Классические гамильтоновы кватернионы

Чтобы узнать об истории кватернионов, см. историю кватернионов . Для более общего рассмотрения кватернионов см. кватернион .

Уильям Роуэн Гамильтон изобрел кватернионы , математическую сущность, в 1843 году. В этой статье описывается оригинальная трактовка Гамильтоном кватернионов, используя его обозначения и термины. Подход Гамильтона более геометрический , чем современный подход, который подчеркивает алгебраические свойства кватернионов. Математически обсуждаемые кватернионы отличаются от современного определения только используемой терминологией.

Классические элементы кватерниона

Гамильтон определил кватернион как частное двух направленных линий в трехмерном пространстве ; или, в более общем смысле, как частное двух векторов.

Кватернион можно представить как сумму скаляра и вектора . Его также можно представить как произведение своего тензора и своего версора .

Скаляр

Основная статья: Скаляр (математика)

Гамильтон изобрел термин « скаляры» для действительных чисел , поскольку они охватывают «шкалу прогрессии от положительной бесконечности к отрицательной». или потому, что они представляют собой «сравнение позиций по одной общей шкале». Гамильтон считал обычную скалярную алгебру наукой о чистом времени.

Вектор

См. Также: Векторное пространство

Гамильтон определил вектор как «прямую линию… имеющую не только длину, но и направление». Гамильтон получил слово « вектор» от латинского vehere , что означает «нести».

Гамильтон понимал вектор как «разность двух его крайних точек». Для Гамильтона вектор всегда был трехмерным объектом, имеющим три координаты относительно любой данной системы координат, включая, помимо прочего, как полярную , так и прямоугольную системы. Поэтому он называл векторы «тройками».

Гамильтон определил сложение векторов в геометрических терминах, поместив начало второго вектора в конец первого. Он продолжил определение векторного вычитания.

Добавляя вектор сам к себе несколько раз, он определил умножение вектора на целое число , затем расширил это до деления на целое число и умножения (и деления) вектора на рациональное число. Наконец, взяв пределы, он определил результат умножения вектора α на любой скаляр x как вектор β с тем же направлением, что и α, если x положителен; направление, противоположное α, если x отрицательно; и длина | х | раз больше длины α.

двух Таким образом , частное параллельных или антипараллельных векторов является скаляром с абсолютным значением, равным отношению длин двух векторов; скаляр положителен, если векторы параллельны, и отрицателен, если они антипараллельны.

Единичный вектор

Единичный вектор — это вектор длины один. Примеры единичных векторов включают i, j и k.

Тензор

Примечание. Использование Гамильтоном слова « тензор» не совпадает с современной терминологией. Гамильтона Тензор на самом деле является абсолютной величиной в алгебре кватернионов, что делает ее нормированным векторным пространством .

Гамильтон определил тензор как положительную числовую величину или, точнее, беззнаковое число. Тензор можно рассматривать как положительный скаляр. «Тензор» можно рассматривать как представляющий «коэффициент растяжения».

Гамильтон ввел термин «тензор» в своей первой книге «Лекции по кватернионам», основанной на лекциях, которые он прочитал вскоре после изобретения кватернионов:

• кажется удобным расширить по определению значение нового слова «тензор», чтобы сделать его способным включать также и те другие случаи, в которых мы работаем с линией, уменьшая, а не увеличивая ее длину; и вообще, изменяя эту длину в любом определенном соотношении. Таким образом, мы получим (на что намекнули в конце рассматриваемой статьи) дробные и даже несоизмеримые тензоры, которые будут просто числовыми множителями, и все будут положительными или (вернее выражаясь) беззнаковыми числами , то есть не облеченными алгебраические знаки положительного и отрицательного ; потому что в рассматриваемой здесь операции мы абстрагируемся от направлений (а также от ситуаций) линий, которые сравниваются или над которыми действуют.

Каждый кватернион имеет тензор, который является мерой его величины (так же, как длина вектора является мерой величины векторов). Когда кватернион определяется как частное двух векторов, его тензор представляет собой отношение длин этих векторов.

повернуть

Основная статья: версор

Версор — это кватернион с тензором, равным 1. В качестве альтернативы версор можно определить как частное двух векторов одинаковой длины.

