Сильный кардинал

В теории множеств — сильный кардинал это разновидность большого кардинала . Это ослабление понятия сверхкомпактного кардинала .

Формальное определение

Если λ — любой порядковый номер , κ является λ-сильным, означает, что κ — кардинальное число и существует элементарное вложение j из вселенной V в транзитивную внутреннюю модель M с критической точкой κ и

$V_{\lambda }\subseteq M$

То есть M соглашается с V на начальном отрезке. Тогда κ сильный означает, что он λ-сильный для всех ординалов λ.

с другими

По определениям сильные кардиналы лежат ниже суперкомпактных кардиналов и выше измеримых кардиналов в иерархии силы согласованности.

κ является κ-сильным тогда и только тогда, когда оно измеримо. Если κ сильный или λ-сильный для λ ≥ κ+2, то ультрафильтр U , свидетельствующий об измеримости κ, будет находиться в V _κ+2 и, следовательно, в M . Итак, для любого α < κ мы имеем, что существует ультрафильтр U в j ( V _κ ) − j ( V _α ), помня, что j (α) = α. существует ультрафильтр Используя элементарное вложение назад, мы получаем, что в V _κ − V _α . Таким образом, ниже κ, который является регулярным, существуют сколь угодно большие измеримые кардиналы, и, таким образом, κ является пределом κ-много измеримых кардиналов.

Сильные кардиналы также находятся ниже сверхсильных кардиналов и кардиналов Вудина по силе постоянства. Однако наименее сильный кардинал крупнее наименее сверхсильного кардинала.

Каждый сильный кардинал сильно разворачивается и поэтому совершенно неописуем .

Ссылки

• Канамори, Акихиро (2003). Высшее бесконечное: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Спрингер. ISBN  3-540-00384-3 .