Схема аксиом предикативного разделения

В аксиоматической теории множеств схема аксиом предикативного разделения , или ограниченного , или Δ ₀ разделения, представляет собой схему аксиом , которая является ограничением обычной схемы аксиом разделения в теории множеств Цермело – Френкеля . Это название ∆0 _{происходит} от иерархии Леви по аналогии с арифметической иерархией .

Заявление

Аксиома утверждает существование подмножества множества только в том случае, если это подмножество можно определить без ссылки на всю вселенную множеств. Формальная формулировка такая же, как и для схемы полного разделения, но с ограничением на используемые формулы:Для любой формулы φ

$\forall x\;\exists y\;\forall z\;(z\in y\leftrightarrow z\in x\wedge \varphi (z))$

при условии, что φ содержит только ограниченные кванторы и, как обычно, переменная y в ней несвободна. Таким образом, все кванторы в φ, если таковые имеются, должны появиться в формах

$\exists u\in v\;\psi (u)$

$\forall u\in v\;\psi (u)$

для некоторой подформулы ψ и, конечно, определение $v$ также связан этими правилами.

Мотивация

Это ограничение необходимо с предикативной точки зрения, поскольку универсум всех множеств содержит определяемый набор. Если бы на него была ссылка в определении множества, определение было бы круговым.

Теории

Аксиома появляется в системах конструктивной теории множеств CST и CZF, а также в системе теории множеств Крипке–Платека .

Конечная аксиоматизируемость

Хотя схема содержит одну аксиому для каждой ограниченной формулы φ, в CZF можно заменить эту схему конечным числом аксиом.

См. также

• Конструктивная теория множеств
• Схема аксиом разделения