В общем, версор определяет все следующее: ось направления; плоскость, нормальная к этой оси; и угол поворота.

При перемножении версора и вектора, лежащего в плоскости версора, в результате получается новый вектор той же длины, но повернутый на угол версора.

Векторная дуга

Поскольку каждый единичный вектор можно рассматривать как точку на единичной сфере и поскольку версор можно рассматривать как частное двух векторов, версор имеет репрезентативную дугу большого круга , называемую векторной дугой , соединяющую эти две точки. проведенный от делителя или нижней части частного к делимому или верхней части частного.

правый поворотник

Когда дуга версора имеет величину прямого угла , то он называется прямым версором , прямым радиальным или четырехугольным версором .

Вырожденные формы

Есть два особых случая вырожденного версора, называемых единичными скалярами. Эти два скаляра (отрицательную и положительную единицы) можно рассматривать как скалярные кватернионы . Эти два скаляра представляют собой особые предельные случаи, соответствующие версорам с углами, равными нулю или π.

В отличие от других версоров, эти два не могут быть представлены уникальной дугой. Дуга 1 представляет собой одну точку, а –1 может быть представлена ​​бесконечным количеством дуг, поскольку между противоположными точками сферы существует бесконечное количество кратчайших линий.

Кватернион

Каждый кватернион можно разложить на скаляр и вектор.

$q=\mathbf {S} (q)+\mathbf {V} (q)$

Эти две операции S и V называются «взять скаляр» и «взять вектор» кватерниона. Векторную часть кватерниона еще называют правой частью.

Каждый кватернион равен версору, умноженному на тензор кватерниона. Обозначая версор кватерниона через

$\mathbf {U} q$

и тензор кватерниона на

$\mathbf {T} q$

у нас есть

$q=\mathbf {T} q\mathbf {U} q$

Правый кватернион

Действительный кратный правому версору является правым кватернионом, таким образом, правый кватернион - это кватернион, скалярный компонент которого равен нулю,

$S(q)=0.$

Угол правого кватерниона равен 90 градусов. Таким образом, правый кватернион имеет только векторную часть и не имеет скалярной части. Правые кватернионы можно представить в стандартной трехчленной форме. Например, если Q — правый кватернион, его можно записать как:

$Q=xi+yj+zk$

Четыре операции

Четыре операции имеют фундаментальное значение в записи кватернионов.

+ − ÷ ×

В частности, важно понимать, что существует одна операция умножения, одна операция деления и одна операция сложения и вычитания. Этот единственный оператор умножения может работать с любыми типами математических объектов. Аналогично, любой тип объекта можно разделить, добавить или вычесть из объекта любого другого типа. Понимание значения символа вычитания имеет решающее значение в теории кватернионов, поскольку оно ведет к пониманию концепции вектора.

Порядковые операторы

Двумя порядковыми операциями в классической записи кватернионов были сложение и вычитание или + и -.

Эти отметки:

«...характеристики синтеза и анализа состояния прогресса в зависимости от того, считается ли это состояние полученным из какого-либо другого состояния этого прогресса или сравнивается с ним».

Вычитание

Вычитание — это тип анализа , называемый порядковым анализом.

... пусть теперь пространство будет рассматриваться как поле прогресса, которое необходимо изучать, а ТОЧКИ - как состояния этого прогресса. ...Я вынужден рассматривать слово «Минус» или знак - в геометрии как знак или характеристику анализа одного геометрического положения (в пространстве) по сравнению с другим (таким) положением. Сравнение одной математической точки с другой с целью определения того, что можно назвать их порядковым отношением или их относительным положением в пространстве...

Первый пример вычитания — взять точку А для обозначения Земли, а точку В для обозначения Солнца, затем стрелка, проведенная от А к В, представляет собой акт перемещения или векторизации от А к В.

Б - А

это первый пример вектора в лекциях Гамильтона. В данном случае акт путешествия от Земли к Солнцу.

Дополнение

Сложение — это тип анализа, называемый порядковым синтезом.

Сложение векторов и скаляров

Могут быть добавлены векторы и скаляры. Когда вектор добавляется к скаляру, создается совершенно другой объект — кватернион.

