Малолитражный кардинал

В математике субкомпактное кардинальное число — это особый вид большого кардинального числа.

Кардинальное число κ субкомпактно тогда и только тогда, когда для любого A ⊂ H ( κ ⁺ ) существует нетривиальное элементарное вложение j:( H ( µ ⁺ ), B ) → ( ЧАС ( k ⁺ ), A ) (где H ( κ ⁺ ) — множество всех множеств мощности, наследственно меньшей, чем κ ⁺ ) с критической точкой µ и j ( µ ) знак равно κ .

Аналогично, κ является квазикомпактным кардиналом тогда и только тогда, когда для любого A ⊂ H ( κ ⁺ ) существует нетривиальное элементарное вложение j :( H ( κ ⁺ ), А ) → ( ЧАС ( м ⁺ ), B ) с критической точкой κ и j ( κ ) = µ .

H ( λ ) состоит из всех множеств, транзитивное замыкание которых имеет мощность меньше λ .

Каждый квазикомпактный кардинал субкомпактен. Квазикомпактность — это усиление субкомпактности, поскольку оно проецирует большие кардинальные свойства вверх. Отношения аналогичны отношениям между расширяемыми и сверхкомпактными кардиналами . Квазикомпактность можно рассматривать как усиленную или «жирную» версию 1-расширяемости. Существование субкомпактных кардиналов предполагает существование многих 1-расширяемых кардиналов и, следовательно, многих сверхсильных кардиналов . Наличие 2 ^Мистер -сверхкомпактный кардинал κ предполагает существование многих квазикомпактных кардиналов.

Субкомпактные кардиналы заслуживают внимания как наименее крупные кардиналы, что подразумевает отказ от принципа квадрата . Если κ субкомпактно, то принцип квадратов в κ не работает. Канонические внутренние модели на уровне субкомпактных кардиналов удовлетворяют принципу квадратов во всех случаях, кроме субкомпактных кардиналов. (Существование таких моделей еще не доказано, но в любом случае принцип квадратов можно применять для более слабых кардиналов.)

Квазикомпактность — одно из самых сильных больших кардинальных свойств, которое можно наблюдать в современных внутренних моделях, в которых не используются длинные расширители. Для текущих внутренних моделей включенные элементарные вложения определяются их влиянием на P ( κ ) (вычисленное на этапе включения вложения), где κ — критическая точка. Это не позволяет им стать свидетелями даже κ ⁺ сильно компактный кардинал   κ .

Субкомпактные и квазикомпактные кардиналы были определены Рональдом Дженсеном .

Ссылки

• «Квадрат в основных моделях» в сентябрьском выпуске Бюллетеня символической логики за 2001 г.