Средняя сфера

Многогранник и его средняя сфера. Красные кружки — границы сферических шапочек поверхность сферы , внутри которых из каждой вершины видна .

В геометрии или средняя сфера интерсфера выпуклого — многогранника это сфера каждого , касающаяся ребра многогранника . Не каждый многогранник имеет срединную сферу, но однородные многогранники , включая правильные , квазиправильные и полуправильные многогранники, а также двойственные им ( каталанские тела ) имеют срединные сферы. Радиус средней сферы называется мидрадиусом. Говорят, что многогранник, имеющий срединную сферу, вписан в середину этой сферы.

Когда у многогранника есть срединная сфера, на средней сфере можно образовать две перпендикулярные упаковки кругов , одна из которых соответствует примыканиям между вершинами многогранника, а другая соответствует таким же образом его полярному многограннику , имеющему такую ​​же срединную сферу. Длина каждого ребра многогранника равна сумме расстояний от двух его концов до соответствующих им кругов в этой упаковке кругов.

Каждый выпуклый многогранник имеет комбинаторно эквивалентный многогранник, канонический многогранник , который имеет срединную сферу с центром в центроиде точек касания его ребер. Алгоритмы численной аппроксимации могут построить канонический многогранник, но его координаты не могут быть точно представлены в виде выражения в замкнутой форме . Любой канонический многогранник и его полярный двойник можно использовать для образования двух противоположных граней четырехмерной антипризмы .

Определение и примеры

Средняя сфера трехмерного выпуклого многогранника определяется как сфера, касающаяся каждого ребра многогранника. То есть каждое ребро должно касаться его во внутренней точке ребра, не пересекая его. Эквивалентно, это сфера, содержащая вписанную окружность каждой грани многогранника. Когда существует средняя сфера, она уникальна. Не каждый выпуклый многогранник имеет срединную сферу; чтобы иметь среднюю сферу, каждая грань должна иметь вписанную окружность (то есть это должен быть касательный многоугольник ), и все эти вписанные окружности должны принадлежать одной сфере. Например, прямоугольный кубоид имеет срединную сферу только тогда, когда он является кубом, потому что в противном случае он имеет неквадратные прямоугольники в качестве граней, а в них нет вписанных кругов.

Для единичного куба с центром в начале декартовой системы координат и вершинами в восьми точках ${\textstyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$, середины ребер находятся на расстоянии $1{\big /}\!{\sqrt {2}}$ от происхождения. Следовательно, для этого куба средняя сфера находится в начале координат с радиусом ${\textstyle 1{\big /}\!{\sqrt {2}}}$. Это больше радиуса вписанной сферы , ${\textstyle 1/2}$, и меньше радиуса описанной сферы , ${\textstyle {\sqrt {3/4}}}$. В более общем смысле, для любого платонова тела с длиной ребра $\ell$, средний радиус

• ${\tfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}\ell$ для правильного тетраэдра ,
• ${\tfrac {1}{2}}\ell$ для правильного октаэдра ,
• ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\ell$ для обычного куба,
• ${\tfrac {\varphi }{2}}\ell$ для правильного икосаэдра , где $\varphi$ обозначает золотое сечение и
• ${\tfrac {\varphi ^{2}}{2}}\ell$ для правильного додекаэдра .

Однородные многогранники , включая правильные , квазиправильные и полуправильные многогранники, а также двойственные им многогранники, имеют срединные сферы. В правильных многогранниках вписанная сфера, срединная и описанная сферы существуют и концентричны . и средняя сфера касается каждого края в своей средней точке.

Центры четырех попарно касательных сфер образуют вершины тетраэдра Крелля. Здесь четыре равные сферы образуют правильный тетраэдр. Срединная сфера проходит через шесть точек касания этих сфер, образующих в данном случае правильный октаэдр.

Не каждый неправильный тетраэдр имеет срединную сферу. Тетраэдры, имеющие срединную сферу, были названы «тетраэдрами Крелля»; они образуют четырехмерное подсемейство шестимерного пространства всех тетраэдров (параметризованное их шестью длинами ребер). Точнее, тетраэдры Крелля — это именно тетраэдры, образованные центрами четырех сфер, которые все внешне касаются друг друга. В этом случае шесть длин ребер тетраэдра представляют собой попарные суммы четырех радиусов этих сфер. Средняя сфера такого тетраэдра касается его ребер в точках касания двух из четырех образующих сфер и перпендикулярна всем четырем образующим сферам.