Вектор плюс скаляр всегда является кватернионом, даже если скаляр равен нулю. Если скаляр, добавленный к вектору, равен нулю, то новый созданный кватернион называется правым кватернионом. Он имеет угол характеристики 90 градусов.

Кардинальные операции

Две кардинальные операции в обозначениях кватернионов являются геометрическим умножением и геометрическим делением и могут быть записаны:

÷, ×

Для использования деления и умножения не требуется изучать следующие более сложные термины.

Деление — это своего рода анализ , называемый кардинальным анализом. Умножение — это разновидность синтеза, называемого кардинальным синтезом.

Дивизия

Классически кватернион рассматривался как отношение двух векторов, иногда называемое геометрической дробью.

Если OA и OB представляют собой два вектора, проведенные из начала координат O в две другие точки A и B, то геометрическая дробь записывается как

$OA:OB$

Альтернативно, если два вектора представлены α и β, частное записывалось как

$\alpha \div \beta$

или

${\frac {\alpha }{\beta }}$

Гамильтон утверждает: «Частное двух векторов обычно представляет собой кватернион». В «Лекциях по кватернионам» также впервые вводится понятие кватерниона как отношения двух векторов:

Логично и по определению,

если ${\frac {\alpha }{\beta }}=q$

затем ${q}\times {\beta }=\alpha .$.

В исчислении Гамильтона произведение некоммутативно , т. е. порядок переменных имеет большое значение. Если бы порядок q и β поменялся местами, результат, вообще говоря, не был бы α. Кватернион q можно рассматривать как оператор, который превращает β в α, сначала вращая его, что раньше было актом версии , а затем изменяя его длину, что раньше называлось актом натяжения .

определению частное двух векторов равно произведению числителя на обратную величину знаменателя Также по . Поскольку умножение векторов не является коммутативным, порядок в следующем выражении изменить нельзя.

${\frac {\alpha }{\beta }}=\,{\alpha }\times {\frac {1}{\beta }}$

И снова порядок двух величин в правой части имеет значение.

Харди представляет определение деления с точки зрения мнемонических правил отмены. «Отмена выполнения ударом правой руки вверх».

Если альфа и бета — векторы, а q — кватернион такой, что

${\frac {\alpha }{\beta }}=q$

затем $\alpha \beta ^{-1}=q$

и ${\frac {\alpha }{\beta }}.\beta =\alpha \beta ^{-1}.\beta =\alpha$

$\times$ и $\div$ являются обратными операциями, такими что:

$\beta \div \alpha \times \alpha =\beta$ и $q\times \alpha \div \alpha =q$

и

$\gamma =(\gamma \div \beta )\times (\beta \div \alpha )\times \alpha$

Важным способом представления q является оператор, который превращает β в α, сначала вращая его ( версия ), а затем изменяя его длину (натяжение).

$\gamma \div \alpha =(\gamma \div \beta )\times (\beta \div \alpha )$

Деление единичных векторов i , j , k

Результаты использования оператора деления на i , j и k были следующими.

$ij=k$	${\frac {k}{j}}=i$
$jk=i$	${\frac {i}{k}}=j$
$ki=j$	${\frac {j}{i}}=k$
$ji=-k$	${\frac {-k}{i}}=j$
$kj=-i$	${\frac {-i}{j}}=k$
$ik=-j$	${\frac {-j}{k}}=i$
$i(-j)=-k$	${\frac {-k}{-j}}=i$
$i(-k)=j$	${\frac {j}{-k}}=i$
$k(-i)=-j$	${\frac {-j}{-i}}=k$
$k(-j)=i$	${\frac {i}{-j}}=k$
$j(-k)=-i$	${\frac {-i}{-k}}=j$
$j(-i)=k$	${\frac {k}{-i}}=j$

Обратной величиной единичного вектора является перевернутый вектор.

