Функция черного цвета

Не путать с функцией Шварца или функцией треугольника Шварца .

Функция Шварца кривой на комплексной плоскости — это аналитическая функция , которая отображает точки кривой в их комплексно-сопряженные числа . Его можно использовать для обобщения принципа отражения Шварца на отражение через произвольные аналитические кривые , а не только через действительную ось.

Функция Шварца существует для аналитических кривых. Точнее, для каждой неособой аналитической жордановой дуги $\Gamma$ в комплексной плоскости имеется открытая окрестность $\Omega$ из $\Gamma$ и уникальная аналитическая функция $S$ на $\Omega$ такой, что $S(z)={\overline {z}}$ для каждого $z\in \Gamma$.

«Функция Шварца» была названа Филипом Дж. Дэвисом и Генри О. Поллаком (1958) в честь Германа Шварца , который ввел принцип отражения Шварца для аналитических кривых в 1870 году. Однако функция Шварца явно не фигурирует в работах Шварца.

Примеры

Единичная окружность описывается уравнением $|z|^{2}=1$, или ${\overline {z}}=1/z$. Таким образом, функция Шварца единичной окружности равна $S(z)=1/z$.

Более сложный пример — эллипс , определяемый формулой $(x/a)^{2}+(y/b)^{2}=1$. Функцию Шварца можно найти, подставив $\textstyle x={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$ и $\textstyle y={\frac {z-{\overline {z}}}{2i}}$ и решение для ${\overline {z}}$. Результат:

$S(z)={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}\left((a^{2}+b^{2})z-2ab{\sqrt {z^{2}+b^{2}-a^{2}}}\right)$.

Это аналитично на комплексной плоскости за вычетом ветви, разрезанной по отрезку между фокусами. $\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$.

Ссылки

• Дэвис, Филип Дж . (1974). Функция Шварца и ее приложения . Монографии Каруса 17 . Математическая ассоциация Америки . ISBN  978-0-883-85017-6 . OCLC   912405492 .
• Нидхэм, Тристан (1997). Визуальный комплексный анализ . Кларендон Пресс. ISBN  978-0-19-853447-1 .
• Шапиро, Гарольд С. (18 марта 1992 г.). Функция Шварца и ее обобщение на более высокие измерения . Джон Уайли и сыновья . ISBN  978-0-471-57127-8 . OCLC   924755133 .