм. Единственное каталонское тело с подлинной тетраэдрической симметрией — это тетраэдр триакиса (двойственный усеченному тетраэдру ). Ромбдодекаэдр . и тетракисгексаэдр обладают октаэдрической симметрией, но их можно раскрасить так, чтобы они имели только тетраэдрическую симметрию Ректификация и курносость также существуют при тетраэдрической симметрии, но они являются платоническими, а не архимедовыми, поэтому их двойниками являются платонические, а не каталонские. (В таблице ниже они показаны на коричневом фоне.)
Архимед (Платонический) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
каталонский (Платонический) |
Архимед | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
каталонский |
Архимед | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
каталонский |
Геометрия
[ редактировать ]Все двугранные углы каталонского тела равны. Обозначая их значение через , и обозначая угол грани в вершинах, где лица встречаются , у нас есть
- .
Это можно использовать для вычисления и , , ... , от , ... только.
Треугольные лица
[ редактировать ]Из 13 каталонских тел 7 имеют треугольные грани. Они имеют вид Vp.qr, где p, q и r принимают значения между 3, 4, 5, 6, 8 и 10. Углы , и можно вычислить следующим образом. Помещать , , и положить
- .
Затем
- ,
- .
Для и выражения, конечно, похожи. Двугранный угол можно вычислить из
- .
Применяя это, например, к триаконтаэдру Дисдиакиса ( , и , следовательно , и , где это золотое сечение ) дает и .
Четырехсторонние грани
[ редактировать ]Из 13 каталонских тел 4 имеют четырехугольные грани. Они имеют вид Vp.qpr, где p, q и r принимают значения между 3, 4 и 5. Угол можно рассчитать по следующей формуле:
- .
Из этого, , и двугранный угол можно легко вычислить. Альтернативно, поставьте , , . Затем и можно найти, применив формулы для треугольного случая. Угол конечно, можно вычислить аналогичным образом.Лица - коршуны , или, если , ромб .Применяя это, например, к дельтовидному икоситетраэдру ( , и ), мы получаем .
Пятиугольные грани
[ редактировать ]Из 13 каталонских тел 2 имеют пятиугольные грани. Они имеют вид Vp.pppq, где p=3 и q=4 или 5. Угол можно вычислить, решив уравнение третьей степени:
- .
Метрические свойства
[ редактировать ]Для каталонского твердого тела позволять быть двойственным по отношению к средней сфере . Затем представляет собой архимедово тело с такой же средней сферой. Обозначим длину ребер к . Позволять быть радиусом граней , средний радиус и , радиус , и радиус окружности . Тогда эти величины можно выразить через и двугранный угол следующее:
- ,
- ,
- ,
- .
Эти величины связаны соотношением , и .
В качестве примера позвольте быть кубооктаэдром с длиной ребра . Затем представляет собой ромбдодекаэдр. Применяя формулу для четырехугольных граней с и дает , следовательно , , , .
Все вершины типа лежат на сфере радиуса данный
- ,
и аналогично для .
Двойственно, существует сфера, которая касается всех граней которые являются регулярными -гонов (и аналогично для ) в их центре. Радиус этой сферы определяется
- .
Эти два радиуса связаны соотношением . Продолжая приведенный выше пример: и , что дает , , и .
Если является вершиной типа , край начиная с , и точка, где находится край касается средней сферы , обозначим расстояние к . Затем края соединение вершин типа и введите иметь длину . Эти величины можно вычислить по формуле
- ,
и аналогично для . Продолжая приведенный выше пример: , , , , поэтому ребра ромбододекаэдра имеют длину .
Двугранные углы между -угольный и -угольные грани удовлетворить
- .
Завершая пример ромбододекаэдра, двугранный угол кубооктаэдра определяется выражением .
Строительство
[ редактировать ]Грань любого каталонского многогранника можно получить из вершинной фигуры двойственного архимедова тела с помощью конструкции Дормана-Люка . [3]
Применение к другим твердым телам
[ редактировать ]Все формулы этого раздела также применимы к Платоновым телам , а также к бипирамидам и трапециям с равными двугранными углами, поскольку их можно вывести только из свойства постоянного двугранного угла. Для пятиугольного трапецоэдра , например, с гранями V3.3.5.3 получим , или . В этом нет ничего удивительного: можно срезать обе вершины так, чтобы получить правильный додекаэдр .
См. также
[ редактировать ]- Список однородных мозаик. Показывает двойные однородные многоугольные мозаики, похожие на каталонские тела.
- Обозначение многогранника Конвея. Процесс построения обозначений.
- Архимедово тело
- Джонсон твердый
Примечания
[ редактировать ]- ^ Фредрикссон, Альбин (2024), «Оптимизация свойства Руперта», The American Mathematical Monthly , 131 (3): 255–261, arXiv : 2210.00601 , doi : 10.1080/00029890.2023.2285200
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Архимедово тело» . mathworld.wolfram.com . Проверено 2 июля 2022 г.
- ^ Канди и Роллетт (1961) , с. 117; Веннингер (1983) , с. 30.
Ссылки
[ редактировать ]- Мемуары Эжена Каталана по теории многогранников. J. l'École Polytechnique (Париж) 41, 1-71, 1865.
- Канди, Х. Мартин ; Роллетт, AP (1961), Математические модели (2-е изд.), Оксфорд: Clarendon Press, MR 0124167 .
- Гайлюнас, П.; Шарп, Дж. (2005), «Двойственность многогранников», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 36 (6): 617–642, doi : 10.1080/00207390500064049 , S2CID 120818796 .
- Алан Холден Формы, пространство и симметрия . Нью-Йорк: Дувр, 1991.
- Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-54325-5 , МР 0730208 (Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и двойственные им)
- Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-Х . (Раздел 3-9)
- Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли. ISBN 0-520-03056-7 . Глава 4: Двойники архимедовых многогранников, призмы и антипризмы
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Вайсштейн, Эрик В. «Каталонские твердые тела» . Математический мир .
- Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр» . Математический мир .
- Каталонские тела - в Visual Polyhedra
- Архимедовы двойники – в Многогранниках виртуальной реальности
- Интерактивный каталанский Solid на Java
- Ссылка для скачивания оригинальной каталонской публикации 1865 года с красивыми рисунками, формат PDF