${\frac {1}{i}}=i^{-1}=-i$

Поскольку единичный вектор и его обратная величина параллельны друг другу, но направлены в противоположных направлениях, произведение единичного вектора и его обратной величины обладает коммутативным свойством в особом случае, например, если a - любой единичный вектор, тогда:

${\frac {1}{a}}a=(-a)a=1=a(-a)=a{\frac {1}{a}}.$

Однако в более общем случае, включающем более одного вектора (независимо от того, является ли он единичным вектором), коммутативное свойство не выполняется. Например:

$i{\frac {k}{i}}$ ≠ ${\frac {k}{i}}i.$

Это связано с тем, что k/i тщательно определяется как:

${\frac {k}{i}}=k{\frac {1}{i}}=ki^{-1}=k(-i)=-(ki)=-(j)=-j$.

Так что:

$i{\frac {k}{i}}=i(-j)=-k$,

однако

${\frac {k}{i}}i=(-j)i=-(ji)=-(-k)=k$

Деление двух параллельных векторов

Хотя в общем случае частное двух векторов является кватернионом, если α и β — два параллельных вектора, то частное этих двух векторов является скаляром. Например, если

$\alpha =ai$,

и $\beta =bi$ затем

$\alpha \div \beta ={\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {ai}{bi}}={\frac {a}{b}}$

Где a/b — скаляр.

Деление двух непараллельных векторов

Частное двух векторов обычно представляет собой кватернион:

$q={\frac {\alpha }{\beta }}$$={\frac {T\alpha }{T\beta }}(\cos \phi +\epsilon \sin \phi )$

Где α и β — два непараллельных вектора, φ — это угол между ними, а ε — единичный вектор, перпендикулярный плоскости векторов α и β, направление которого определяется стандартным правилом правой руки.

Умножение

Классическая нотация кватернионов имела только одно понятие умножения. Умножение двух действительных чисел, двух мнимых чисел или действительного числа на мнимое в классической системе счисления было одной и той же операцией.

Умножение скаляра и вектора выполнялось с помощью одного и того же оператора умножения; умножение двух векторов кватернионов использовало ту же операцию, что и умножение кватерниона и вектора или двух кватернионов.

Создатель, Фасад и Сделано

Фактор × Фасад = Готово

При умножении двух величин первую величину называют коэффициентом. вторая величина называется лицевой стороной, а результат называется фактом.

Дистрибутив

В классической записи умножение было распределительным . Понимание этого позволяет легко понять, почему произведение двух векторов в классической записи дает кватернион.

$q=(ai+bj+ck)\times (ei+fj+gk)$

$q=ae({i}\times {i})+af({i}\times {j})+ag({i}\times {k})+be({j}\times {i})+bf({j}\times {j})+bg({j}\times {k})+ce({k}\times {i})+cf({k}\times {j})+cg({k}\times {k})$

Используя таблицу умножения кватернионов, имеем:

$q=ae(-1)+af(+k)+ag(-j)+be(-k)+bf(-1)+bg(+i)+ce(+j)+cf(-i)+cg(-1)$

Затем собираем термины:

$q=-ae-bf-cg+(bg-cf)i+(ce-ag)j+(af-be)k$

Первые три члена являются скалярными.

Сдача в аренду

$w=-ae-bf-cg$

$x=(bg-cf)$

$y=(ce-ag)$

$z=(af-be)$

Так что произведение двух векторов является кватернионом и может быть записано в виде:

$q=w+xi+yj+zk$

Произведение

Произведение двух правых кватернионов обычно является кватернионом.

Пусть α и β — правые кватернионы, полученные в результате взятия векторов двух кватернионов:

$\alpha =\mathbf {V} p$

$\beta =\mathbf {V} q$

Их продукт в целом представляет собой новый кватернион, представленный здесь r. Это произведение не является неоднозначным, поскольку классическая запись имеет только один продукт.

$r=\,\alpha \beta ;$

Как и все кватернионы, r теперь можно разложить на векторную и скалярную части.

$r=\mathbf {S} r+\mathbf {V} r$

Члены справа называются скаляром произведения и вектором произведения . из двух правых кватернионов.

Примечание. «Скаляр произведения» соответствует евклидову скалярному произведению двух векторов с точностью до смены знака (умножение на −1).

