Теория множеств Крипке – Платека

Теория множеств Крипке-Платека ( КП ), произносится / ˈ k r ɪ p k i ˈ p l ɑː t ɛ k / , представляет собой аксиоматическую теорию множеств, разработанную Солом Крипке и Ричардом Платеком.Теорию можно рассматривать как предикативную часть ZFC, и она значительно слабее ее.

Аксиомы [ править ]

В ее формулировке _{формула ∆0} — это формула, все кванторы которой ограничены . Это означает, что любая количественная оценка имеет вид $\forall u\in v$ или $\exists u\in v.$ (См. иерархию Леви .)

Аксиома экстенсиональности : два множества одинаковы тогда и только тогда, когда они содержат одни и те же элементы.
Аксиома индукции : φ( a ) является формулой , если для всех множеств x предположение о том, что φ( y ) выполняется для всех элементов y из x, влечет за собой выполнение φ( x ), то φ( x ) выполняется для всех множеств x .
Аксиома пустого множества : существует множество без членов, называемое пустым множеством и обозначаемое {}.
Аксиома спаривания : если x , y являются множествами, то и { x , y } — набор, содержащий x и y в качестве единственных элементов.
Аксиома объединения : Для любого множества x существует множество y такое, что элементы y являются в точности элементами элементов x .
Аксиома ₀ -разделения : для любого набора и любой _{формулы 0} φ( x ) существует подмножество исходного набора, содержащее именно те элементы x, для которых выполняется φ( x ). (Это схема аксиом .)
Аксиома ∆0 _- коллекции : для любой ∆0 _- формулы φ( x , y ), если для каждого набора x существует набор y такой, что выполняется φ( x , y ), то для всех множеств X существует множество Y такое, что что для каждого x в X существует y в Y такой, что выполняется φ( x , y ).

Некоторые, но не все авторы включают

Аксиома бесконечности

КП с бесконечностью обозначается КПω. Эти аксиомы приводят к тесным связям между КП, обобщенной теорией рекурсии и теорией допустимых ординалов .КП можно изучать как конструктивную теорию множеств, отказавшись от закона исключенного третьего , не меняя при этом никаких аксиом.

Пустой набор [ править ]

Если какой-либо набор $c$ постулируется существование, например, в аксиоме бесконечности, то аксиома пустого множества является избыточной, поскольку она равна подмножеству $\{x\in c\mid x\neq x\}$ . Более того, существование члена во вселенной дискурса, т.е. ∃x(x=x), подразумевается в некоторых формулировках. ^[1] логики первого порядка , и в этом случае аксиома пустого множества следует из аксиомы ₀ -отделения и, таким образом, является избыточной.

с теорией множеств Цермело - Сравнение Френкеля

Как уже отмечалось, приведенные выше методы слабее, чем ZFC, поскольку исключают аксиому набора мощности , выбор и иногда бесконечность. Кроме того, аксиомы разделения и сбора здесь слабее, чем соответствующие аксиомы в ZFC, поскольку используемые в них формулы φ ограничены только ограниченными кванторами.

Аксиома индукции в контексте КП сильнее обычной аксиомы регулярности , которая сводится к применению индукции к дополнению множества (классу всех множеств, не входящих в данное множество).

Связанные определения [ править ]

Набор $A\,$ называется допустимым, если оно транзитивно и $\langle A,\in \rangle$ представляет собой модель теории множеств Крипке–Платека.
Порядковый номер $\alpha$ называется допустимым ординалом, если $L_{\alpha }$ является допустимым множеством.
$L_{\alpha }$ называется аменабельным множеством , если оно является стандартной моделью теории множеств КП без аксиомы ₀ -набора.

Теоремы [ править ]

Допустимые наборы [ править ]

Ординал α является допустимым ординалом тогда и только тогда, когда α — предельный ординал и не существует γ < α , для которого существует Σ ₁ (L _α ) отображение γ на α . Если M — стандартная модель КП, то множество ординалов в M является допустимым ординалом.

произведения Декартовы существуют

Теорема: Если A и B — множества, то существует множество A × B состоящее из всех упорядоченных пар ( a , b ) элементов a из A и b из B. ,

Доказательство:

Одноэлементный набор с элементом a , записанный { a }, совпадает с неупорядоченной парой { a , a } по аксиоме экстенсиональности .

Одиночный элемент, набор { a , b }, а затем также упорядоченная пара

(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}

все существуют путем спаривания .Возможная Δ ₀ -формула $\psi (a,b,p)$ выражение того, что p обозначает пару ( a , b ), задается длинным

\exists r\in p\,{\big (}a\in r\,\land \,\forall x\in r\,(x=a){\big )}

\land \,\exists s\in p\,{\big (}a\in s\,\land \,b\in s\,\land \,\forall x\in s\,(x=a\,\lor \,x=b){\big )}

\land \,\forall t\in p\,{\Big (}{\big (}a\in t\,\land \,\forall x\in t\,(x=a){\big )}\,\lor \,{\big (}a\in t\land b\in t\land \forall x\in t\,(x=a\,\lor \,x=b){\big )}{\Big )}.