Характеристики

Касательные круги

Если O — средняя сфера выпуклого многогранника P , то пересечение O с любой гранью P представляет собой окружность, лежащую внутри грани и касающуюся ее ребер в тех же точках, где касается средняя сфера. Таким образом, каждая грань P имеет вписанную окружность, и эти окружности касаются друг друга ровно тогда, когда грани, на которых они лежат, имеют общее ребро. (Однако не все системы кругов с этими свойствами происходят из срединных сфер.)

Двойственным образом, если v является вершиной P , то существует конус , вершина которого находится в точке v и который касается O в окружности; этот круг образует границу сферической шапки , внутри которой поверхность сферы видна из вершины. То есть круг — это горизонт средней сферы, если смотреть из вершины. Образованные таким образом круги касаются друг друга ровно тогда, когда соответствующие им вершины соединены ребром.

Двойственность

Куб и двойной октаэдр с общей средней сферой.

Если многогранник P имеет среднюю сферу O , то полярный многогранник относительно O также имеет O в качестве своей средней сферы. Плоскости граней полярного многогранника проходят через окружности на O , касающиеся конусов, вершинами которых являются P. вершины Ребра полярного многогранника имеют одинаковые точки касания со средней сферой, в которых они перпендикулярны ребрам P .

Длина кромки

Для многогранника со средней сферой можно присвоить вещественное число каждой вершине ( степень вершины по отношению к средней сфере), равное расстоянию от этой вершины до точки касания каждого ребра, которое ее касается. Для каждого ребра сумма двух чисел, присвоенных его конечным точкам, равна длине ребра. Например, тетраэдры Крелля могут быть параметризованы четырьмя числами, присвоенными таким образом их четырем вершинам, показывая, что они образуют четырехмерное семейство.

Например, четыре точки (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1) образуют один из тетраэдров Креля с тремя равнобедренными прямоугольными треугольниками. и один равносторонний треугольник для лица. Эти четыре точки являются центрами четырех попарно касательных сфер с радиусами ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0.707$ для трех ненулевых точек равностороннего треугольника и $1-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0.293$ для происхождения. Эти четыре числа (три равных и одно меньшее) являются четырьмя числами, которые параметризуют этот тетраэдр. Три ребра тетраэдра соединяют две точки, обе из которых имеют больший радиус; длина этих ребер равна сумме этих равных радиусов, ${\sqrt {2}}$. Остальные три ребра соединяют две точки с разными радиусами, суммируясь в одну.

Когда многогранник со средней сферой имеет гамильтонов цикл , сумму длин ребер в цикле можно разделить таким же образом на удвоенную сумму степеней вершин. Поскольку эта сумма степеней вершин не зависит от выбора ребер в цикле, все гамильтоновы циклы имеют одинаковую длину.

Канонический многогранник

Упаковка кругов на плоскости (синяя), полученная стереографическим проецированием кругов горизонта на среднюю сферу октаэдра. Желтые вершины и красные края представляют собой сам октаэдр, проецируемый по центру на среднюю сферу, а затем стереографически проецируемый на плоскость.

Одна более сильная форма теоремы об упаковке кругов , касающаяся представления плоских графов системами касательных окружностей, утверждает, что каждый многогранный граф может быть представлен вершинами и ребрами многогранника со средней сферой. Эквивалентно, любой выпуклый многогранник можно преобразовать в комбинаторно эквивалентную форму с соответствующими вершинами, ребрами и гранями, имеющую срединную сферу. преобразовать Окружности горизонта полученного многогранника можно с помощью стереографической проекции в упаковку кругов на евклидовой плоскости, которой графом пересечения является заданный граф: его окружности не пересекаются друг с другом и касаются друг друга именно тогда, когда вершинам они соответствуют. чтобы были рядом. Хотя каждый многогранник имеет комбинаторно эквивалентную форму со средней сферой, некоторые многогранники не имеют эквивалентной формы ни с вписанной сферой, ни с описанной сферой.

Любые два выпуклых многогранника с одинаковой решеткой граней и одинаковой срединной сферой могут быть преобразованы друг в друга проективным преобразованием трехмерного пространства, оставляющим срединную сферу в том же положении. Это преобразование оставляет сферу на месте, но перемещает точки внутри сферы в соответствии с преобразованием Мёбиуса . Любой многогранник со средней сферой, масштабированный так, что средняя сфера является единичной сферой, может быть преобразован таким образом в многогранник, у которого центр тяжести точек касания находится в центре сферы. Результатом этого преобразования является эквивалентная форма данного многогранника, называемая каноническим многогранником , со свойством, что все комбинаторно эквивалентные многогранники будут производить одни и те же канонические многогранники друг с другом, с точностью до конгруэнтности . Другой выбор преобразования превращает любой многогранник со средней сферой в такой, который максимизирует минимальное расстояние вершины от средней сферы. Его можно найти за линейное время , и канонический многогранник, определенный таким альтернативным способом, имеет максимальную симметрию среди всех комбинаторно эквивалентных форм одного и того же многогранника. Для многогранников с нециклической группой симметрий, сохраняющих ориентацию, два варианта преобразования совпадают. Например, канонический многогранник кубоида , определенный любым из этих двух способов, представляет собой куб с расстоянием от его центроида до середин его ребер, равным единице, а длина его ребра равна ${\sqrt {2}}$.

