Аксиома набора мощности

Элементы степенного множества { x , y , z } упорядочены по включению .

В математике установлена ​​аксиома степени — одна из аксиом Цермело–Френкеля аксиоматической теории множеств . Гарантия на каждый комплект $x$ существование набора ${\mathcal {P}}(x)$, мощности набор $x$, состоящий именно подмножеств из $x$. По аксиоме экстенсиональности множество ${\mathcal {P}}(x)$ является уникальным.

Аксиома набора власти появляется в большинстве аксиоматизаций теории множеств. Обычно это считается бесспорным, хотя конструктивная теория множеств предпочитает более слабую версию, чтобы решить проблемы предикативности .

Официальное заявление

Отношение подмножества $\subseteq$ не является примитивным понятием в формальной теории множеств и не используется в формальном языке аксиом Цермело – Френкеля. Скорее, отношение подмножества $\subseteq$ определяется в терминах членства в множестве , $\in$. Учитывая это, на формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома набора степеней гласит:

$\forall x\,\exists y\,\forall z\,[z\in y\iff \forall w\,(w\in z\Rightarrow w\in x)]$

где y — набор степеней x , z — любой элемент y , w — любой член z .

По-английски это говорит:

Для любого x существует набора такой набор y , что для любого набора z это множество z ​​является членом y тогда и только тогда, когда каждый элемент z также является элементом x .

Последствия

Аксиома набора степеней позволяет просто определить декартово произведение двух наборов. $X$ и $Y$:

$X\times Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}.$

Обратите внимание, что

$x,y\in X\cup Y$

$\{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y)$

и, например, рассматривая модель, использующую упорядоченную пару Куратовского ,

$(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))$

и, таким образом, декартово произведение является множеством, поскольку

$X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y)).$

можно определить Декартово произведение любого конечного набора множеств рекурсивно:

$X_{1}\times \cdots \times X_{n}=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}.$

Существование декартова произведения можно доказать без использования аксиомы степенного множества, как в случае теории множеств Крипке–Платека .

Ограничения

Аксиома набора мощности не определяет, какие подмножества набора существуют, а только то, что существует набор, содержащий все те, которые существуют. Не все мыслимые подмножества гарантированно существуют. В частности, степенное множество бесконечного множества будет содержать только «конструируемые множества», если вселенная является конструируемой вселенной , но в других моделях теории множеств ZF может содержать множества, которые невозможно построить.

Ссылки

• Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN   0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
• Джех, Томас, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN   3-540-44085-2 .
• Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN   0-444-86839-9 .

Эта статья включает в себя материал из «Аксиомы силы», установленной на PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .