Мирской кардинал
В математической теории множеств мировым кардиналом является кардинал κ такой, что ранг V κ является моделью теории множеств Цермело – Френкеля . [1]
Отношения с недоступными кардиналами
[ редактировать ]По недоступных теореме Цермело о кардиналах каждый недоступный кардинал мирской. По теореме Шепердсона недоступность эквивалентна более сильному утверждению о том, что ( V κ , V κ+1 ) является моделью теории множеств Цермело-Френкеля второго порядка. [2] Быть мирским и быть недоступным не эквивалентно; Фактически, наименьший мировой кардинал имеет счетную конфинальность и, следовательно, является кардиналом единственного числа . [3]
Следующие элементы расположены в строго возрастающем порядке, где ι — наименее доступный кардинал:
- Наименее мирское κ.
- Наименее мирские κ и λ (κ<λ, и то же самое ниже) с V κ и V λ, удовлетворяющими той же теории.
- Наименее мирское κ, которое является пределом мирских кардиналов (что эквивалентно пределу мирских кардиналов).
- Наименее мирские κ и λ с V κ ≺ Σ 2 V λ (это выше, чем даже κ-кратная итерация предыдущего пункта).
- Наименее мирские κ и λ с V κ ≺ V λ .
- Наименьшее мировое κ конфинальности ω 1 (соответствует расширению предыдущего пункта до цепи длины ω 1 ).
- Наименьшее мировое κ конфинальности ω 2 (и т. д.).
- Наименьшее κ>ω с V κ, удовлетворяющим замене для языка, дополненного отношением удовлетворения ( V κ ,ε).
- Наименьшее κ недоступно в L κ ( V κ ); эквивалентно, наименьшее κ>ω с V κ, удовлетворяющим замене для формул из V κ в бесконечной логике L ∞,ω .
- Наименьшее κ с транзитивной моделью M ⊂ V κ+1 , расширяющей V κ, удовлетворяющей теории множеств Морса – Келли .
- (не мирской кардинал) Наименьшее κ, где V κ имеет ту же Σ 2, теорию что и V ι .
- Наименьшее κ, при этом V κ и V ι имеют одну и ту же теорию.
- Наименьшее κ, где L κ ( V κ ) и L ι ( V ι ) имеют одну и ту же теорию.
- (не мирской кардинал) Наименьшее κ с V κ и V ι, имеющими одну и ту же теорию Σ 2 с действительными параметрами.
- (не мирской кардинал) Наименьшее κ такое, что V κ ≺ Σ 2 V ι .
- Наименьшее κ такое, что V κ ≺ V ι .
- Наименьшее бесконечное κ, где V κ и V ι удовлетворяют тем же утверждениям L ∞,ω, что и в V κ .
- Наименьшее κ с транзитивной моделью M⊂ V κ+1, расширяющей V κ и удовлетворяющей тем же предложениям с параметрами из V κ, что и V ι+1 .
- Наименее недоступный кардинал ι.
Ссылки
[ редактировать ]- Хэмкинс, Джоэл Дэвид (2014), «Мультивселенный взгляд на аксиому конструктивности», Бесконечность и истина , Лект. Примечания Сер. Инст. Математика. наук. Натл. унив. Сингапур., вып. 25, Хакенсак, Нью-Джерси: World Sci. Публикация, стр. 25–45, arXiv : 1210.6541 , Bibcode : 2012arXiv1210.6541H , MR 3205072.
- Канамори, Акихиро (2003), The Higher Infinite , Монографии Springer по математике (2-е изд.), Springer-Verlag
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Мирской кардинал на чердаке Кантора
 | Эта теории множеств статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |