Базовая модель

В множеств базовая модель является определяемой внутренней моделью вселенной множеств всех теории . Несмотря на то, что теоретики множеств называют «базовую модель», это не однозначно идентифицируемый математический объект. Скорее, это класс внутренних моделей, которые при правильных теоретико-множественных предположениях обладают совершенно особыми свойствами, в первую очередь свойствами покрытия . Интуитивно понятно, что базовая модель — это «самая большая из существующих канонических внутренних моделей» (Эрнест Шиммерлинг и Джон Р. Стил ) и обычно связана с большим кардинальным понятием. Если Φ — большое кардинальное понятие, то фраза «основная модель ниже Φ» относится к определимой внутренней модели, которая демонстрирует особые свойства в предположении, что не существует кардинала , удовлетворяющего Φ. Программа базовой модели пытается проанализировать большие кардинальные аксиомы, определяя основные модели, находящиеся под ними.

История [ править ]

Первой базовой моделью была Курта Гёделя вселенная L. конструктивная Рональд Дженсен доказал покрывающую лемму для L в 1970-х годах в предположении отсутствия нулевой остроты , установив, что L является «основной моделью ниже нуля». Работа Соловея выделила еще одну базовую модель L [ U ] для U – на ультрафильтра измеримом кардинале (и связанного с ним «острого» нулевого кинжала ). Вместе с Тони Доддом Дженсен построил основную модель Додда-Дженсена («ядерная модель ниже измеримого кардинала») и доказал для нее лемму о покрытии и обобщенную лемму о покрытии для L [ U ].

Митчелл использовал последовательные последовательности мер для разработки основных моделей, содержащих несколько измеримых величин или более высокого порядка. Еще позже модель ядра Steel использовала расширители и деревья итераций для построения базовой модели ниже кардинала Вудина .

Построение основных моделей [ править ]

Базовые модели создаются посредством трансфинитной рекурсии из небольших фрагментов базовой модели, называемых мышами . Важным элементом конструкции является лемма сравнения, позволяющая упорядочить соответствующих мышей.

На уровне сильных кардиналов и выше строится промежуточная счетно сертифицированная базовая модель K ^с, а затем, если возможно, извлекает K из K ^с.

Свойства основных моделей [ править ]

K _c (и, следовательно, K) представляет собой мелкоструктурную счетно-итерируемую модель расширения ниже длинных расширителей. (В настоящее время неизвестно, как быть с длинными расширителями, которые устанавливают, что кардинал является сверхсильным .) Здесь счетная итерация означает ω ₁ +1 итерируемость для всех счетных элементарных подструктур начальных отрезков, и этого достаточно для разработки базовой теории, включая некоторые конденсационные свойства. Теория таких моделей канонична и хорошо изучена. Они удовлетворяют GCH , принципу ромба для всех стационарных подмножеств правильных кардиналов, принципу квадрата (кроме субкомпактных кардиналов ) и другим принципам, сохраняющимся в L.

К ^с является максимальным в нескольких смыслах. К ^с правильно вычисляет потомков измеримых и многих сингулярных кардиналов. Также ожидается, что при соответствующем ослаблении счетной аттестуемости K ^с правильно вычислил бы потомков всех слабо компактных и сингулярных сильных предельных кардиналов . Если V закрыт оператором мыши (внутренний оператор модели), то закрывается и K. ^с. К ^с не имеет острого: не существует естественного нетривиального элементарного вложения K ^с в себя. (Однако, в отличие от К, К ^с может быть элементарно самовстраиваемым.)

Если, кроме того, в этой модели также нет кардиналов Вудина (за исключением некоторых конкретных случаев, когда неизвестно, как следует определять базовую модель, если K _c имеет кардиналы Вудина), мы можем извлечь фактическую базовую модель K. K также своя собственная базовая модель. K является локально определимым и генерически абсолютным: для любого общего расширения V, для каждого кардинала κ>ω ₁ в V[G], K, построенный в H(κ) из V[G], равен K∩H(κ). (Это было бы невозможно, если бы в К входили кардиналы Вудина). K является максимальным, универсальным и полностью итеративным. Это означает, что для каждой итерируемой модели-расширителя M (называемой мышью) существует элементарное вложение M → N и начального сегмента K в N, и если M является универсальным, вложение K в M.

Предполагается, что если K существует и V замкнуто относительно точного оператора M, то K есть Σ ¹₁ правильно, разрешая действительные числа из K в качестве параметров и M в качестве предиката. Это составляет Σ ¹₃ корректность (в обычном смысле), если M есть x→x ^#.

Базовую модель также можно определить над определенным набором ординалов X: X принадлежит K(X), но K(X) удовлетворяет обычным свойствам K выше X. Если не существует итерируемой внутренней модели с ω кардиналами Вуда, то для некоторого X существует K(X). Приведенное выше обсуждение K и K ^с обобщается на K(X) и K ^с(Х).

Построение основных моделей [ править ]

Гипотеза:

Если не существует ω ₁ +1 итерируемой модели с длинными расширителями (и, следовательно, модели со сверхсильными кардиналами), то K ^с существует.
Если К ^с существует и, поскольку она построена в каждом общем расширении V (то есть, при некотором общем коллапсе Coll(ω, <κ) для достаточно большого порядкового номера κ) удовлетворяет условию «нет кардиналов Вуда», то базовая модель K существует.

Частичные результаты этой гипотезы таковы:

Если нет внутренней модели с кардиналом Вудина, то K существует.
Если (жирный шрифт) Σ ¹_{Определенность n} (n конечно) выполняется в каждом общем расширении V, но не существует итерируемой внутренней модели с n кардиналами Вудина, тогда K существует.
Если существует измеримый кардинал κ, то либо K ^с ниже κ существует, или существует ω ₁ +1 итерационная модель с измеримым пределом λ как кардиналов Вуда, так и кардиналов, сильных до λ.

Если V имеет кардиналы Вудина, но не имеет кардиналов, превосходящих кардиналы Вудина, то при соответствующих обстоятельствах (кандидат на) K может быть построен путем построения K ниже каждого кардинала Вудина (и ниже класса всех порядковых номеров) κ, но выше этого K, как построено ниже супремума кардиналов Вуда ниже κ. Модель-кандидат ядра не является полностью итерируемой (итерация не выполняется при кардиналах Вудина) и в общем случае не абсолютна, но в остальном ведет себя как K.

Ссылки [ править ]

У. Хью Вудин (июнь/июль 2001 г.). [1] . Уведомления АМС.
Уильям Митчелл. «Начало теории внутренних моделей» (глава 17 тома 3 «Справочника по теории множеств») в [2] .
Мэтью Форман и Акихиро Канамори (редакторы). «Справочник по теории множеств», Springer Verlag, 2010 г., ISBN 978-1402048432 .
Рональд Дженсен и Джон Р. Стил. «К без измеримого». Журнал символической логики, том 78, выпуск 3 (2013), 708–734.