Строительство

Численная аппроксимация канонического многогранника для данного многогранного графа может быть построена путем представления графа и его двойственного графа как перпендикулярных упаковок кругов в евклидовой плоскости: применение стереографической проекции для преобразования ее в пару упаковок кругов на сфере, численный поиск преобразования Мёбиуса, которое переносит центроид точек пересечения в центр сферы, и размещение вершин многогранника в точках пространства, имеющих двойные круги трансформированной упаковки — их горизонты. Однако координаты и радиусы кругов на этапе упаковки кругов могут быть неконструируемыми числами , которые не имеют точного выражения в замкнутой форме с использованием арифметических операций и операций с корнем n- й степени.

В качестве альтернативы более простой численный метод построения канонического многогранника, предложенный Джорджем Хартом, работает непосредственно с координатами вершин многогранника, корректируя их положения, пытаясь сделать так, чтобы ребра находились на одинаковом расстоянии от начала координат, чтобы точки минимального на расстоянии от начала координат начало координат должно быть их центроидом, а грани многогранника остаются плоскими. В отличие от метода упаковки кругов, не доказано, что он сходится к каноническому многограннику, и даже не гарантируется создание многогранника, комбинаторно эквивалентного данному, но, похоже, он хорошо работает на небольших примерах.

Приложения

Канонический многогранник и его полярный двойственный многогранник можно использовать для построения четырехмерного аналога антипризмы , одна из двух противоположных граней которого комбинаторно эквивалентна любому данному трехмерному многограннику. Неизвестно, можно ли использовать каждый трехмерный многогранник непосредственно как грань четырехмерной антипризмы, не заменяя ее ее каноническим многогранником, но не всегда это возможно сделать, используя как произвольный трехмерный многогранник, так и его полярный двойной.

Клетка для яйца

Срединную сферу при построении канонического многогранника можно заменить любым гладким выпуклым телом . Учитывая такое тело, каждый многогранник имеет комбинаторно эквивалентную реализацию, ребра которой касаются этого тела. Это было описано как «помещение яйца в клетку»: гладкое тело — это яйцо, а многогранная реализация — его клетка. Более того, фиксация трех краев клетки так, чтобы они имели три заданные точки касания на яйце, делает эту реализацию уникальной.

См. также

• Идеальный многогранник — гиперболический многогранник, в котором каждая вершина лежит на бесконечной сфере.

