Расширяемый кардинал

В математике , расширяемые кардиналы — это большие кардиналы введенные Рейнхардтом (1974) , который частично руководствовался принципами отражения . Интуитивно такой кардинал представляет собой точку, за которой начальные части вселенной множеств начинают выглядеть похожими в том смысле, что каждое из них элементарно вкладывается в более позднее.

Определение [ править ]

Для каждого ординала η кардинал κ называется η-расширяемым , если для некоторого ординала λ существует нетривиальное элементарное вложение j множества V _κ+η в V _λ , где κ – критическая точка j , и, как обычно, V _α обозначает α- й уровень иерархии фон Неймана . Кардинал κ называется расширяемым кардиналом , если он η -расширяем для любого ненулевого ординала η (Канамори 2003).

Свойства [ править ]

Для кардинала $\kappa$ , скажем, что логика $L$ является $\kappa$ -компактный, если для каждого набора $A$ из $L$ -предложения, если каждое подмножество $A$ или мощность $<\kappa$ есть модель, то $A$ есть модель. (Обычная теорема о компактности показывает $\aleph _{0}$ -компактность логики первого порядка.) Пусть $L_{\kappa }^{2}$ быть бесконечной логикой для теории множеств второго порядка, допускающей бесконечные соединения и дизъюнкции длины $<\kappa$ . $\kappa$ является расширяемым тогда и только тогда, когда $L_{\kappa }^{2}$ является $\kappa$ -компактный. ^[1]

и отношение к Варианты другим кардиналам

Кардинал κ называется η-C. ^(н)-расширяемо, если существует элементарное вложение j, свидетельствующее о том, что κ является η -расширяемым (т. е. j элементарно от V _κ+η до некоторого V _λ с критической точкой κ ), такое что, кроме того, V _j(κ) есть Σ _n - в В. правильно То есть для каждой Σ _n формулы φ φ φ выполняется в V _j(κ) тогда и только тогда, когда выполняется в V . Кардиналом κ называется C ^(н)-расширяема , если она η-C ^(н)-расширяемо для любого ординала η . Каждый расширяемый кардинал есть C ⁽¹⁾-расширяемо, но при n≥1 наименьшее C ^(н)-расширяемый кардинал никогда не равен C ^(п+1)-расширяемый (Багария 2011).

Принцип Вопенки предполагает существование расширяемых кардиналов; на самом деле принцип Вопенки (для определимых классов) эквивалентен существованию C ^(н)-расширяемые кардиналы для всех n (Багария, 2011). Все расширяемые кардиналы являются суперкомпактными кардиналами (Канамори, 2003).

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Магидор, М. (1971). «О роли сверхкомпактных и расширяемых кардиналов в логике» . Израильский математический журнал . 10 (2): 147–157. дои : 10.1007/BF02771565 .

Багария, Джоан (23 декабря 2011 г.). " С ^(н)-кардиналы». Архив математической логики . 51 (3–4): 213–240. doi : 10.1007/s00153-011-0261-8 . S2CID 208867731 .
Фридман, Харви . «Ограничения и расширения» (PDF) .
Канамори, Акихиро (2003). Высшее бесконечное: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Спрингер. ISBN 3-540-00384-3 .
Рейнхардт, В.Н. (1974), «Замечания о принципах отражения, больших кардиналах и элементарных вложениях», Аксиоматическая теория множеств , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. XIII, Часть II, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 189–205, МР 0401475.

Эта теории множеств статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Магидор, М. (1971). «О роли сверхкомпактных и расширяемых кардиналов в логике» . Израильский математический журнал . 10 (2): 147–157. дои : 10.1007/BF02771565 .

[1]