Бета-модель

В теории моделей — математической дисциплине — β-модель (от французского «bon ordre», хорошо упорядочиваемая ^[1]) — это модель, которая верна в отношении утверждений формы « X хорошо упорядочен». Этот термин был введен Мостовским (1959). ^[2]^[3] как усиление понятия ω-модели. В отличие от обозначений теоретико-множественных свойств, называемых порядковыми числами, таких как $\xi$ -неописуемость , буква β здесь лишь обозначающая.

В анализе

β-модели возникают при изучении обратной математики подсистем арифметики второго порядка. В этом контексте β-модель подсистемы арифметики второго порядка — это модель M, где для любого Σ ₁¹ формула $\phi$ с параметрами из М, $(\omega ,M,+,\times ,0,1,<)\vDash \phi$ если только $(\omega ,{\mathcal {P}}(\omega ),+,\times ,0,1,<)\vDash \phi$ . ^[4]^{п. 243} Каждая β-модель арифметики второго порядка также является ω-моделью, поскольку, работая внутри модели, мы можем доказать, что < является хорошим упорядочением, поэтому < действительно является хорошим упорядочением натуральных чисел модели. ^[2]

Для β-моделей существует теорема о неполноте: если T — рекурсивно аксиоматизируемая теория на языке арифметики второго порядка, аналогично тому, как существует модель T+, «не существует модели T», если существует модель T , существует β-модель T+ «не существует счетных кодированных β-моделей T», если существует β-модель T. Аналогичная теорема верна для β _n -моделей для любого натурального числа $n\geq 1$ . ^[5]

Аксиомы, основанные на β-моделях, обеспечивают естественное более тонкое разделение сильных сторон подсистем арифметики второго порядка, а также позволяют сформулировать принципы отражения. Например, более ${\mathsf {ATR}}_{0}$ , $\Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}$ эквивалентно утверждению «для всех $X$ [второго порядка] существует счетная β-модель M такая, что $X\in M$ . ^[4]^{п. 253} (Счетные ω-модели представлены наборами целых чисел, и их удовлетворение формализуется на языке анализа посредством индуктивного определения.) Кроме того, теория, расширяющая КП канонической схемой аксиом для рекурсивной вселенной Мало (часто называемой $KPM$ ) ^[6] логически эквивалентна теории ∆ ¹
₂ -CA+BI+(Всякое истинное Π ¹
₃ -формуле удовлетворяет β-модель ∆ ¹
₂ -СА). ^[7]

Кроме того, ${\mathsf {ACA}}_{0}$ доказывает связь между β-моделями и гиперпрыжком: для всех множеств $X$ целых чисел, $X$ имеет гиперскачок тогда и только тогда, когда существует счетная β-модель $M$ такой, что $X\in M$ . ^[4]^{п. 251}

В теории множеств

Понятие β-модели можно определить для моделей теорий множеств второго порядка (таких как теория множеств Морса-Келли) как модель $(M,{\mathcal {X}})$ такие, что отношения членства $(M,{\mathcal {X}})$ вполне обоснована, и для любого отношения $R\in {\mathcal {X}}$ , $(M,{\mathcal {X}})\vDash$ " $R$ является обоснованным» тогда и только тогда, когда $R$ на самом деле вполне обосновано. Хотя не существует наименее транзитивной модели МК, существует наименьшая β-модель МК. ^[8]^{стр. 17,154--156}

Ссылки

^ К. Смориньский, « Нестандартные модели и связанные с ними разработки » (стр. 189). Из исследования Харви Фридмана по основам математики (1985), « Исследования по логике и основам математики», том. 117.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б КР Апт, В. Марек, « Арифметика второго порядка и некоторые смежные темы » (1973), стр. 181
^ Ж.-Ю. Жирар, Теория доказательств и логическая сложность (1987), Часть III: Π ₂¹- теория доказательств, с. 206
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с С.Г. Симпсон, Подсистемы арифметики второго порядка (2009)
^ К. Маммерт, С.Г. Симпсон, « Теорема о неполноте для β _n -моделей », 2004. По состоянию на 22 октября 2023 г.
^ М. Ратьен, Теоретико-доказательный анализ КПМ (1991), стр.381. Архив математической логики, Springer-Verlag. По состоянию на 28 февраля 2023 г.
^ М. Ратьен, Теория допустимых доказательств и не только , Логика, методология и философия науки IX (Elsevier, 1994). По состоянию на 4 декабря 2022 г.
^ К. Дж. Уильямс, « Структура моделей теорий множеств второго порядка », докторская диссертация, 2018.

Эта логике статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] К. Смориньский, « Нестандартные модели и связанные с ними разработки » (стр. 189). Из исследования Харви Фридмана по основам математики (1985), « Исследования по логике и основам математики», том. 117.

[AM-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б КР Апт, В. Марек, « Арифметика второго порядка и некоторые смежные темы » (1973), стр. 181

[3] Ж.-Ю. Жирар, Теория доказательств и логическая сложность (1987), Часть III: Π ₂¹- теория доказательств, с. 206

[Simpson2009-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с С.Г. Симпсон, Подсистемы арифметики второго порядка (2009)

[5] К. Маммерт, С.Г. Симпсон, « Теорема о неполноте для β _n -моделей », 2004. По состоянию на 22 октября 2023 г.

[6] М. Ратьен, Теоретико-доказательный анализ КПМ (1991), стр.381. Архив математической логики, Springer-Verlag. По состоянию на 28 февраля 2023 г.

[7] М. Ратьен, Теория допустимых доказательств и не только , Логика, методология и философия науки IX (Elsevier, 1994). По состоянию на 4 декабря 2022 г.

[8] К. Дж. Уильямс, « Структура моделей теорий множеств второго порядка », докторская диссертация, 2018.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]