Предел кардинальный
В математике — предельные кардиналы это определенные кардинальные числа . Кардинальное число λ является слабым предельным кардиналом, если λ не является ни кардиналом-преемником , ни нулем. Это означает, что нельзя «достичь» λ от другого кардинала повторными операциями-преемниками. Эти кардиналы иногда называют просто «предельными кардиналами», если контекст ясен.
Кардинал λ является сильным предельным кардиналом , если λ не может быть достигнуто повторяющимися операциями над набором степеней . Это означает, что λ не равно нулю и для всех κ < λ 2 Мистер < λ . Каждый сильный предельный кардинал является также слабым предельным кардиналом, поскольку κ + ≤ 2 Мистер для каждого кардинала κ , где κ + обозначает кардинал-преемник κ .
Первый бесконечный кардинал, ( алеф-ноль ) является сильным предельным кардиналом и, следовательно, также слабым предельным кардиналом.
Конструкции
[ редактировать ]Одним из способов построения предельных кардиналов является операция объединения: является слабым предельным кардиналом, определяемым как объединение всех алефов перед ним; и вообще для любого предельного ординала λ является слабым предельным кардиналом.
Операцию ב можно использовать для получения сильных предельных кардиналов. Эта операция представляет собой преобразование порядковых номеров в кардиналы, определяемое как
- (наименьший порядковый номер равнозначного числа с набором степеней)
- Если λ — предельный ординал,
Кардинал
является сильным предельным кардиналом конфинальности ω. В более общем смысле, учитывая любой порядковый номер α , кардинал
является сильным предельным кардиналом. Таким образом, существуют сколь угодно большие сильные предельные кардиналы.
Связь с порядковыми индексами
[ редактировать ]Если выбранная аксиома верна, каждое кардинальное число имеет начальный порядковый номер . Если этот начальный порядковый номер тогда кардинальное число имеет вид для того же порядкового индекса λ . Порядковый номер λ определяет, является ли является слабым предельным кардиналом. Потому что если λ является порядковым номером-преемником, то это не слабый предел. И наоборот, если кардинал κ является кардиналом-преемником, скажем затем Таким образом, в целом является слабым предельным кардиналом тогда и только тогда, когда λ равно нулю или предельному ординалу.
Хотя порядковый индекс говорит нам, является ли кардинал слабым пределом, он не говорит нам, является ли кардинал сильным пределом. Например, ZFC доказывает, что является слабым предельным кардиналом, но не доказывает и не опровергает, что является сильным предельным кардиналом (Hrbacek and Jech 1999:168). Обобщенная гипотеза континуума утверждает, что для любого бесконечного кардинала κ . Согласно этой гипотезе понятия слабого и сильного предельных кардиналов совпадают.
Понятие недоступности и большие кардиналы
[ редактировать ]Вышеизложенное определяет понятие «недоступности»: мы имеем дело со случаями, когда уже недостаточно выполнить конечное количество итераций операций-преемников и степенных наборов; отсюда фраза «невозможно достичь» в обоих интуитивно понятных определениях, приведенных выше. Но «операция объединения» всегда обеспечивает другой способ «доступа» к этим кардиналам (и действительно, то же самое относится и к предельным ординалам). Более строгие понятия недоступности можно определить с помощью конфинальности . Для слабого (соответственно сильного) предельного кардинала κ требование состоит в том, чтобы cf( κ ) = κ (т. е. κ было регулярным ), так что κ не может быть выражено как сумма (объединение) менее чем κ меньших кардиналов. Такой кардинал называется слабо (соответственно сильно) недоступным кардиналом . Оба предыдущих примера являются сингулярными кардиналами конфинальности ω и, следовательно, они не являются недостижимыми.
был бы недоступным кардиналом обеих «сильных сторон», за исключением того, что определение недоступного требует, чтобы они были неисчислимыми. Стандартная теория множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) не может даже доказать непротиворечивость существования недоступного кардинала любого вида, описанного выше. , в силу теоремы Гёделя о неполноте . Более конкретно, если тогда слабо недоступен . Они образуют первые в иерархии крупных кардиналов .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Хрбачек, Карел; Джех, Томас (1999), Введение в теорию множеств (3-е изд.), ISBN 0-8247-7915-0
- Джех, Томас (2003), Теория множеств , Монографии Спрингера по математике (изд. третьего тысячелетия), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-44761-X , ISBN 978-3-540-44085-7
- Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: введение в доказательства независимости , Elsevier , ISBN 978-0-444-86839-8
Внешние ссылки
[ редактировать ]- http://www.ii.com/math/cardinals/ Бесконечные чернила на кардиналах