Ссылки

• Аравинд, ПК (март 2011 г.), «Насколько сферичны архимедовы тела и их двойники?», The College Mathematics Journal , 42 (2): 98–107, doi : 10.4169/college.math.j.42.2.098 , JSTOR   10.4169/college.math.j.42.2.098 , MR   2793141 , S2CID   116393034 , Zbl   1272.97023
• Баннистер, Майкл Дж.; Девэнни, Уильям Э.; Эппштейн, Дэвид ; Гудрич, Майкл Т. (2015), «Сложность построения графов по Галуа: почему численные решения повсеместно распространены для рисунков с направленной силой, спектральных изображений и рисунков с упаковкой кругов», Journal of Graph Algorithms & Applications , 19 (2): 619–656 , arXiv : 1408.1422 , doi : 10.7155/jgaa.00349 , MR   3430492 , Zbl   1328.05128
• Берн, М.; Эппштейн, Д. (2001), «Оптимальные преобразования Мёбиуса для визуализации информации и создания сеток», Материалы 7-го семинара по алгоритмам и структурам данных , WADS 2001, 8–10 августа, Провиденс, Род-Айленд, Конспекты лекций по информатике, том . 2125, Springer-Verlag, стр. 14–25, arXiv : cs.CG/0101006 , doi : 10.1007/3-540-44634-6_3 , MR   1936397 , Zbl   0997.68536
• Байер, Оуэн Д.; Смельцер, Дейдра Л. (2015), «Взаимокасательные сферы в n -пространстве», Mathematics Magazine , 88 (2): 146–150, doi : 10.4169/math.mag.88.2.146 , JSTOR   10.4169/math.mag. 88.2.146 , МР   3359040 , S2CID   125524102 , Збл   1325.51011
• Коксетер, HSM (1973), «2.1 Правильные многогранники; 2.2 Взаимное движение» , Правильные многогранники (3-е изд.), Дувр, стр. 16–17, ISBN  0-486-61480-8 , МР   0370327
• Канди, HM; Роллетт, AP (1961), Математические модели (2-е изд.), Oxford University Press, стр. 79, 117, MR   0124167 , Zbl   0095.38001
• Феттер, Ханс Л. (2012), «Многогранник, полный сюрпризов», Mathematics Magazine , 85 (5): 334–342, doi : 10.4169/math.mag.85.5.334 , JSTOR   10.4169/math.mag.85.5. 334 , МР   3007214 , S2CID   118482074 , Збл   1274,52018
• Грюнбаум, Бранко (2005), «Действительно ли скучны призмы и антипризмы? (Часть 3)» (PDF) , Geombinatorics , 15 (2): 69–78, MR   2298896 , Zbl   1094.52007
• Харт, Джордж В. (1997), «Вычисление канонических многогранников» , Mathematica в образовании и исследованиях , 6 (3): 5–10
• Кобе, Пол (1936), «Контактные проблемы конформного отображения», Бер. Саксонский. Академическая наука Лейпциг, Матем.-Физ. Кл. , 88 : 141–164, ЖФМ   62.1217.04 , Збл   0017.21701.
• Ласло, Лайош (2017), «Неравенство и некоторые равенства для среднего радиуса тетраэдра» (PDF) , Annales Universitat Scientiarum Buddhainensis de Rolando Eötvös Nominatae , 46 : 165–176, MR   3722672 , Zbl   1399.51014
• Лю, Цзиньсун; Чжоу, Цзе (2016), «Сколько клеток окружает яйцо», Inventiones Mathematicae , 203 (2): 655–673, arXiv : 1412.5430 , Bibcode : 2016InMat.203..655L , doi : 10.1007/s00222-015-0602 -з , МР   3455159 , S2CID   253741720 , Збл   1339,52010
• Мохар, Боян (1993), «Алгоритм упаковки полиномиального временного круга», Discrete Mathematics , 117 (1–3): 257–263, doi : 10.1016/0012-365X(93)90340-Y , MR   1226147 , Zbl   0785.52006
• Пью, Энтони (1976), Многогранники: визуальный подход , Калифорнийский университет Press, стр. 4, ISBN  9780520030565 , МР   0451161 , Збл   0387.52006
• Сакс, Хорст (1994), «Графы монет, многогранники и конформное отображение», Discrete Mathematics , 134 (1–3): 133–138, doi : 10.1016/0012-365X(93)E0068-F , MR   1303402 , Zbl   0808.05043
• Шрамм, Одед в клетку », Inventions , 107 ) Бибкод Zbl : , (1992 ) 3 1992InMat Mathematicae 543–560   , « Как , 3   0726.52003 : (   поместить яйцо
• Спрингборн, Борис А. (2005), «Уникальное представление типов многогранников: центрирование посредством преобразований Мёбиуса», Mathematische Zeitschrift , 249 (3): 513–517, arXiv : math/0401005 , doi : 10.1007/s00209-004-0713 -5 , МР   2121737 , С2КИД   7624380 , Збл   1068,52015
• Стейниц, Э. (1928), «Об изопериметрических задачах в выпуклых многогранниках», Журнал чистой и прикладной математики , 1928 (159): 133–143, doi : 10.1515/crll.1928.159.133 , JFM   54.0527.04 , MR   1581158 , S2CID   199546274
• Уилер, Роджер Ф. (декабрь 1958 г.), «25. Четырехугольники», Классные заметки, The Mathematical Gazette , 42 (342): 275–276, doi : 10.2307/3610439 , JSTOR   3610439 , S2CID   250434576
• Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам , Тексты для аспирантов по математике, том. 152, Springer-Verlag, стр. 117–118, номер документа : 10.1007/978-1-4613-8431-1 , ISBN.  0-387-94365-Х , МР   1311028 , Збл   0823.52002
• Циглер, Гюнтер М. (2007), «Выпуклые многогранники: экстремальные конструкции и f -векторные формы», Миллер, Эзра; Райнер, Виктор; Штурмфельс, Бернд (ред.), Геометрическая комбинаторика , Серия IAS / Park City Mathematics, том. 13, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 617–691, arXiv : math/0411400 , doi : 10.1090/pcms/013/10 , MR   2383133 , Zbl   1134.52018.