Лемма о покрытии

В основах математики покрывающая лемма используется для доказательства того, что отсутствие некоторых больших кардиналов приводит к существованию канонической внутренней модели , называемой базовой моделью , то есть в некотором смысле максимальной и аппроксимирующей структуру Вселенная Неймана V. фон Лемма о покрытии утверждает, что при некотором конкретном предположении об антибольшом кардинале базовая модель существует и является максимальной в том смысле, который зависит от выбранного большого кардинала. Первый такой результат был доказан Рональдом Дженсеном для конструируемой вселенной, предполагая, что 0 ^# не существует, что теперь известно как теорема о покрытии Йенсена .

Пример [ править ]

нет внутренней модели Например, если для измеримого кардинала , то основная модель Додда-Йенсена K ^диджей является базовой моделью и удовлетворяет свойству покрытия , то есть для каждого несчетного набора x ординалов существует y такой, что y ⊃ x , y имеет ту же мощность, что и x , и y ∈ K ^диджей. (Если 0 ^# не существует, то K ^диджей = Л .)

Версии [ править ]

Если базовая модель K существует (и не имеет кардиналов Вуда), то

Если K не имеет ω ₁ -кардиналов Эрдеша, то для конкретной счетной (в K) и определимой в K последовательности функций от ординалов до ординалов каждое множество ординалов, замкнутое относительно этих функций, является объединением счетного числа множеств из K . Если L=K, это просто примитивно-рекурсивные функции.
Если K не имеет измеримых кардиналов, то для любого несчетного множества x ординалов существует y ∈ K такой, что x ⊂ y и |x| = |у|.
Если K имеет только один измеримый кардинал κ, то для любого несчетного множества x ординалов существует y ∈ K[C] такой, что x ⊂ y и |x| = |у|. Здесь C либо пуста, либо прикрыта генерична над K (поэтому она имеет тип порядка ω и конфинальна по κ) и единственна, за исключением конечного начального отрезка.
Если K не имеет недостижимого предела измеримых кардиналов и собственного класса измеримых кардиналов, то существует максимальное и единственное (за исключением конечного набора ординалов) множество C (называемое системой неразличимых) для K такое, что для любой последовательности S в K множеств меры один, состоящих из одного множества для каждого измеримого кардинала, C минус ∪S конечен. Заметим, что каждое κ \ C либо конечно, либо прикрыто общим для K в κ, за исключением членов C ниже измеримого кардинала ниже κ. Для любого несчетного множества ординалов x существует y ∈ K[C] такой, что x ⊂ y и |x| = |у|.
Для каждого несчетного множества x ординалов существует множество C неразличимых для тотальных расширителей на K такое, что существует y ∈ K[C] и x ⊂ y и |x| = |у|.
K правильно вычисляет потомков сингулярных и слабо компактных кардиналов ( слабое свойство покрытия ). Более того, если |κ| > ω ₁ , то конфинальность((κ ⁺) ^К) ≥ |k|.

Расширители и неразличимые [ править ]

Для базовых моделей без перекрывающихся общих расширителей системы неразличимых хорошо понятны. Хотя (если K имеет недостижимый предел измеримых кардиналов) система может зависеть от покрываемого множества, она вполне определена и единственна в более слабом смысле. Одним из применений покрытия является подсчет количества (последовательностей) неразличимых чисел, что дает оптимальные нижние оценки для различных неудач гипотезы сингулярных кардиналов . Например, если K не имеет перекрывающихся полных расширителей, а κ является сингулярным сильным пределом и 2 ^Мистер = Мистер ⁺⁺, то κ имеет порядок Митчелла не ниже κ ⁺⁺ в K. И наоборот, несостоятельность сингулярной кардинальной гипотезы может быть получена (в общем расширении) из κ с o(κ) = κ ⁺⁺.

Для основных моделей с перекрывающимися полными расширителями (то есть с кардинальным усилением до измеримого) системы неразличимых плохо изучены, а приложения (такие как слабое покрытие) имеют тенденцию избегать, а не анализировать неразличимые.

Дополнительные свойства [ править ]

Если K существует, то каждый регулярный кардинал Йонссона является Рамсеем в K. Каждый особый кардинал, регулярный в K, измерим в K.

Кроме того, если базовая модель K(X) существует выше набора X ординалов, то она обладает обсуждаемыми выше свойствами покрытия выше X.

Ссылки [ править ]

Митчелл, Уильям (2010), «Накрывающая лемма», Справочник по теории множеств , Springer, стр. 1497–1594, doi : 10.1007/978-1-4020-5764-9_19 , ISBN 978-1-4020-4843-2