Расширитель (теория множеств)

В теории множеств — расширитель это система ультрафильтров , которая представляет собой элементарное вложение , обладающее большими кардинальными свойствами. Неглавный ультрафильтр — это самый простой случай расширителя.

(κ, λ)-расширитель можно определить как элементарное вложение некоторой модели $M$ ZFC ⁻ (ZFC минус аксиома набора степеней ), имеющая критическую точку κ ε M и которая отображает κ в ординал, по крайней мере равный λ. Его также можно определить как набор ультрафильтров, по одному на каждый $n$- кортеж , взятый из λ.

Формальное определение расширителя

Пусть κ и λ — кардиналы с κ≤λ. Затем набор $E=\{E_{a}|a\in [\lambda ]^{<\omega }\}$ называется (κ,λ)-расширителем, если выполняются следующие свойства:

1. каждый $E_{a}$ является κ-полным неглавным ультрафильтром на [κ] ^<ω и более того
   1. хотя бы один $E_{a}$ это не κ ⁺ -полный,
   2. для каждого $\alpha \in \kappa ,$ хотя бы один $E_{a}$ содержит набор $\{s\in [\kappa ]^{|a|}:\alpha \in s\}.$
2. (Последовательность) $E_{a}$ когерентны (так что сверхстепени Ult( V , Ea ₎ образуют направленную систему).
3. (Нормальность) Если $f$ таков, что $\{s\in [\kappa ]^{|a|}:f(s)\in \max s\}\in E_{a},$ тогда для некоторых $b\supseteq a,\ \{t\in \kappa ^{|b|}:(f\circ \pi _{ba})(t)\in t\}\in E_{b}.$
4. (Обоснованность) Предельная сверхстепень Ult( V , E ) является вполне обоснованной (где Ult( V , E ) — прямой предел сверхстепенностей Ult( V , E _a )).

Под когерентностью понимают, что если $a$ и $b$ являются конечными подмножествами λ такими, что $b$ представляет собой надмножество $a,$ тогда если $X$ является элементом ультрафильтра $E_{b}$ и человек выбирает правильный путь проецирования $X$ вплоть до набора последовательностей длины $|a|,$ затем $X$ является элементом $E_{a}.$ Более формально, для $b=\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\},$ где $\alpha _{1}<\dots <\alpha _{n}<\lambda ,$ и $a=\{\alpha _{i_{1}},\dots ,\alpha _{i_{m}}\},$ где $m\leq n$ и для $j\leq m$ тот $i_{j}$ попарно различны и не более $n,$ мы определяем проекцию $\pi _{ba}:\{\xi _{1},\dots ,\xi _{n}\}\mapsto \{\xi _{i_{1}},\dots ,\xi _{i_{m}}\}\ (\xi _{1}<\dots <\xi _{n}).$

Затем $E_{a}$ и $E_{b}$ согласовываться, если $$X\in E_{a}\iff \{s:\pi _{ba}(s)\in X\}\in E_{b}.$$

Определение расширителя из элементарного встраивания

Учитывая элементарное вложение $j:V\to M,$ который отображает теоретико-множественную вселенную $V$ в транзитивную внутреннюю модель $M,$ с критической точкой κ и кардиналом λ, κ妻λ妻 j (κ), определяют $E=\{E_{a}|a\in [\lambda ]^{<\omega }\}$ следующее: $${\text{for }}a\in [\lambda ]^{<\omega },X\subseteq [\kappa ]^{<\omega }:\quad X\in E_{a}\iff a\in j(X).$$Тогда можно показать, что $E$ обладает всеми свойствами, указанными выше в определении, и, следовательно, является (κ,λ)-расширителем.

Ссылки

• Канамори, Акихиро (2003). Высшее бесконечное: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Спрингер. ISBN  3-540-00384-3 .
• Джех, Томас (2002). Теория множеств (3-е изд.). Спрингер. ISBN  3-540-44085-2 .