Подробно о других операторах

Скаляр и вектор

Двумя важными операциями в двух классических системах обозначений кватернионов были S (q) и V (q), что означало взятие скалярной части и мнимой части того, что Гамильтон назвал векторной частью кватерниона. Здесь S и V — операторы, действующие на q. В выражениях такого типа можно без двусмысленности опустить скобки. Классические обозначения:

$q=\,\mathbf {S} q+\mathbf {V} q$

Здесь q — кватернион. S q — скаляр кватерниона, а V q — вектор кватерниона.

Сопряжение

K — сопряженный оператор. Сопряженным кватернионом является кватернион, полученный умножением векторной части первого кватерниона на минус единицу.

Если

$q=\,\mathbf {S} q+\mathbf {V} q$

затем

$\mathbf {K} q=\mathbf {S} \,q-\mathbf {V} q$.

Выражение

$r=\,\mathbf {K} q$,

значит, присвойте кватерниону r значение, сопряженное с кватернионом q.

Тензор

T — тензорный оператор. Он возвращает своего рода число, называемое тензором .

Тензор положительного скаляра и есть этот скаляр. Тензор отрицательного скаляра представляет собой абсолютное значение скаляра (т. е. без отрицательного знака). Например:

$\mathbf {T} (5)=5$

$\mathbf {T} (-5)=5$

Тензор вектора по определению является длиной вектора. Например, если:

$\alpha =xi+yj+zk$

Затем

$\mathbf {T} \alpha ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

Тензор единичного вектора равен единице. Поскольку версор вектора является единичным вектором, тензор версора любого вектора всегда равен единице. Символически:

$\mathbf {TU} \alpha =1$

Кватернион по определению является фактором двух векторов, а тензор кватерниона по определению является фактором тензоров этих двух векторов. В символах:

$q={\frac {\alpha }{\beta }}.$

$\mathbf {T} q={\frac {\mathbf {T} \alpha }{\mathbf {T} \beta }}.$

Из этого определения можно показать, что полезная формула для тензора кватерниона :

$\mathbf {T} q={\sqrt {w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

Из этого определения также можно доказать, что другая формула для получения тензора кватерниона основана на общей норме, определяемой как произведение кватерниона и его сопряженного числа. Квадратный корень из общей нормы кватерниона равен его тензору.

$\mathbf {T} q={\sqrt {qKq}}$

Полезное тождество состоит в том, что квадрат тензора кватерниона равен тензору квадрата кватерниона, поэтому круглые скобки можно опустить.

$(\mathbf {T} q)^{2}=\mathbf {T} (q^{2})=\mathbf {T} q^{2}$

Кроме того, тензоры сопряженных кватернионов равны.

$\mathbf {TK} q=\mathbf {T} q$

Тензор кватерниона теперь называется его нормой .

Ось и угол

Взятие угла нескалярного кватерниона привело к получению значения больше нуля и меньше π.

Когда нескалярный кватернион рассматривается как частное двух векторов, то ось кватерниона представляет собой единичный вектор, перпендикулярный плоскости двух векторов в этом исходном частном, в направлении, заданном правилом правой руки. Угол — это угол между двумя векторами.

В символах,

$u=Ax.q$

$\theta =\angle q$

Взаимный

Если

$q={\frac {\alpha }{\beta }}$

тогда его обратная величина определяется как

${\frac {1}{q}}=q^{-1}={\frac {\beta }{\alpha }}$

Выражение:

${q}\times {\alpha }\times {\frac {1}{q}}$

Взаимные числа имеют множество важных применений. например, вращение , особенно когда q является версором. Версор имеет простую формулу для обратного значения.

${\frac {1}{(\mathbf {U} q)}}=\mathbf {S.U} q-\mathbf {V.U} q=\mathbf {K.U} q$

На словах обратная величина версора равна его сопряженной величине. Точки между операторами показывают порядок операций, а также помогают указать, что, например, S и U — это две разные операции, а не одна операция с именем SU.

Общая норма

Произведение кватерниона на сопряженный ему является его общей нормой.

Операция взятия общей нормы кватерниона обозначается N. буквой По определению общая норма — это произведение кватерниона на сопряженный ему. Это можно доказать эта общая норма равна квадрату тензора кватерниона. Однако это доказательство не является определением. Гамильтон дает точные, независимые определения как общей нормы, так и тензора. Эта норма была принята в соответствии с теорией чисел, однако, по словам Гамильтона, «они нечасто будут нужны». Тензор обычно более полезен. Слово « норма» не появляется в «Лекциях по кватернионам» и только дважды в оглавлении « Элементов кватернионов» .