Далее следуют два шага сбора наборов, за которыми следует ограничение путем разделения. Все результаты также выражаются с использованием нотации построителя наборов.

Во-первых, учитывая $b$ и сбор в отношении $A$ , некий расширенный набор $A\times \{b\}=\{(a,b)\mid a\in A\}$ существует по коллекции .

Δ ₀ -формула

\exists a\in A\,\psi (a,b,p)

допускает, что просто $A\times \{b\}$ само существует путем разделения .

Если $P$ должно стоять за этой коллекцией пар $A\times \{b\}$ , то характеризующая его ∆ ₀ -формула есть

\forall a\in A\,\exists p\in P\,\psi (a,b,p)\,\land \,\forall p\in P\,\exists a\in A\,\psi (a,b,p)\,.

Данный $A$ и сбор в отношении $B$ , некий расширенный набор $\{A\times \{b\}\mid b\in B\}$ существует по коллекции .

положить $\exists b\in B$ перед этой последней формулой и можно найти множество $\{A\times \{b\}\mid b\in B\}$ само существует путем разделения .

Наконец, желаемое

A\times B:=\bigcup \{A\times \{b\}\mid b\in B\}

существует по союзу . КЭД

Металогика [ править ]

Сила согласованности KPω определяется ординалом Бахмана – Говарда . КП не может доказать некоторые общие теоремы теории множеств, такие как лемма о коллапсе Мостовского . ^[2]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Пуаза, Бруно (2000). Курс теории моделей: введение в современную математическую логику . Спрингер. ISBN 0-387-98655-3 . , обратите внимание в конце §2.3 на стр. 27: «Те, кто не допускает отношений в пустой вселенной, рассматривают (∃x)x=x и его последствия как тезисы; мы, однако, не разделяем этого отвращения, с таким небольшим логическим обоснованием». земля, вакуум».
^ П. Одифредди, Классическая теория рекурсии (1989), стр.421. Северная Голландия, 0-444-87295-7

Библиография [ править ]

Девлин, Кейт Дж. (1984). Конструктивность . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 0-387-13258-9 .
Гостанян, Ричард (1980). «Конструируемые модели подсистем ZF». Журнал символической логики . 45 (2). Ассоциация символической логики : 237. doi : 10.2307/2273185 . JSTOR 2273185 .
Крипке, С. (1964), «Трансфинитная рекурсия по допустимым ординалам», Журнал символической логики , 29 : 161–162, doi : 10.2307/2271646 , JSTOR 2271646
Платек, Ричард Алан (1966), Основы теории рекурсии , диссертация (доктор философии) – Стэнфордский университет , MR 2615453

[1] Пуаза, Бруно (2000). Курс теории моделей: введение в современную математическую логику . Спрингер. ISBN 0-387-98655-3 . , обратите внимание в конце §2.3 на стр. 27: «Те, кто не допускает отношений в пустой вселенной, рассматривают (∃x)x=x и его последствия как тезисы; мы, однако, не разделяем этого отвращения, с таким небольшим логическим обоснованием». земля, вакуум».

[2] П. Одифредди, Классическая теория рекурсии (1989), стр.421. Северная Голландия, 0-444-87295-7

[1]

[2]

v т и Теория множеств
Overview	Set (mathematics)
Axioms	Adjunction Choice countable dependent global Constructibility (V=L) Determinacy Extensionality Infinity Limitation of size Pairing Power set Regularity Union Martin's axiom Axiom schema replacement specification
Operations	Cartesian product Complement (i.e. set difference) De Morgan's laws Disjoint union Identities Intersection Power set Symmetric difference Union
Concepts Methods	Almost Cardinality Cardinal number (large) Class Constructible universe Continuum hypothesis Diagonal argument Element ordered pair tuple Family Forcing One-to-one correspondence Ordinal number Set-builder notation Transfinite induction Venn diagram
Set types	Amorphous Countable Empty Finite (hereditarily) Filter base subbase Ultrafilter Fuzzy Infinite (Dedekind-infinite) Recursive Singleton Subset · Superset Transitive Uncountable Universal
Theories	Alternative Axiomatic Naive Cantor's theorem Zermelo General Principia Mathematica New Foundations Zermelo–Fraenkel von Neumann–Bernays–Gödel Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Paradoxes Problems	Russell's paradox Suslin's problem Burali-Forti paradox
Set theorists	Paul Bernays Georg Cantor Paul Cohen Richard Dedekind Abraham Fraenkel Kurt Gödel Thomas Jech John von Neumann Willard Quine Bertrand Russell Thoralf Skolem Ernst Zermelo