В символах:

$\mathbf {N} q=\,q\mathbf {K} q=\,(\mathbf {T} q)^{2}$

Общая норма версора всегда равна положительной единице.

$\mathbf {NU} q=\mathbf {U} q.\mathbf {KU} q=1$

Бикватернионы

Геометрически действительные и геометрически мнимые числа

В классической кватернионной литературе уравнение

$q^{2}=-1$

Считалось, что она имеет бесконечно много решений, которые назывались геометрически реальными . Эти решения представляют собой единичные векторы, образующие поверхность единичной сферы.

кватернион Геометрически реальный — это тот, который можно записать как линейную комбинацию i , j и k , так что квадраты коэффициентов в сумме дают единицу. Гамильтон продемонстрировал, что помимо геометрически действительных корней у этого уравнения должны быть дополнительные корни. Учитывая существование воображаемого скаляра, ряду выражений можно написать и дать им собственные имена. Все они были частью первоначального кватернионного исчисления Гамильтона. В символах:

$q+q'{\sqrt {-1}}$

где q и q' — вещественные кватернионы, а квадратный корень из минус единицы — это мнимая часть обычной алгебры , и называются мнимыми или символическими корнями. а не геометрически реальной векторной величиной.

Мнимый скаляр

Геометрически мнимые величины являются дополнительными корнями приведенного выше уравнения чисто символического характера. В статье 214 « Элементов » Гамильтон доказывает, что если существуют i, j и k, то должна быть и другая величина h, которая является мнимым скаляром, что, по его наблюдениям, должно было уже прийти на ум каждому, кто внимательно прочитал предыдущие статьи. Статья 149 « Элементов» посвящена геометрически мнимым числам и включает сноску, вводящую термин «бикватернион» . термины «мнимое» из обычной алгебры и «скалярное мнимое» Для этих геометрически мнимых величин иногда используются .

Геометрически мнимые корни уравнения интерпретировались в классическом мышлении как геометрически невозможные ситуации. В статье 214 « Элементов кватернионов» рассматривается пример уравнения линии и круга, которые не пересекаются, на что указывает уравнение, имеющее только геометрически воображаемый корень.

В более поздних работах Гамильтон предложил использовать букву h для обозначения воображаемого скаляра.

Бикватернион

Основная статья: Бикватернион

На странице 665 книги « Элементы кватернионов» Гамильтон определяет бикватернион как кватернион с комплексными коэффициентами. Скалярная часть бикватерниона тогда представляет собой комплексное число, называемое бискаляром . Векторная часть бикватерниона представляет собой бивектор , состоящий из трех комплексных компонент. Бикватернионы тогда представляют собой комплексификацию исходных (реальных) кватернионов.

двойные

Гамильтон изобрел термин «ассоциативный» , чтобы различать воображаемый скаляр (известный теперь как комплексное число ), который является одновременно коммутативным и ассоциативным, и четырьмя другими возможными корнями отрицательной единицы, которые он обозначил L, M, N и O, кратко упомянув их в приложение Б к Лекциям по кватернионам и в частных письмах. Однако неассоциативные корни минус один не появляются в Elements of Quaternions . Гамильтон умер до того, как начал работать об этих странных существах. Его сын утверждал, что это «луки, предназначенные для рук другого Улисса».

См. также

• Строительство Кэли – Диксона
• Октонионы
• Теория Фробена

Сноски

Ссылки

• WR Hamilton (1853), Лекции по кватернионам в Google Books, Дублин: Ходжес и Смит
• У. Р. Гамильтон (1866 г.), «Элементы кватернионов» в Google Книгах , 2-е издание, под редакцией Чарльза Джаспера Джоли, Longmans Green & Company.
• А. С. Харди (1887), Элементы кватернионов
• П.Г. Тейт (1890), Элементарный трактат о кватернионах , Кембридж: CJ Clay and Sons
• Герберт Гольдштейн (1980), Классическая механика , 2-е издание, каталожный номер Библиотеки Конгресса QA805.G6, 1980 г.